北师大版九年级上册数学 第四章相似三角形 专题训练.docx
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北师大版九年级上册数学第四章相似三角形专题训练
相似三角形专题训练
考点1:
寻找相似三角形
例:
如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有()对
A.1B.2C.3D.4
考点2、利用相似证明比例式或等积式
例1:
如图,已知:
在▱ABCD中,G是DC延长线上一点,AG分别交BD和BC于E、F.试说明AF•AD=AG•BF.
例2、如图,D是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G,
∠1=∠2.求证:
FD2=FG•FE.
例3:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.
求证:
(1)△DEF∽△BDE;
(2)DG•DF=DB•EF.
考点3:
利用相似计算
例1:
.如图,矩形ABCD的边AB上有一点P,且AD=
BP=
以点P为直角顶
点的直角三角形两条直角边分别交线段DC、线段BC于点E、F,连接EF,则
=.
例2:
如图,在△ABC中,ABACa,BCb(ab).在△ABC内依次作
CBDA,DCECBD,EDFDCE.则
EF=.
例3:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′,A′C′交AB于点E.若AD=BE,则△A′DE的面积是.
例4:
如图,将边长为6的正方形ABCD折叠,使点D落在AB边的中点E处,折痕为FH,点C落在点Q处,EQ与BC交于点G,则△EBG的周长是cm.
例5:
如图设M为线段AB中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,且DM
交AC于F,EM交BD于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并对其中一对作出证明;
(2)连接FG,设α=45°,AB=4
,AF=3,求FG长.
训练:
1、如图,在两个直角三角形中,∠ACB=∠ADC=90°,AC=
,AD=2.当AB=
时,△ABC与△ACD相似。
2、如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,
∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点.
(1)求证:
CE=BD,CE⊥BD
(2)如图1把△ADE绕点A旋转,当点E落在线段BA上且∠EAC=90°时,若AB=2,AD=1,求PB的长度;
(3)在
(2)的条件下,将△ADE绕点A继续旋转,当点E落在线段BA的延长线上且∠EAC=90°,请在备用图中画出对应的图形,并求此时PB的长度。
3、.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ:
S△ABC=9:
100?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
考点5:
计算中的分类讨论
例1:
如图
(1),有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:
(1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.
(2)再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
例2:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个
数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
例3:
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:
PQ的中点在△ABC的一条中位线上;
例4:
在Rt△ABC的斜边AC边上有一动点P(点P与点A,C不重合),过点P作直线截得的三角形与△ABC相似,满足条件的直线最多有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
变式1:
若ABC是等边三角形,其他条件不变,此时有条;
变式2:
若ABC是不等边三角形,其他条件不变,此时有条;
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