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导数讲义整理
导数专题
例4:
求y2x23在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。
4.导数的运算
1.基本函数的导数公式:
①C0;
(C为常数)
②xn
n1
nx;
③(sinx)
cosx;
④(cosx)
sinx;
⑤(ex)
xe;
⑥(ax)axln
a;
⑦lnx
1;
J
x
⑧logax
11
-logae—xx
例1:
下列求导运算正确的是
()
11
A.(x+—)1—
xx
1
B.(Iog2x)=
xln2
C.(3x)'=3g3e
r\
D.(xcosx)'-2xsinx
例2:
设fo(x)=sinx,fl(x)=fo'x),f2(x)=fl'x),…,fn+1(x)=fn'x),n€N,则f2005(X)=
2.导数的运算法则
若u(x),v(x)的导数都存在,则
u'vuv'
2
v
例1:
求下列函数的导数例2:
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当xV0时,f(x)g(x)f(x)g(x)>0.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)V0的解集是()
3.复合函数的导数
形如y=fg(x)的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——>求导——>回代。
法则:
y/lx=y/|u『|x或者(f[g(x)])'f'[g(x)]g'(x).
例1求下列各函数的导数:
(1)已知y(1cos2x)2
、定积分的基本原理
1.定积分的概念
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0 n f 小区间,在每个小区间[xi—1,xi]上取任一点Ei(i=1,2,…n)作和式ln=1曰(&)△x(其中△ x为小区间长度),把门-^即厶x-0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作: n bblimf f(x)dxf(x)dxlnimf a,即a',=i1(△X。 这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。 2.定积分的性质 bb kf(x)dxkf(x)dx「「丄 aa(k为常数); bbb af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx aaa bcb f(x)dxf(x)dxf(x)dx»亠) aa''c''(其中avcvb)。 3.定积分的几何意义 f(x)所围成的曲边梯形的面积 b 当f(x)0时,f(x)dx表示由x轴,直线x=a,x=b及曲线y a 11 6•由直线x=-,x=2,曲线y=-及x轴所围成图形的面积为 2x 三、导数的应用 (1)设函数yf(x)在某个区间(a,b)可导,如果f(X)0,则f(x)在此区间上为增函数;如果f'(x)0,则f(x)在此区间上为减函数。 1.函数单调性 (1)简单函数单调性 F面四个图象 例1.已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数), 中yf(x)的图象大致是( 例2.设f(x)ax3x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间 (2)含有参数的函数单调性 例1: 已知函数f(x)axxlna,其中a(1,e] (I)讨论f(x)的单调性;(n)求证: 对X1,X2[1,1],都有If(xjf(X2)Ie2 32 例2: 已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1。 (I)设a=2,求f(x)的单调期间; (U)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围 例3: 已知函数f(x)=x3-3ax+3x+1设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的范围 2.极值与最值 在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。 但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如f(x)x3,x(1,1)。 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。 例3: 已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR ⑴当a0时,求曲线yf(x)在点(1,f (1))处的切线的斜率; 2 (2)当a彳时,求函数f(x)的单调区间与极值。 (1)恒成立与能成立问题 例1: 设函数f(x)exex.(I)证明: f(x)的导数f(x)>2;(H)若对所有x>0都有 f(x)>ax,求a的取值范围. 例2: 设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值. (I)求ab的值;(U)若对于任意的x[0,],都有f(x)c2成立,求c的取值范围. 1a例3: 已知函数f(x)lnxax1(aR). x 1(I)当a一时,讨论f(x)的单调性; 2 一21 (U)设g(x)x2bx4.当a—时,若对任意为(0,2),存在他1,2,使 4 f(xjg(X2),求实数b取值范围. 例4: 设函数f(x)x3ax2a2xm(a0) (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在x[1,1]内没有极值点,求a的取值范围; (3)若对任意的a[3,6],不等式f(x)1在x[2,2]上恒成立,求m的取值范围 (2) 例1: fx 例2: (1) (2) 围。 交点个数的问题 已知x3是函数fxaln1xx210x的一个极值点。 (I)求a;(H)求函数 的单调区间;(川)若直线yb与函数yfx的图象有3个交点,求b的取值范围。 已知函数f(x)=x3-2ax-1,a工0 求f(x)的单调区间 f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范 13.已知函数f(x)(a-)x2Inx.(aR) 2 (I)当a1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (U)若在区间(1,)上,函数f(x)的图象恒在直线y2ax下方,求a的取值范围. 1a 14.已知函数f(x)Inxax1(aR). x 1 (I)当a时,讨论f(x)的单调性; (U)设g(x)x22bx4.当a丄时,若对任意为(0,2),存在x? 1,2,使 4 f(xjg(X2),求实数b取值范围.
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