分式方程培优讲义全.docx
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分式方程培优讲义全
分式方程拔高讲练
一、含有参数方程
1.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值围是
2.分式方程=1﹣的根为
3.若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组
的解集为y<﹣2,则符合条件的所有整数a的和为
二、方程无解
1.若关于x的方程﹣=﹣1无解,则m的值是
2.若=0无解,则m的值是
3.若关于x的分式方程﹣=无解,求a= .
三、有增根
1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根,那么m的值为
2、关于x的分式方程有增根,则增根为 .
3、若关于x的方程有增根,则m的值是 .
4、解关于x的方程+=产生增根,则常数a=
四、整体代入解方程
1.已知在方程x2+2x+=3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于y的整式方程是 .
2、用换元法解方程﹣2•+1=0时应设y= .
3.如果实数x满足(x+)2﹣(x+)﹣2=0,那么x+的值是 .
四、实际问题
1.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完;该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫?
设第一批购进x件衬衫,则所列方程为( )
A.﹣10=B.+10=
C.﹣10=D.+10=
2.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为vkm/h,则可列方程为( )
A.=B.=C.=D.=
3.甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是( )
A.B.C.D.
4.2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5
天完成任务,设原计划每天植树x万棵,可列方程是( )
A.﹣=5B.﹣=5
C.+5=D.﹣=5
5.市创建全国文明城市已经进入倒计时!
某环卫公司为清理卫生死角的垃圾,调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据题意可列出方程为( )
A.+=1B.+=C.+=D.+=1
【同步训练】
1.如果关于x的不等式组的解集为x>1,且关于x的分式方程+=3有非负整数解,则符合条件的m的所有值的和是( )
A.﹣2B.﹣4C.﹣7D.﹣8
2.从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中,随机抽取一个数记为m,若数m使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解,那么这一个数中所有满足条件的m的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
3.若关于x的分式方程+3=无解,则实数m= .
4.若关于x的分式方程+=3的解为正实数,则实数m的取值围是 .
5.甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米?
设甲每天铺设x米,根据题意可列出方程:
.
6.某市为绿化环境计划植树2400棵,实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%,结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵,则根据题意可列方程为 .
7.关于x的方程:
x+=c+的解是x1=c,x2=;x﹣=c﹣的解是x1=c,x2=﹣,则x+=c+的解是x1=c,x2= .
8.若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解,且使关于y的分式方程+=2有非负数解,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A.3B.1C.0D.﹣3
9.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm.点D在AC上,AD=1cm,点P从点A出发,沿AB匀速运动;点Q从点C出发,沿C→B→A→C的路径匀速运动.两点同时出发,在B点处首次相遇后,点P的运动速度每秒提高了2cm,并沿B→C→A的路径匀速运动;点Q保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动,两点在D点处再次相遇后停止运动,设点P原来的速度为xcm/s.
(1)点Q的速度为 cm/s(用含x的代数式表示).
(2)求点P原来的速度.
12.定义新运算:
对于任意实数a,b(其中a≠0),都有a⊗b=﹣,等式右边是通常的加法、减法及除法运算,例如2⊗3=﹣=+=1.
(1)求(﹣2)⊗3的值;
(2)若x⊗2=1,求x的值.
2017年12月02日峰尚的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共14小题)
1.若关于x的分式方程的解为非负数,则a的取值围是( )
A.a≥1B.a>1C.a≥1且a≠4D.a>1且a≠4
【解答】解:
去分母得:
2(2x﹣a)=x﹣2,
解得:
x=,
由题意得:
≥0且≠2,
解得:
a≥1且a≠4,
故选:
C.
2.若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为y<﹣2,则符合条件的所有整数a的和为( )
A.10B.12C.14D.16
【解答】解:
分式方程+=4的解为x=且x≠1,
∵关于x的分式方程+=4的解为正数,
∴>0且≠1,
∴a<6且a≠2.
,
解不等式①得:
y<﹣2;
解不等式②得:
y≤a.
∵关于y的不等式组的解集为y<﹣2,
∴a≥﹣2.
∴﹣2≤a<6且a≠2.
∵a为整数,
∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5,
(﹣2)+(﹣1)+0+1+3+4+5=10.
故选A.
3.若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解,且使关于y的分式方程+=2有非负数解,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A.3B.1C.0D.﹣3
【解答】解:
解不等式组,可得,
∵不等式组有且仅有四个整数解,
∴﹣1≤﹣<0,
∴﹣4<a≤3,
解分式方程+=2,可得y=(a+2),
又∵分式方程有非负数解,
∴y≥0,且y≠2,
即(a+2)≥0,(a+2)≠2,
解得a≥﹣2且a≠2,
∴﹣2≤a≤3,且a≠2,
∴满足条件的整数a的值为﹣2,﹣1,0,1,3,
∴满足条件的整数a的值之和是1.
故选:
B.
4.分式方程=1﹣的根为( )
A.﹣1或3B.﹣1C.3D.1或﹣3
【解答】解:
去分母得:
3=x2+x﹣3x,
解得:
x=﹣1或x=3,
经检验x=﹣1是增根,分式方程的根为x=3,
故选C
5.如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根,那么m的值为( )
A.﹣2B.2C.4D.﹣4
【解答】解:
﹣=1,
去分母,方程两边同时乘以x﹣2,得:
m+2x=x﹣2,
由分母可知,分式方程的增根可能是2,
当x=2时,m+4=2﹣2,
m=﹣4,
故选D.
6.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件,很快售完;该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫,所进件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元,求第一批购进多少件衬衫?
设第一批购进x件衬衫,则所列方程为( )
A.﹣10=B.+10=
C.﹣10=D.+10=
【解答】解:
设第一批购进x件衬衫,则所列方程为:
+10=.
故选:
B.
7.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h,它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间,与以最大航速逆流航行90km所用时间相等.设江水的流速为vkm/h,则可列方程为( )
A.=B.=
C.=D.=
【解答】解:
设江水的流速为vkm/h,根据题意得:
=,
故选:
D.
8.甲、乙二人做某种机械零件,甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件,下面所列方程正确的是( )
A.B.C.D.
【解答】解:
设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(x﹣6)个零件,
由题意得,=.
故选A.
9.2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木齐市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,设原计划每天植树x万棵,可列方程是( )
A.﹣=5B.﹣=5
C.+5=D.﹣=5
【解答】解:
设原计划每天植树x万棵,需要天完成,
∴实际每天植树(x+0.2x)万棵,需要天完成,
∵提前5天完成任务,
∴﹣=5,
故选(A)
10.市创建全国文明城市已经进入倒计时!
某环卫公司为清理卫生死角的垃圾,调用甲车3小时只清理了一半垃圾,为了加快进度,再调用乙车,两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时,根据题意可列出方程为( )
A.+=1B.+=C.+=D.+=1
【解答】解:
由题意可得,
,
故选B.
11.若关于x的方程﹣=﹣1无解,则m的值是( )
A.m=B.m=3C.m=或1D.m=或3
【解答】解:
去分母得:
3﹣2x+mx﹣2=﹣x+3,
整理得:
(m﹣1)x=2,
当m﹣1=0,即m=1时,方程无解;
当m﹣1≠1时,x﹣3=0,即x=3时,方程无解,此时=3,即m=,
故选C
12.若=0无解,则m的值是( )
A.﹣2B.2C.3D.﹣3
【解答】解:
方程两边都乘(x﹣4)得:
m+1﹣x=0,
∵方程无解,
∴x﹣4=0,
即x=4,
∴m+1﹣4=0,
即m=3,
故选C.
13.如果关于x的不等式组的解集为x>1,且关于x的分式方程+=3有非负整数解,则符合条件的m的所有值的和是( )
A.﹣2B.﹣4C.﹣7D.﹣8
【解答】解:
,
解①得x>m,
解②得x>1.
不等式组的解集是x>1,则m≤1.
解方程+=3,
去分母,得1﹣x﹣m=3(2﹣x),
去括号,得1﹣x﹣m=6﹣3x,
移项,得﹣x+3x=6﹣1+m,
合并同类项,得2x=5+m,
系数化成1得x=.
∵分式方程+=3有非负整数解,
∴5+m≥0,
∴m≥﹣5,
∴﹣5≤m≤1,
∴m=﹣5,﹣3,1,
∴符合条件的m的所有值的和是﹣7,
故选C.
14.从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中,随机抽取一个数记为m,若数m使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程+=﹣1有非负整数解,那么这一个数中所有满足条件的m的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
不等式组整理得:
,
由不等式组无解,得到m+2≥﹣2m﹣1,
解得:
m≥﹣1,即m=﹣1,0,2,5,
分式方程去分母得:
x﹣m+2=﹣x+2,即x=m,
把m=﹣1代入得:
x=﹣,不符合题意;
把m=0代入得:
x=0,符合题意;
把m=2代入得:
x=1,符合题意;
把m=5代入得:
x=2.5,不符合题意,
则所有满足条件m的个数是2,
故选B
二.填空题(共15小题)
15.若关于x的分式方程+3=无解,则实数m= 3或7 .
【解答】解:
方程去分母得:
7+3(x﹣1)=mx,
整理,得(m﹣3)x=4,
当整式方程无解时,m﹣3=0,m=3;
当整式方程的解为分式方程的增根时,x=1,
∴m﹣3=4,m=7,
∴m的值为3或7.
故答案为3或7.
16.若关于x的分式方程+=3的解为正实数,则实数m的取值围是 m<6且m≠2 .
【解答】解:
+=3,
方程两边同乘(x﹣2)得,x+m﹣2m=3x﹣6,
解得,x=,
∵≠2,
∴m≠2,
由题意得,>0,
解得,m<6,
故答案为:
m<6且m≠2.
17.甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务,已知乙比甲每天多铺设5米,甲、乙完成铺设任务的时间相同,问甲每天铺设多少米?
设甲每天铺设x米,根据题意可列出方程:
= .
【解答】解:
设甲工程队每天铺设x米,则乙工程队每天铺设(x+5)米,由题意得:
=.
故答案是:
=.
18.某市为绿化环境计划植树2400棵,实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%,结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树x棵,则根据题意可列方程为 ﹣=8 .
【解答】解:
设原计划每天植树x棵,则实际每天植树(1+20%)x=1.2x,
根据题意可得:
﹣=8,
故答案为:
﹣=8.
19.若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值围是 m≥﹣1且m≠1 .
【解答】解:
去分母得,m﹣1=2(x﹣1),
∴x=,
∵方程的解是非负数,
∴m+1≥0即m≥﹣1
又因为x﹣1≠0,
∴x≠1,
∴≠1,
∴m≠1,
则m的取值围是m≥﹣1且m≠1.
故选:
m≥﹣1且m≠1.
20.若关于x的分式方程+=2有整数解,整数m的值是 1,3,4,﹣2,6 .
【解答】解:
去分母得:
mx﹣1+1=2x﹣4,
整理得:
(m﹣2)x=﹣4,
解得:
x=﹣,
由分式方程有整数解,得到m﹣2=﹣1,1,﹣2,2,﹣4,4,且x﹣2≠0,
解得:
m=1,3,4,﹣2,6,
故答案为:
1,3,4,﹣2,6
21.已知在方程x2+2x+=3中,如果设y=x2+2x,那么原方程可化为关于y的整式方程是 y2﹣3y+2=0 .
【解答】解:
设y=x2+2x,则原方程可化为y+=3,
去分母,得y2﹣3y+2=0.
故答案是:
y2﹣3y+2=0.
22.用换元法解方程﹣2•+1=0时应设y= .
【解答】解:
设y=,则原方程变为y﹣+1=0,
故答案为:
.
23.如果实数x满足(x+)2﹣(x+)﹣2=0,那么x+的值是 2 .
【解答】解:
设x+=u,原方程等价于u2﹣u﹣2=0,
解得u=2或u=﹣1,
x+=2或x+=﹣1(不符合题意,舍),
故答案为:
2.
24.关于x的分式方程有增根,则增根为 x=1 .
【解答】解:
∵原方程有增根,
∴最简公分母x﹣1=0,
解得x=1.
故答案为x=1.
25.若关于x的方程有增根,则m的值是 4 .
【解答】解:
方程两边都乘(x﹣2),
得x+2=m
∵原方程有增根,
∴最简公分母(x﹣2)=0,
解得x=2,
当x=2时,m=2+2+4,
故答案为:
4.
26.若分式方程的解为正数,则a的取值围是 a<8,且a≠4 .
【解答】解:
分式方程去分母得:
x=2x﹣8+a,
解得:
x=8﹣a,
根据题意得:
8﹣a>0,8﹣a≠4,
解得:
a<8,且a≠4.
故答案为:
a<8,且a≠4.
27.关于x的方程:
x+=c+的解是x1=c,x2=;x﹣=c﹣的解是x1=c,x2=﹣,则x+=c+的解是x1=c,x2= 3+ .
【解答】解:
∵x+=c+的解是x1=c,x2=;x﹣=c﹣的解是x1=c,x2=﹣,
∴x+=c+可化为x﹣3+=c﹣3+,
x+=c+的解是x1=c,x2=3+,
故答案为3+.
28.若关于x的分式方程﹣=无解,求a= ﹣1或2 .
【解答】解:
去分母得:
3﹣x﹣a(x﹣2)=﹣2,即(a+1)x=2a+5,
当a=﹣1时,显然方程无解;
当a≠﹣1时,x=,
当x=2时,a不存在;
当x=3时,a=2,
综上,a的值为﹣1或2.
故答案为﹣1或2.
29.解关于x的方程+=产生增根,则常数a= ﹣4或6 .
【解答】解:
去分母得:
2x+4+ax=3x﹣6,
由分式方程有增根,得到(x+2)(x﹣2)=0,即x=2或x=﹣2,
把x=2代入得:
8+2a=0,即a=﹣4;
把x=﹣2代入得:
﹣2a=﹣12,即a=6,
综上,常数a=﹣4或6,
故答案为:
﹣4或6
三.解答题(共6小题)
30.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm.点D在AC上,AD=1cm,点P从点A出发,沿AB匀速运动;点Q从点C出发,沿C→B→A→C的路径匀速运动.两点同时出发,在B点处首次相遇后,点P的运动速度每秒提高了2cm,并沿B→C→A的路径匀速运动;点Q保持速度不变,并继续沿原路径匀速运动,两点在D点处再次相遇后停止运动,设点P原来的速度为xcm/s.
(1)点Q的速度为 x cm/s(用含x的代数式表示).
(2)求点P原来的速度.
【解答】解:
(1)设点Q的速度为ycm/s,
由题意得3÷x=4÷y,
∴y=x,
故答案为:
x;
(2)AC===5,
CD=5﹣1=4,
在B点处首次相遇后,点P的运动速度为(x+2)cm/s,
由题意得=,
解得:
x=(cm/s),
经检验x=是原方程的根,
答:
点P原来的速度为cm/s.
31.若关于x的方程﹣=1的根是2,求(m﹣4)2﹣2m+8的值.
【解答】解:
∵关于x的方程﹣=1的根是2,
∴把x=2代入方程得:
2﹣=1,
解得:
m=4,
则(m﹣4)2﹣2m+8=(4﹣4)2﹣2×4+8=0.
32.设A=,B=
(1)求A与B的差;
(2)若A与B的值相等,求x的值.
【解答】解:
(1)A﹣B=
=
=
=
(2)∵A=B
∴
去分母,得2(x+1)=x
去括号,得2x+2=x
移项、合并同类项,得x=﹣2
经检验x=﹣2是原方程的解.
33.定义新运算:
对于任意实数a,b(其中a≠0),都有a⊗b=﹣,等式右边是通常的加法、减法及除法运算,例如2⊗3=﹣=+=1.
(1)求(﹣2)⊗3的值;
(2)若x⊗2=1,求x的值.
【解答】解:
(1)原式=﹣=﹣3
(2)由题意可知:
﹣=1
1﹣(x﹣2)=x
1﹣x+2=x
x=
经检验,x=是原方程的解,
34.
(1)计算:
(π﹣2)0++(﹣1)2013﹣
(2)解分式方程:
﹣=1.
【解答】解:
(1)原式=1+2﹣1﹣4
=﹣2;
(2)去分母得x(x﹣1)﹣(x+1)=(x+1)(x﹣1),
解得x=0,
经检验,x=0为原方程的根.
35.解方程:
+=.
【解答】解:
去分母得:
x﹣4+x﹣3=﹣2x﹣6,
解得:
x=,
经检验x=是分式方程的解.
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