人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》同步能力达标测评附答案.docx
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人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》同步能力达标测评附答案
2021年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》同步能力达标测评(附答案)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A.3x2+
﹣1=0B.5x2﹣6y﹣3=0C.ax2﹣x+2=0D.3x2﹣2x﹣1=0
2.方程(x﹣a)(x﹣b)﹣x=0的两根是c、d,则方程(x﹣c)(x﹣d)+x=0的根是( )
A.a,bB.﹣a,﹣bC.c,dD.﹣c,﹣d
3.方程x2=4的解是( )
A.x=2B.x=﹣2C.x1=1,x2=4D.x1=2,x2=﹣2
4.给出一种运算:
对于函数y=xn,规定y'=nxn﹣1.例如:
若函数y=x4,则有y'=4x3.已知函数y=x3,则方程y'=36的解是( )
A.x1=x2=0B.x1=2
,x2=﹣2
C.x1=2,x2=﹣2D.x1=4,x2=﹣4
5.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2,则其斜边长为( )
A.2
cmB.10cmC.8cmD.4
cm
6.如图,在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为( )
A.(62﹣x)(42﹣x)=2400B.(62﹣x)(42﹣x)+x2=2400
C.62×42﹣62x﹣42x=2400D.62x+42x=2400
7.某市2021年年底自然保护区覆盖率为8%,经过两年努力,该市2023年年底自然保护区覆盖率达到9%,求该市这两年自然保护区面积的平均增长率.设年均增长率为x,可列方程为( )
A.9%(1﹣x)2=8%B.8%(1﹣x)2=9%
C.9%(1+x)2=8%D.8%(1+x)2=9%
8.已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为( )
A.10B.14C.10或14D.8或10
9.若a,b,c是△ABC的三边长,且a2+b2+c2﹣10a﹣24b﹣26c=﹣338,则△ABC的周长是( )
A.26B.28C.30D.32
10.设x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根,则x1+x2=( )
A.﹣2B.2C.3D.﹣3
11.一元二次方程3x2﹣x+9=0的一次项是 .
12.已知:
(x2+y2)(x2+y2﹣1)=20,那么x2+y2= .
13.方程
的根是 .
14.写一个关于x的一元二次方程,使
(1)它的两个根是x1=2,x2=﹣1;
(2)该方程无实根.
(1) ;
(2) .
15.关于x的方程mx2﹣2(m+2)x+m+5=0无实数根,则关于x的方程(m﹣5)x2﹣2(m+2)x+m=0的根的情况是 .
16.方程3x2﹣8xy+7y2﹣4x+2y=109的整数解是 .
17.我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题,就是“引葭赴岸”问题,(如图)题目是:
“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何?
”
题意是:
有一正方形池塘,边长为一丈,有棵芦苇长在它的正中央,高出水面部分有一尺长,把芦苇拉向岸边的中点,恰好碰到岸沿,问水深和芦苇长各是多少?
(小知识:
1丈=10尺)
如果设水深为x尺,则芦苇长用含x的代数式可表示为 尺,根据题意列方程为 .
18.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号Max{a,b}表示a,b中的较大值,如:
Max{2,4}=4,按照这个规定,方程Max{x,﹣x}=x2﹣2的解为 .
三.解答题(共9小题,19—23每小题6分,24、25每小题8分,26、27每小题10分,满分66分)
19.用适当的方法解下列方程
(1)2x2﹣5x=3
(2)x(x﹣5)=2(x﹣5)
20.已知x2+x﹣1=0,求代数式(x+1)2+(x+1)(2x﹣1)的值.
21.已知2+
是方程x2﹣4x+c=0的一个根,求方程的另一个根及c的值.
22.计算
(1)解方程:
x2+6x﹣8=0
(2)已知m是x2﹣x﹣1=0的解,求代数式2m﹣m(m+1)+8的值.
23.当m为什么值时,关于x的方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0有实根.
24.解方程组:
.
25.(教材变式题)如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,求满足x的方程.
26.关于x的方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0有两个实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=1﹣x1x2,求k的值
27.某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3480元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
参考答案
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.解:
A、是分式方程,故A错误;
B、是二元二次方程,故B错误;
C、a=0时,是一元一次方程,故C错误;
D、是一元二次方程,故D正确;
故选:
D.
2.解:
∵(x﹣a)(x﹣b)﹣x=0,
∴x2﹣(a+b+1)x+ab=0,
而方程的两个根为c、d,
∴c+d=a+b+1,①
cd=ab,②
又方程(x﹣c)(x﹣d)+x=0可以变为x2﹣(c+d﹣1)x+cd=0,③
∴把①②代入③中得
x2﹣(a+b)x+ab=0,
(x﹣a)(x﹣b)=0,
∴x=a,x=b.
故选:
A.
3.解:
∵x2=4,
∴x1=2,x2=﹣2,
故选:
D.
4.解:
根据题意得3x2=36,
即x2=12,
解得:
x1=2
,x2=﹣2
,
故选:
B.
5.解:
设这个直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,
根据题意得a+b=14,
ab=24,即ab=48,
∴c2=a2+b2=(a+b)2﹣2ab=142﹣2×48=100,
开平方,得c=10,即斜边长为10cm.
故选:
B.
6.解:
设道路的宽为x米,根据题意得(62﹣x)(42﹣x)=2400.
故选:
A.
7.解:
设该市总面积为1,该市这两年自然保护区的年均增长率为x,根据题意得
1×8%×(1+x)2=1×9%,
即8%(1+x)2=9%.
故选:
D.
8.解:
∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根,
∴22﹣4m+3m=0,m=4,
∴x2﹣8x+12=0,
解得x1=2,x2=6.
①当6是腰时,2是底边,此时周长=6+6+2=14;
②当6是底边时,2是腰,2+2<6,不能构成三角形.
所以它的周长是14.
故选:
B.
9.解:
已知等式变形得:
(a2﹣10a+25)+(b2﹣24b+144)+(c2﹣26c+169)=0,
即(a﹣5)2+(b﹣12)2+(c﹣13)2=0,
可得a﹣5=0,b﹣12=0,c﹣13=0,
解得:
a=5,b=12,c=13,
则△ABC周长为5+12+13=30.
故选:
C.
10.解:
根据根与系数的关系,
x1+x2=﹣
=2.
故选:
B.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
11.解:
一元二次方程3x2﹣x+9=0的一次项是﹣x.
故答案是:
﹣x.
12.解:
设t=x2+y2(t≥0),则t(t﹣1)=20.
整理,得(t﹣5)(t+4)=0.
解得t=5或t=﹣4(舍去).
所以x2+y2=5.
故答案是:
5.
13.解:
两边平方得:
3x+4=x2,
解方程得:
x1=﹣1,x2=4,
检验:
当x=﹣1时,原方程右边=﹣1,所以x=﹣1不是原方程的解,
当x=4时,原方程左边=右边,所以x=4是原方程的解.
故答案为:
x=4;
14.解:
(1)∵x1=2,x2=﹣1,
∴x1+x2=1,x1•x2=﹣2,
∴所求的一元二次方程可为x2﹣x﹣2=0;
(2)∵方程无实根,
∴△<0,
满足条件得方程可为x2﹣x+2=0.
故答案为x2﹣x﹣2=0;x2﹣x+2=0.
15.解:
∵关于x的方程mx2﹣2(m+2)x+m+5=0无实数根,
∴△=4(m+2)2﹣4m(m+5)<0,解得m>4,
∵当m=5时,原方程是关于x的一元一次方程,有一个实数根;
当m≠5时,原方程是关于x的一元二次方程,
∴△=4(m+2)2﹣4m(m﹣5)=16+4m,
∵m>4,
∴16+4m>0,
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
综上所述,关于x的方程(m﹣5)x2﹣2(m+2)x+m=0的根的情况是有一个或两个不相等的实数根.
故答案为:
有一个或两个不相等的实数根.
16.解:
3x2+(﹣8y﹣4)x+(7y2+2y﹣109)=0,
其判别式△=(8y+4)2﹣12(7y2+2y﹣109)=4(﹣5y2+10y+331)应为完全平方数,
设﹣5y2+10y+331=u2(u为正整数),则
(1),
又由﹣5y2+10y+331﹣u2=0
(2),
其判别式△′=100+20(331﹣u2)=4×5(336﹣u2)应为完全平方数.从而336﹣u2必有因数5,
设336﹣u2=5v2(v为正整数)(3),
则y=1±v(4),
v2=
,
∴1≤v≤8,把v=1,2,3,4,5,6,7,8代入(3)得2=331,316,291,256,211,156,140,16,
易得方程(3)的正整数解为
,
代入
(1)(4)可得原方程组的四组整数解:
(14,9);(﹣10,﹣7);(2,5);(2,﹣3).
故填:
(14,9);(﹣10,﹣7);(2,5);(2,﹣3).
17.解:
设水深为x尺,则芦苇长用含x的代数式可表示为(x+1)尺,根据题意列方程为x2+52=(x+1)2,
故答案为:
(x+1),x2+52=(x+1)2,
18.解:
分为两种情况:
①当x>﹣x,即x>0时,x2﹣2=x,
解得:
x1=2,x2=﹣1,
x=﹣1舍去;
②当﹣x>x,即x<0时,x2﹣2=﹣x,
解得:
x1=﹣2,x2=1,
x=1舍去;
所以方程Max{x,﹣x}=x2﹣2的解为2或﹣2,
故答案为:
2或﹣2.
三.解答题(共9小题,19—23每小题6分,24、25每小题8分,26、27每小题10分,满分66分)
19.解:
(1)方程整理得:
x2﹣
x=3,
配方得:
x2﹣
x+
=
,即(x﹣
)2=
,
开方得:
x﹣
=±
,
解得:
x1=3,x2=﹣
;
(2)方程整理得:
x(x﹣5)﹣2(x﹣5)=0,
分解因式得:
(x﹣2)(x﹣5)=0,
解得:
x1=5,x2=2.
20.解:
原式=x2+2x+1+2x2﹣x+2x﹣1=3x2+3x.
∵x2+x﹣1=0,
∴x2+x=1.
∴原式=3(x2+x)=3.
21.解:
把2+
代入方程x2﹣4x+c=0,得(2+
)2﹣4(2+
)+c=0,
解得c=1;
所以原方程是x2﹣4x+1=0,
解得方程的解是x=2±
;
∴另一解是2﹣
.
22.解:
(1)由原方程移项,得
x2+6x=8,
两边同时加上一次项系数的一半,得
x2+6x+32=8+32,
配方,得
(x+3)2=17,
直接开平方,得
x+3=±
,
解得,x1=﹣3+
,x2=﹣3﹣
;
(2)∵m是x2﹣x﹣1=0的解,
∴m2﹣m﹣1=0,则m2﹣m=1,
∴2m﹣m(m+1)+8=﹣(m2﹣m)+8=﹣1+8=7,即代数式2m﹣m(m+1)+8的值是7.
23.解:
∵关于x的方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0有实根,
①若方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0是一元二次方程,
∴△=b2﹣4ac=[2(m+1)]2﹣4×(m2﹣4)×1=8m+20≥0,
解得:
m≥﹣
,
∵m2﹣4≠0,
∴m≠±2,
∴m≥﹣
且m≠±2;
②若方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0是一元一次方程,
则m2﹣4=0且2(m+1)≠0,
解得:
m=±2,
∴综上所述:
若方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0是一元二次方程,则满足题意的m的取值为m≥﹣
且m≠±2,
若方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0是一元一次方程,则满足题意的m的取值为m=±2.
∴当m≥﹣
时,关于x的方程(m2﹣4)x2+2(m+1)x+1=0有实根.
24.解:
由
(2)得:
(x﹣y)2=1,
即:
x﹣y=1或x﹣y=﹣1(3),
由
(1)和(3)组成两个二元一次方程组,得:
或
,
解所得的两个方程组得:
,
.
25.解:
挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm;
所以(80+2x)(50+2x)=5400,
即4x2+160x+4000+100x=5400,
所以4x2+260x﹣1400=0.
即x2+65x﹣350=0.
26.解:
(1)∵关于x的方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0有两个实数根x1、x2,
∴△≥0,即[﹣2(k﹣1)]2﹣4k2≥0,解得k≤
;
(2)由根与系数关系可得x1+x2=2(k﹣1),x1x2=k2,
∵x1+x2=1﹣x1x2,
∴2(k﹣1)=1﹣k2,解得k=1或k=﹣3,
∵k≤
,
∴k=﹣3.
27.解:
(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,
依题意得:
400×(1﹣x%)2=324,
解得:
x=10,或x=190(舍去).
答:
该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100﹣m)件,
第一次降价后的单件利润为:
400×(1﹣10%)﹣300=60(元/件);
第二次降价后的单件利润为:
324﹣300=24(元/件).
依题意得:
60m+24×(100﹣m)=36m+2400≥3480,
解得:
m≥30.
答:
为使两次降价销售的总利润不少于3480元.第一次降价后至少要售出该种商品30件.
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