八下同步4平行四边形.docx
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八下同步4平行四边形
第4讲四边形-平行四边形
一、知识梳理
要点一:
平行四边形的性质:
边:
两组对边分别相等,两组对边分别平行;
角:
两组对角分别相等,邻角互补;
对角线:
对角线互相平分。
要点二:
平行四边形的判定:
边:
①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;
角:
④两组对角分别相等;
对角线:
⑤对角线互相平分。
要点三:
平行四边形的基本图形:
要点四:
三角形的中位线:
(已知中位线,则体现两种关系:
位置关系,数量关系)
关于中点的一些知识:
中线—倍长中线(造全等);直角三角形斜边中线等于斜边的一半(矩形一节的知识);等腰三角形中三线合一;取中点,构造三角形中位线等。
熟悉一些基本图形:
例题与解题思路方法归纳
例1:
如图所示,已知□ABCD中,M是BC的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,
则该平行四边形的面积是
〖解题思路〗平移线段AM至BN,把线段BD、AM、BN放到同一个三角形中,
根据各边长得到△BDN是直角三角形,求得△BDN的面积,即为平行四边形
的面积。
〖参考答案〗54.
例2.如图,△ABC中,,AB=3,BC=5,AC=4,△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形,
(1)确定四边形AEFD的形状,
(2)求四边形AEFD的面积。
〖解题思路〗由等边三角形可得△DBF≌△ABC,△EFC≌△ABC,
可得AD=AB=EF,DF=AC=AE,即四边形AEFD为平行四边形。
由勾
股定理的逆定理得∠BAC=90°,可得∠DAF=150°,∠ADF=30°即
F到AD的距离为2,可得□AEFD的面积。
〖参考答案〗S□AEFD=6.
例3.如图,在平行四形
〖解题思路〗
(1)由平行四边的性质与,,可得AB=DC=DF,BE=BC=AD,
∠ABC=ADC,且,可得∠ABE=∠ADF,即(SAS);
(2)由
(1),可得∠BAE=∠DAF,∠AEB=∠AFD,
∠EBH=∠AEB+∠EAB=∠DAF+∠EAB=58°
〖参考答案〗∠EBH=58°
例4.平行四边形ABCD中,AB=2cm,BC=12cm,∠B=45°,点P在边BC上,由点B向点C运动,速度为每秒2cm,点Q在边AD上,由点D向点A运动,速度为每秒1cm,连接PQ,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形ABPQ为平行四边形;
(2)设四边形ABPQ的面积为ycm2,请用含有t的代数式表示y的值;
(3)当P运动至何处时,四边形ABPQ的面积是平行四边形ABCD面积的四分之三?
〖解题思路〗
(1);四边形ABPQ为平行四边形时,AQ=BP,即2t=12-t;
(2)过点A作AE⊥BC于E,由∠B=45°,AB=2,可求出高AE=
,则
y=
[2t+(12-t)]
;(3)四边形ABPQ的面积是平行四边形ABCD面积的四分之三时,
[2t+(12-t)]
=
×12
。
〖参考答案〗
(1)t=4;
(2)y=
(12+t);(3)t=6,即P与C重合时。
例5.如图所示.D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q.求证:
AP=AQ.
〖解题思路〗在BC边上取中点F,构造中位线MF,NF,
即MF∥CE,MF=CE,同理NF∥BD,NF=
BD,又BD=CE,
可得两组内错角∠FMQ=∠MQE=∠FNP=∠NPD,即
∠APQ=∠AQP,AP=AQ
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A类题(20道题):
1.如图,在△ABC中,BD、CE是△ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点,连接AO.若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是( )
A.
14cm
B.
18cm
C.
24cm
D.
28cm
2.如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD上一点P,作EF∥BC,HG∥AB,若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2,则S1与S2的大小关系为( )
A.
S1=S2
B.
S1>S2
C.
S1<S2
D.
不能确定
3.已知四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,周长为40cm,两邻边的比是3:
2,则较大边的长度是()
A.
8cm
B.
10cm
C.
12cm
D.
14cm
4.下列说法中错误的是( )
A.
平行四边形的对角线互相平分
B.
有两对邻角互补的四边形为平行四边形
C.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.
一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形
5.如图,△ABC中,∠ABC=∠BAC,D是AB的中点,EC∥AB,DE∥BC,AC与DE交于点O.下列结论中,不一定成立的是( )
A.
AC=DE
B.
AB=AC
C.
AD=EC
D.
OA=OE
6.如图AB∥FD,GE∥AC,EF∥DG,GF∥BC,点O为DF与GE的交点,图中共有平行四边形( )
A.
3个
B.
4个
C.
5个
D.
6个
1题图2题图5题图6题图
7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD,∠A=60°,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=1cm,那么对角线BD= _________ cm.
8.如图,在
中,
若AE=4,AF=6,
的周长为40,则
的面积是_________。
7题图8题图9题图10题图
9.如图,平行四边形ABCD的周长为16cm,AC,BD相交于点O,OE⊥AC于O,则△DCE的周长为_________
10.如图,小红作出了边长为1的第1个正三角形△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积,然后分别取△A1B1C1三边的中点A2B2C2,作出了第二个正三角形△A2B2C2,算出第2个正△A2B2C2的面积,用同样的方法作出了第3个正△A3B3C3,算出第3个正△A3B3C3的面积,依此方法作下去,由此可得第n次作出的正△AnBnCn的面积是 _________ .
11.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,∠B=∠D.
(1)求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=
AB,点P从B点出发,以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止,则从运动开始经过多少时间,△BEP为等腰三角形?
12.已知:
如图,D,E,F分别是△ABC各边上的点,且DE∥AC,DF∥AB.延长FD至点G,使DG=FD,连接AG.
求证:
ED和AG互相平分.
13.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵
大柳树.李大伯准备开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动.
如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯的愿望能否实现?
若能,
请画出你的设计;若不能,请说明理由.
14.如图1,已知在△ABC中,AB=AC,点P为底边BC上(端点B、C除外)的任意一点,且PE∥AC,PF∥AB.
(1)试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系,并说明理由;
(2)如图2,将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”,其它条件不变,上述结论还成立吗?
如果不成立,你能得出什么结论?
请说明你的理由.
15.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?
16.如图a、b在平行四边形ABCD中,∠BAD,∠ABC的平分线AF,BG分别与线段CD两侧的延长线(或线段CD)相交于点F,G,AF与BG相交于点E.
(1)在图a中,求证:
AF⊥BG,DF=CG;
(2)在图b中,仍有
(1)中的AF⊥BG,DF=CG成立.请解答下面问题:
①若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长;
②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件,使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形?
若能,请写出所给条件;若不能,请说明理由.
17.在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内的一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.
(1)如图1,若点P在BC边上,∥此时PD=0,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)如图2,当点P在△ABC内,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)如图3,当点P在△ABC外,猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)
18.如图:
AD是△ABC的高,M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点.
(1)求证:
ME=DN;
(2)若BC=AD=12,AC=13,求四边形DEMN的面积.
B类题(6道题):
19.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE的度数是 _________ 度.
19题图20题图21题图
20.如图所示,□ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为 _________ .
21.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC=8,BD=4,各边中点分别为A1、B1、C1、D1,顺次连接得到四边形A1B1C1D1,再取各边中点A2、B2、C2、D2,顺次连接得到四边形A2B2C2D2,…,依此类推,这样得到四边形AnBnCnDn,则四边形AnBnCnDn的面积为 _________ .
22、如图,已知:
四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB的中点,直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H.求证:
∠AHF=∠BGF.
23、如图,△ABC中,AD为中线,E为边BC上一点,过E作EF∥AB交AC于F,交AD于M,EG∥AC交AB于G.
(1)如图1,若E与D重合,写出图中所有与FG相等的线段,并选取一条给出证明.
(2)如图纸,若E与D不重合,在
(1)中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段,并给出证明.
(3)如图3,若E在BC的延长线上,其它条件不变,作出图形(不写作法),FG= _________ .
24、如图
(1),BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F、G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N.
(1)试说明:
FG=
(AB+BC+AC);
(2)①如图
(2),BD、CE分别是△ABC的内角平分线;②如图(3),BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线.
则在图
(2)、图(3)两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对其中的一种情况说明理由.
C类题(3道题):
25、已知在□ABCD中,AE⊥BC于E,DF平分∠ADC交线段AE于F.
(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°,请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系;
(2)如图2,若AE=AD,你在
(1)中得到的结论是否仍然成立,若成立,对你的结论加以证明,若不成立,请说明理由;
.
26、小杰遇到这样一个问题:
如图1,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF,△AEF的三条高线交于点H,如果AC=4,EF=3,求AH的长.
小杰是这样思考的:
要想解决这个问题,应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2),可以解决这个问题.
请你参考小杰同学的思路回答:
(1)图2中AH的长等于 _________ .
(2)如果AC=a,EF=b,那么AH的长等于 _________ .
27、(2011•北京)在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
【参考答案】
A组答案:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
16.
19.
20.
21.
22.
B组答案:
C组答案:
26.
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