学年北师大版必修2第一章51平行关系的判定学案.docx
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学年北师大版必修2第一章51平行关系的判定学案
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
学习目标
1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
知识点一 直线与平面平行的判定定理
思考 如图,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系?
答案 平行.
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行
⇒a∥α
知识点二 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行吗?
答案 不一定.
思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与平面α平行吗?
答案 平行.
梳理 判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
⇒α∥β
1.若直线l上有两点到平面α的距离相等,则l∥平面α.( × )
2.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行.( × )
3.若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.( × )
4.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.( √ )
类型一 直线与平面平行的判定问题
命题角度1 以锥体为背景证明线面平行
例1 如图,S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且
=
.
求证:
MN∥平面SBC.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明 连接AN并延长交BC于点P,连接SP.
因为AD∥BC,所以
=
,
又因为
=
,所以
=
,所以MN∥SP,
又MN⊈平面SBC,SP平面SBC,
所以MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M,N分别是SA,BD的中点,试证明MN∥平面SBC.
证明 连接AC,由平行四边形的性质可知,AC必过BD的中点N,在△SAC中,M,N分别为SA,AC的中点,所以MN∥SC,又因为SC平面SBC,MN⊈平面SBC,所以MN∥平面SBC.
反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
跟踪训练1 在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
答案 平面ABD与平面ABC
解析 如图,取CD的中点E,连接AE,BE,MN.
则EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2,
所以MN∥AB.
又AB平面ABD,MN⊈平面ABD,
所以MN∥平面ABD,
同理,AB平面ABC,MN⊈平面ABC,
所以MN∥平面ABC.
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行
例2 在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?
请证明你的结论.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
解 存在.证明如下:
如图,取线段AB的中点为M,
连接A1M,MC,A1C,AC1,
设O为A1C,AC1的交点.
由已知得,O为AC1的中点,
连接MD,OE,
则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD∥AC且MD=
AC,OE∥AC且OE=
AC,
因此MD∥OE且MD=OE.
连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,
则DE∥MO.
因为直线DE⊈平面A1MC,MO平面A1MC,
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),
使直线DE∥平面A1MC.
反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时,常用线面平行的判定定理,遇到题目中含有线段中点时,常利用取中点去寻找平行线.
跟踪训练2 如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:
BC1∥平面AB1D1;
(2)若E,F分别是D1C,BD的中点,求证:
EF∥平面ADD1A1.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的证明
证明
(1)∵BC1⊈平面AB1D1,AD1平面AB1D1,BC1∥AD1,∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点,∴F为AC的中点,又∵点E为D1C的中点,∴EF∥AD1,∵EF⊈平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,∴EF∥平面ADD1A1.
类型二 平面与平面平行的判定
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明
(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
因为EF⊈平面BCHG,BC平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB,A1G=EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,
所以A1E∥GB.
因为A1E⊈平面BCHG,GB平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法
(1)定义法:
证明两个平面没有公共点,通常采用反证法.
(2)利用判定定理:
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
(3)转化为线线平行:
平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性:
若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
跟踪训练3 如图所示,已知A为平面BCD外一点,M,N,G分别是△ABC,△ABD,△BCD的重心.
求证:
平面MNG∥平面ACD.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的证明
证明 如图,设BM,BN,BG分别交AC,AD,CD于点P,F,H,连接PF,PH.
由三角形重心的性质,得
=
=
=2,
∴MG∥PH,又PH平面ACD,MG⊈平面ACD,
∴MG∥平面ACD.
同理可证MN∥平面ACD,
又MN∩MG=M,MN平面MNG,MG平面MNG,
∴平面MNG∥平面ACD.
1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知,EF与平面AB′,平面BC′,平面CD′,平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
2.直线a,b为异面直线,过直线a与直线b平行的平面( )
A.有且只有一个B.有无数多个
C.至多一个D.不存在
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 在直线a上任选一点A,过点A作b′∥b,则b′是唯一的,因为a∩b′=A,所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面.
3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 A
解析 如图,∵EG∥E1G1,EG⊈平面E1FG1,
E1G1平面E1FG1,
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E,
同理可证H1E∥平面E1FG1,
又H1E∩EG=E,H1E,EG平面EGH1,
∴平面E1FG1∥EGH1.
4.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )
A.1个或2个
B.0个或1个
C.1个
D.0个
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 B
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时,可作出一个平面β,使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时,由于作出的平面又至少有一个公共点,故经过两点的平面都与平面α相交,不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
5.如图,四棱锥P-ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,CD⊥AD,F,E分别是PA,AD的中点,求证:
平面PCD∥平面FEB.
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
证明 连接BD,在△ABD中,∠BAD=60°,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,E为AD的中点,
∴BE⊥AD,又CD⊥AD,
∴在四边形ABCD中,BE∥CD.
又CD⊈平面FEB,BE平面FEB,∴CD∥平面FEB.
在△APD中,EF∥PD,
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD=D,
∴平面PCD∥平面FEB.
1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行,即要证直线和平面平行,先证直线和直线平行,即由立体向平面转化,由高维向低维转化.
2.证明面面平行的一般思路:
线线平行⇒线面平行⇒面面平行.
3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理,是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.
一、选择题
1.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.bα,a∥b
B.bα,c∥α,a∥b,a∥c
C.bα,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
D.a⃘α,bα,a∥b
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由线面平行的判定定理可知,D正确.
2.如果两直线a∥b且a∥α,则b与α的位置关系是( )
A.相交B.b∥α
C.bαD.b∥α或bα
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 D
解析 由a∥b且a∥α知,b与α平行或bα.
3.平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如图所示,则BC与α的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.BCα
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 A
解析 在△ABC中,因为AD∶DB=AE∶EC,所以BC∥DE.因为BC⊈α,DEα,所以BC∥α.
4.若六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 D
解析 由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1,平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.
5.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 B
解析 易证EF∥平面BCD.
由AE∶EB=AF∶FD知,EF∥BD,且EF=
BD.
又因为H,G分别为BC,CD的中点,
所以HG∥BD,且HG=
BD.
综上可知,EF∥HG,EF≠HG,
所以四边形EFGH是梯形,且EF∥平面BCD.
6.如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是( )
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 C
解析 在图A,B中,易知AB∥A1B1∥MN,所以AB∥平面MNP;在图D中,易知AB∥PN,所以AB∥平面MNP.故选C.
7.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为( )
A.平行B.相交
C.平行或相交D.可能重合
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 C
解析 若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.
8.已知直线l,m,平面α,β,下列说法正确的是( )
A.l∥β,lα⇒α∥β
B.l∥β,m∥β,lα,mα⇒α∥β
C.l∥m,lα,mβ⇒α∥β
D.l∥β,m∥β,lα,mα,l∩m=M⇒α∥β
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
答案 D
解析 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,
则AB∥平面DC1,AB平面AC,
但是平面AC与平面DC1不平行,
所以A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,可证EF∥平面AC,
B1C1∥平面AC.EF平面BC1,B1C1平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以B错误;AD∥B1C1,AD平面AC,B1C1平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以C错误;很明显D是面面平行的判定定理,所以D正确.
二、填空题
9.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个推断:
①m∥n;②m∥α;③n∥α,以其中两个为条件,余下的一个为结论,写出你认为正确的一个________.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 ①②⇒③(或①③⇒②)
解析 若m∥n,m∥α,则n∥α,同样,若m∥n,n∥α,则m∥α.
10.如图,在五面体FEABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与平面ADE的位置关系是________.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 平行
解析 ∵M,N分别是BF,BC的中点,
∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形,
∴CF∥DE,
∴MN∥DE.又MN⊈平面ADE,DE平面ADE,
∴MN∥平面ADE.
11.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面ADNE;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上四个说法中正确的是________.
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 ①②③④
解析 以ABCD为下底面还原正方体,如图.
则易知四个说法都是正确的.
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________时,有MN∥平面B1BDD1.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
答案 M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,HN∩HF=H,BD∩DD1=D,∴平面NHF∥平面B1BDD1,
故线段FH上任意一点M与N连接,
都有MN∥平面B1BDD1.
三、解答题
13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB,A1D1的中点分别为M,N,求证:
MN∥平面B1D1DB.
考点 直线与平面平行的判定
题点 直线与平面平行的判定
证明 如图,取BD的中点O,连接MO,D1O,则OM∥AD且OM=
AD,∵ND1=
A1D1,AD∥A1D1,且AD=A1D1,
∴OM∥ND1,且OM=ND1,
∴四边形OMND1为平行四边形,
∴MN∥OD1.又MN⊈平面B1D1DB,OD1平面B1D1DB,
∴MN∥平面B1D1DB.
四、探究与拓展
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:
①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
考点 平行问题的综合应用
题点 线线、线面、面面平行的相互转化
答案 A
解析 ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点,∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1,∴FG∥AD1,∵FG⊈平面AA1D1D,
AD1平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故①正确;∵EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,∴EF与平面BC1D1相交,故②错误;
∵FG∥BC1,FG⃘平面BC1D1,BC1平面BC1D1,
∴FG∥平面BC1D1,故③正确;
∵EF与平面BC1D1相交,∴平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.故选A.
15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
考点 平面与平面平行的判定
题点 平面与平面平行的判定
解 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,
∴QB∥PA,
又O为DB的中点,
∴D1B∥PO.
又PO∩PA=P,BQ∩D1B=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
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- 学年 北师大 必修 第一章 51 平行 关系 判定