中考数学人教版专题复习全等三角形的概念和性质.docx
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中考数学人教版专题复习全等三角形的概念和性质
2020年中考数学人教版专题复习:
全等三角形的概念及性质一、学习目标:
1.通过实例理解全等图形的概念和特征,并能找出全等图形。
能叙述全等三角形的定义及相关概念,并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。
2.
掌握全等三角形的性质,会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决一3.
些实际问题。
二、重点难点:
对应关系要明确。
重点是全等三角形的概念,难点是全等三角形的对应顶点要对应写,
三、考点分析:
本讲所涉及的考点是全等三角形的概念与全等三角形的性质。
在这里,全等三角形的概念属于了解,而全等三角形的性质属于掌握,对性质还要求会运用。
这两个知识点不会单独出大题,只会以小题的形式出现,或在大题中用到。
所以,大家只要在掌握个概念性质的基础上弄清楚对应关系即可。
【知识梳理】全等三角形的基本概念1.:
全等形的定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
(1)
全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
重合的顶点
(2)
叫做对应顶点。
重合的边叫做对应边。
重合的角叫做对应角。
A'B'CABC全等三角形的表示方法:
△≌△(3)全等三角形的性质:
2.AA'全等三角形的对应边相等;
(1)
(2)全等三角形的对应角相等。
CC'BB'1图【典型例题】
知识点一:
全等三角形的基本概念.
)例1:
下列说法正确的有(
张一寸相片是全等形①用一张底片冲洗出来的10颗小五星是全等形②我国国旗上的4所有的正方形是全等形③
全等形的面积一定相等④
D.4个.B2个C.3个.A1个
思路分析:
1)题意分析:
本题主要考查全等三角形定义中对“能够重合”的理解。
”来判2)解题思路:
根据全等三角形的定义:
“能够完全重合的两个图形叫做全等形。
断题目中每一句话中所谈到的图形是否能完全重合。
它们是全等张一寸照片的形状和大小完全相同,用一张底片冲洗出来的10:
解答过程它们也是全等形;我国国旗上的四颗小五星的形状和大小也完全相同,形,所以①正确;所以②正确;所有的正方形只是形状相同,但大小不一定相同,所以它们不是全等形,因此,所以④正确。
所以③不正确;全等形的形状和大小完全相同,所以面积一定相等,。
①②和④是正确的,故选C看我们所要判断的一定要个根据定义,:
在判断全等形或全等三角形时,解题后的思考图形是否能够重合。
)AB∥CD,则的对应边是(2例:
已知:
如图2,△ABD≌△CDB,若ABD.ADCDBB.BC.CDA.:
思路分C另一:
本题一方面考查全等三角形的概念,题意分析A对应角是否对应。
面考查全等三角形的对应顶点、对应边图,从而得∠∥本题通过给出条件ABCD,得出∠ADB=CBD出点B是对应点。
D和点都不可能相等,所以不可能是对应边。
BCDBAB解题思路:
由于和、、AD所以对应边一定相等才可能重解答过程由于对应边一定是全等三角形能够重合的边,:
。
、、而合,DBBCAD的对应边是所以,的对应边,AB,AB都不等于所以都不是ABCD。
(C)答案选.
解题后的思考:
本题主要考查全等三角形的定义及全等三角形各顶点的对应关系。
(图形用编号表示):
其中的全等图形为。
例3:
观察图3中的个各个图形,
思路分析:
图3
题意分析:
全等形是指能够完全重合的两个图形,目前要判断两个图形是否全等,一般是通过观察法,看它们经过平移、翻折、旋转之后能不能完全重合。
解题思路:
判断图形是否全等,一般要通过平移、旋转、翻折后看其是否完全重合,在解答本题时,首先找出同类图形,然后看其能否通过平移、旋转、翻折后完全重合。
解答过程:
(1)和(6)通过平移能够重合,所以
(1)和(6)是全等形;
(2)和(5)通过翻折、平移后能够重合,所以
(2)和(5)是全等形;(3)和(8)是通过旋转、平移后能够重合,所以(3)和(8)是全等形。
因此,本题中的全等形为
(1)和(6),
(2)和(5),(3)和(8)。
解题后的思考:
本题一方面考虑到全等形的定义:
“能够完全重合的两个图形叫全等形。
”另一方面,应考虑到网格图、简笔画图的全等图形,一般都是通过对图形的平移、旋转、翻折得到的。
小结:
本题组主要考查了全等形的基本概念,在判断图形是否能够重合时,一般要通过平移、翻折、旋转后看其是否能够重合。
初步给学生渗透初中平面几何中的三种全等变
换的意识。
知识点二:
全等三角形的性质
,写出这对全等AB=AC,ACE≌⊿ABD,已知⊿4如图:
1例
三角形的对应边和对应角。
思路分析:
1)题意分析:
要写出全等三角形的对应边和对应角,首先要判断出两个三角形能够重合的边和能够重合的角。
另外,要注意在全等三角形中,对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边。
2)解题思路:
在⊿ABD与⊿ACE中,AB=AC,所以AB与AC是对应边,它们所对的角是对应角,即∠ADB与∠AEC是对应角,∠A是公共角,所以∠A与∠A是对应角,剩下的∠B与∠C对应,这些对应角所对应的边是对应边,所以,AD与AE对应,BD与CE对应。
解答过程:
因为AB=AC,所以∠ADB与∠AEC是对应角,因为∠A=∠A,所以∠A与∠00-∠A-∠AEC,-∠ADB=180可得∠B=∠C,A是公共角,根据三角形的内角和定理180∠-A所以∠B与∠C是对应角;根据对应角所对的边是对应边,可以知道,AD与AE是对应边,BD与CE对应边。
综上可得,∠A与∠A,∠ADB与∠AEC,∠B与∠C是对应角,AB与AC,BD与CE,AD与AE是对应边。
解题后的思考:
本题除了运用前面介绍的方法外,也可用简便的方法来找。
对照图4发现条件中的⊿ABD≌⊿ACE是按照对应顶点的顺序写的,所以可按顺序⊿ABD≌⊿ACE写出它们的对应边:
AB与AC,BD与CE,AD与AE;对应角:
∠A与∠A,∠ADB与∠AEC,∠B与∠C。
例2:
如图5,
∠∠,∠∠C,指出其他的对应边和对应角。
,1=2B=ACDABE已知⊿≌⊿
思路分析:
,∠∠21ACD全等,同时知道了两对角与:
1)题意分析已知两个三角形⊿ABE和⊿∠∠CB与等,要找出其他的对应边和对应角。
)解题思路:
先将两个全等的三角形分离出来,通过观察,找出能够重合的边和角。
2,∠∠∠21=分离出来,如图5,因为解答过程:
将两个全等的三角形⊿ABE和⊿ACD∠;∠∠∠∠,,ADBAE=CCAD的对边分别是又因为AEBB=和C,所以另一组对应角为∠∠。
,BE与CD所以它们的对应边为AB与AC,AE与AD1和的对边分别是2AB和AC,首先要把两个全等的对应角时,解题后的思考:
在复杂图形中找全等三角形的对应边,从而找出对应边,旋转后找出对应顶点,三角形从图形中分离出来,再通过平移、翻折、对应角。
,ABD≌⊿ACE变式()如图6,⊿D∠∠DCE试说明的关系。
EBD与O思路分析:
CAEB和ABD:
已知两个三角形⊿1)题意分析6图∠∠的关系,⊿ACE全等,要求EBD与DCE注意找出这两个角与已知全等三角形对应角的关系。
∠∠∠,再利用对顶角相等得到ED与2)解题思路:
利用全等三角形的对应角相等得到∠∠∠0DCEEBDBOE,再利用三角形的内角和等于180=及等式性质得到DOC=。
∠∠∠∠∠0-BOE,所以180解答过程:
因为⊿ABD≌⊿ACE,所以D=DE。
又因为-DOC=∠∠∠∠∠0DCEEBD-=E-。
BOE。
即DOC=180找准全等三角形中的对应元在解决这类问题时,一定要仔细辨析图形,解题后的思考:
素,并应用全等三角形的性质解决相关问题。
,N交于M、、BD分别与CD、CEDAC例3:
如图7,⊿和⊿EBC均是等边三角形,AE有如下结论:
E,其中;③AC=DNACE≌⊿DCB;②CM=CN①⊿D)正确结论的个数是(
NM.0个12B.个C.个D3A.个
ABC思路分析:
7图:
已知两个等边三角形,用学过的1)题意分析
方法,即全等三角形的定义判断两个三角形。
CM=CN从而得出,NCB≌⊿MCE同理可以判断另外两个三角形⊿,DCB≌⊿ACE⊿
∠ACD=,CB=CE,且∠:
由⊿DAC和⊿EBC均是等边三角形,得到CA=CD2)解题思路00060绕点C旋转后与⊿DCB重合,把⊿MCEECB=60,从而想到把⊿ACE绕点C旋转60进而得出结论①和②正确;。
MCE≌NCBACE≌⊿DCB,⊿后与⊿NCB重合。
进一步得到⊿0不是等边三角CDNCMN,∠由于CM=CNMCN=60是等边三角形,所以,⊿,所以,⊿。
≠DNCD≠DN,所以AC形,所以均是等边三角形,和⊿EBC解答过程:
∵⊿DAC0ECB=60,CE=CB,∠ACD=∠∴CA=CD,
0DCB旋转C60重合后与⊿∴到把⊿ACE绕点
≌⊿DCB∴⊿ACE
∠DBC∴∠AEC=
00,BCN=∠∵∠DCN=60ECM=60,∠
∠∠∠∠00DBCDCE=180-∴180--ECBAEC-
∠∠CME=∴CNB
CE=CB又因为
0NCB旋转60重合后与⊿∴把⊿MCE绕点C
≌⊿NCB⊿MCE∴
CM=CN∴
。
∴选B
在没有学习全等三角形的判定方法之前,要会运用全等三角形的定义:
解题后的思考判定三角形全等,从而根据全等三角形的性质得到全等三角形的对应边等,对应角等,注意旋转、轴对称这三种几何变换,在运用定义判断三角形全等时,会灵活运用平移、经过平移、旋转、轴对称后的图形与原图形是全等形。
00,∠C=50绕顶点,⊿ABCA顺时针旋转,若∠B=20。
如图例4:
8在和A与原三角形C'ABC的顶点B顺时针旋转多少度时,旋转后的⊿
(1)A'B'C'的顶点同一直线上;B在同一直线,C'C
(2)在继续旋转多少度时,,A是指开始位置)上(原⊿ABC。
C'B'思路分析:
CA8图
00,∠C=50)题意分析1:
已知在⊿ABC中,∠B=20,第二问要使上。
C'落在线段AB要求⊿ABC绕顶点A顺时针旋转多少度时,使得点在同一直线上,即A,C'得C,BCA的延长线上。
落在AC'C'顺时针旋转多少度时,A2)解题思路:
要求⊿ABC绕顶点则关键应抓住三角形中的重要线上,使得点C'落在线段ABC上,A点顺时针旋转多少度时,使得AC'落在AB段AC绕A9图的度数即可。
第根据三角形的内角和求出∠CAC'即∠CAC',成为CAC'C二问,要使得,A,C'在同一直线上,即使得∠B'一个平角。
如图10所示。
解答过程:
(1)所示:
如图9000∠CAB=180,且∠B+∠∵∠B=20C=50,∠C+B
0000=110-20-∴∠CAB=180500C'A'B'C'绕顶点∴⊿ABCA顺时针旋转110的顶点时,旋转后的⊿CC'A在同一直线上。
B和A与原三角形ABC的顶点10图所示:
(2)如图10B'在同一直线上,C'∵C,A0CAC'=180∴∠000-110=701800在同一直线上。
A,C'A继续旋转70时,C,绕顶点∴⊿ABC在运用旋转变换时,注意对应线段的夹角即为旋转的角度。
解题后的思考:
是对应点,进行怎样的图形变换可使C,B与与≌⊿如图:
11,若⊿ABCDCB,且AD5例这两个三角形重合呢?
DA思路分析:
E:
已知两个全等三角形的边角对应关1)题意分析BC11图系,判断怎样运用几何变换的方法,使得这两个三角形重合。
.
0,再把翻折180:
根据两个全等三角形的边角对应关系,首先将⊿ABC沿BC2)解题思路0个单位就可使得两个三角向左平移|BC|,最后将⊿ABC沿着直线旋转⊿ABC绕点C180BCDADD(A)BC(B)CBC(B)B(C)12图14图13图A形重合。
00,,如图180C旋转13ABC沿解答过程:
先将⊿ABCBC翻折180,如图12,再将⊿绕点重合。
DCB14BC最后将⊿ABC沿着直线向左平移|BC|个单位长度,如图,⊿ABC和⊿根据两个全等三角形边、角的对应关系,根据两个三角形的位置关系,正确:
解题后的思考地选择适当的变换,将两个三角形变换到如图14所示的重合位置。
其关键在运用全等三角形的基本性质时,小结:
本题组主要考查了全等三角形的基本性质,是找对应边,对应角,找对应边和对应角通常有以下几种方法:
全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;①
全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;②
有公共边的,公共边是对应边;③④有公共角的,公共角是对应角;有对顶角的,对顶角是对应角;⑤,一对最短边(或最⑥两个全等三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)。
小角)是对应边(或对应角)【提分技巧】本节课在讲述全等三角形概念时,充分强调了能够重合;在讲述全等三角形的性质时,
充分强调对应。
注意:
对应边,对应角,对边,对角,夹边,夹角容易混淆。
对应边或对应对角是对同一而对边、是两条边之间或两个角之间的关系,角是对对应的两个三角形说的,夹边是已知两个角对边是对某个角说的,个三角形中的边和角说的,对角是对某条边说的,的公共边,夹角是已知两条边所形成的角。
【预习导学】.
一、预习新知ABC△1.如果A'与A'B'C',A≌△A'A与AB是对应顶点,.A'B'是对应边
BC'B'C
请找出其它的对应顶点、对应边和对应角.由第一题可以知道,若两个三角形全等,则有三对对应边相等,三对对应角相等。
.2AC=A'C',BC=B'C',即AB=A'B',
C=∠∠C',∠B=∠B',A=∠∠A'
:
如果两个三角形满足上述条件中的部分相等关系,能保证两个三角形全等吗?
请问三个角两角一边,两边一角,三条边,
二、预习点拨探究与反思探究任务一:
满足上述六个条件中的一个相等关系,是否能保证两个三角形全A'B'C'如果△
(1)ABC和△等?
满足上述六个条件中的两个相等关系,是否能保证两个三角形全和△如果△
(2)ABCA'B'C'等?
【反思】
(1)两个三角形只有一条边等或一个角等,两个三角形全等吗?
(2)两个三角形只有两条边等、两个角等或一边一角等,两个三角形全等吗?
探究任务二:
(3)如果△ABC和△A'B'C'满足上述六个条件中的三个相等关系呢?
三条边,两边一角,两角一边,三个角
【反思】
(1)三边对应相等的两个三角形全等吗?
(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等吗?
(3)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
(4)三角对应相等的两个三角形全等吗?
探究任务三:
对于两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形就全等了?
00,B'C'A'B'C',使∠ABC,使∠C=90C'=90,再画一个Rt△【反思】任意画出一个Rt△=BC,A'B'=AB。
把画好的Rt△A'B'C'剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗?
【同步练习】
一、选择题
1.下列命题:
①形状相同的三角形是全等三角形;?
?
②面积相等的三角形是全等三角形;③全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等;④经过平移得到的图形与原图形是全等形,其中正确的命题有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列说法:
①全等三角形的周长相等;②全等三角形的面积相等;?
?
③全等三角形中的公共边是对应边;④全等三角形中对应角所对的边是对应边、对应边所对的角是对应角.其中正确的是()
A.①②③④B.③④C.①②④D.①②③
3.若△ABC与△DEF全等,A和E,B和D分别是对应点,?
?
则下列结论错误的是()
A.BC=EFB.∠B=∠DC.∠C=∠FD.AC=EF
4.如图1,△ABC≌△CDA,AB=5,BC=7,AC=6,则AD边的长为()
.不确定D7.C6.B5.A.
ADCADEDBBBACC
(3)
(2)
(1)
相等的是对应角,?
?
则与∠DAC,AD与AC是对应边,∠B和∠E5.如图2,△ABC≌△AED角是()D.∠BAC.∠BAEA.∠ACBB.∠CAEC
二、填空题△则△ABD_______使A?
?
与C?
?
重合,?
?
?
?
.如图63,把△ABD沿BD?
?
翻折到△CBD?
?
的位置,?
?
_____________.CBD,其对应角为__________,对应边为,AD=5cm如果AB=8cm,BD=?
?
6cm,BAD,A和B,C和D是对应顶点,ABC7.如图4,△≌△.则BC=________cmEADCECFBCBADABD
(6)(4)(5)
.ACE=_______°,BC=________cm°,,且BD=4cm,∠D=60则∠≌△58.如图,若△ABCEBD
三、解答题是对应点.E、B和DDFE69.如图,△ABC与△是全等三角形,其中A和)用符号“≌”表示这两个三角形全等(要求对应顶点写在对应位置上).1
(2)写出图中相等的线段和相等的角.(
)写出图中互相平行的线段,并说明理由.3(.
分别是对应边,与DA与CD、BC和△10.如图,△ABCCDA相等,AB1)请说出对应角和另外的一组对应边.(
2)由对应边找对应角,由对应角找对应边有什么规律?
(
3)如果知道两对对应顶点,怎样确定对应边和对应角?
(
DACB
【试题答案】C5..A4.CB1.2.A3与BD与CD、BD?
?
AB、∠ADB与∠CDB;与CB、ADABDA6.≌;∠与∠C、∠与∠CBD4.120;87.5
;≌△DEFABC9.①△;DFBDFE∠、∠ACE=∠ACB=EB=DA=BF=ECBC=EFAC=DFAB=DE②、、、,∠∠、∠∠、∠DE∥AB、DF∥AC③.
10.①∠BAC与∠DCA、∠ACB与∠CAD、∠B与∠D,AC与CA;
②对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边;
③以对应顶点为顶点的角是对应角,对应顶点所对的边是对应边。
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