数学分析216重积分的应用含习题及参考答案.docx
- 文档编号:15528466
- 上传时间:2023-07-05
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:172.94KB
数学分析216重积分的应用含习题及参考答案.docx
《数学分析216重积分的应用含习题及参考答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学分析216重积分的应用含习题及参考答案.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
数学分析216重积分的应用含习题及参考答案
第二十一章重积分
6重积分的应用
一、曲面的面积
问题:
设D为可求面积的平面有界区域,函数f(x,y)在D上具有连续
的一阶偏导数,讨论由方程z=f(x,y),(x,y)6D所确定的曲面S的面积.
分析:
对区域D作分割T,把D分成n个小区域q(i=1,2,…,n).
曲面S同时也被分割成相应的n个小曲面片S(i=1,2,…,n).
在每个S上任取一点Mi,作曲面在这一点的切平面叫并在质上取出一小块A,使得Ai与S在xy平面上的投影都是q.
现在Mi附近,用切平面Ai代替小曲面片S.则当什|充分小时,有
△S=£Mi,这里的△$,△§,△Ai分别表示S,S和Ai的面积.
i1i=1
n
・•・当m—0时,可用和式ZAA的极限作为S的面积.iW
建立曲面面积计算公式:
•••切平面氏的法向量就是曲面S在点Mi(*,q9处的法向量,
己其与z轴的夹角为X贝1|cosy|=I1.
1fx2(i,i)fy2(i,i)
.「Ai在xy平面上投影为q,「.△Ai=^^=,i+fU)+fy2(,,\)AOi.
cos;i|nn
又和数£Mi=zJi+fx2(。
产i)+fy2(,,\)g是连续函数i1i1
、1+f;(x,y)+f;(x,y)在有界闭区域D上的积分和,.,・当|T|—。
时,有
n
△$=那。
].1f:
(i,i)fy2(i,):
「=.1f;(x,y)f;(x,y)dxdy,
n
或△StlimE1T0i4
■'G
cos*
dxdy
n,八、
Dcos(n,z)
其中cos(nlz)为曲面的法向量与z轴正向夹角的余弦
例1:
求圆锥z=J”,在圆柱体x2+y2Wx内那一部分的面积
解:
由x2+y2wx,得D={(r,8)|。
wrw1,0 pxrcosF八yrsini.八 乂zx===cos0,4===sin0, x2y2rx2y2r △S=111z2z2dxdy=d? 2、2rdr=—二. d.。 04 例2: 设平面光滑曲线的方程为y=f(x),x€[a,b](f(x)>。 ). 求证: 此曲线绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为: f(x)dx. 证: 由上半旋转面方程为z=Jf2(x)-y2,得 f(x)f(x) 狂、2,zy= .f(x)-y f2(x)-y2 .即有 z2z2=1.f2(x)f2(x),y2=f2(x)(1f2(x)) zxzyf2(x)-y2f2(x)-y2-,f2(x)-y2 bf(x)-S=2adx^(x) ","矢尸4: "」— -12f(x)1 f(x)dxdy 0.f2(x)-y b「一-2」(x)14 fWX)1fa。 172mx产,(x)) af(X).1f2(X)dX. b211 af(X1,1f(X)dX。 出二2二 .1-t 注: 若空间曲面S由参量方程: X=X(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)D确定, 其中x(u,v),y(u,v),z(u,v在D上具有连续一阶偏导数,且 4x,y)J(y,z)J(z,x)中至少有一个不等于0,则u(u,v),u(u,v),u(u,v)‘ 曲面S在点(x,y,z)勺法线方向数为 「式y,z)创z,X)式x,y)”则 它与z轴的夹角的余弦的绝对值为: ■: (x,y) 其中E=x2y: z: G=x2y2z2,F二XuXvyuyjzuzv. 例3: 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积(图中阴影部分). 解: 设球面方程为: (R为球的半径). x二Rcos巾cosXy二RcoMsinXz二Rsin少. y,_.y: z,z=0, 由E=xj+yj+zj=R2,G=x2,+y2+z2=R2cos2(|j,F=xUfxcp十得Jeg—F2=R2cos6.「.△$=[3%}R2co却dw=R2((|)2-(|)i)(sin^2-sin^i). 二、质心引例: 设V是密度函数为,x,y,z羽空间物体,p(x,y,z在V上连续.为求得V的质心坐标公式,先对V作分割T,在属于T的每一小块Vi 上任取一点(七小则小块vi的质量可用KE,门,©△切近似代替.若把 每一小块看作质量集中在(工电◎的质点时,整个物体就可用这n个质 inx? (x,y,z)dV 一Vx=,y= ill': (x,y,z)dV' V 当物体V的密度均匀即P为常数时,则有 一1-1-1 x=「〕〕〕xdV,y=丁用ydV,z=-fffzdV,这里AV为V的体积. VVVVVV 又密度分布为p(x,y)的平面薄板D的质心坐标为: _x: (x,y)d。 _y: (x,y)d。 x=^--,.当平面薄板的密度均匀时,即 i.3'(x,y)d'-Il'"(x,y)d。 DD 例4: 求密度均匀的上半椭球体的质心. 解: 设椭球体由不等式W+12+Hwi表示. abc iiiz: ? dV二"。 2 由对称性知X=0,y=0,又由p为常数,得Z=」=-J=至. 一: dV2二abc8V3 三、转动惯量 质点A对于轴l的转动惯量J是质点A的质量m和A与转动轴l的距离r的平方的乘积,即J=mi2. 设p(x,y,z为空间物体V的密度分布函数,它在V上连续.对V作分割T,在属于T的每一小块Vi上任取一点(七小D,则Vi的质量可用Ke》,©△Vi近似代替.当以质点系{(七〃©,i=1,2,…,n}近似替代V时,质点系 n 对于X轴的转动惯量为: Jxn=£(I2"i2)P(匕尸/i)Avi. i=1 当m-o时,上述积分和的极限就是物体v对于x轴的转动惯量 Jk=用(y2+z2)P(x,y,z)dV.类似地,V对于y轴与z轴的转动惯量分别为: V Jy=m(z2-x2): (x,y,z)dV,Jz=III(x2y2)? (x,y,z)dV. VV 同理,V对于坐标平面的转动惯量分别为: 』y=iiiz2Jx,y,z)dV,"=iiix2: (x,y,z)dV,」z=my2: (x,y,z)dV.VVV 平面薄板对于坐标轴的转动惯量分别为: J=JJy2P(x,y)d仃,J=JJx2P(x,y)d仃.以及有J=J! r2(x,y)P(x,y)d仃,DDD 其中l为转动轴,r(x,y)为D中点(x,y)到l的距离函数. 例5: 求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面中心轴的转动惯量解: 设圆环D为R2wx2+y2wR2,密度为p,则 D中任一点(x,y)W转轴的距离平方为x2+y2,于是转动惯量为: J=HP(x2+y2)d。 =p,「d日Jr3dr=^~(R24-R-4)=m(R2+R2),m为圆环质量. 例6: 求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量. 解: 设D为x2+y2 于是转动惯量为: (m为圆盘质量) __r_4_f_4_2 2._-2R32.,: R2■=2...「-RmR J=口Pxd。 =P(d叫rcos6dr=[cos比日==. 444 例7: 设某球体的密度与球心的距离成正比,求它对于切平面的转动 惯量. 解: 设球体由/+/+220千表示,密度为k,;x2+y2+z2,k为比便常数. 切平面方程为x=R,则球体对于平面x=R的转动惯量为: OOoo2二二Roo J=km.xyz(R-x)dV=k0d1°d: °(R-rsin: cos-)rsindr V 8d冗 210 6乐 11---sin2邛cos日+1sin3中cos28d*=11kR6「cos28d8=11k晨 0456909 四、引力 求密度为p(x,y,z)勺立体对立体外质量为-的质点A的引力. 设A的坐标为(,与◎,V中点的坐标用(x,y,z表示. V中质量微元dm=pdV对A的引力在坐标轴上的投影为 dFx=K=pdV,dFy二K±UpdV,dFZ=Kz^-pdV,其中K为引力系数,rrr r=J(x一上)2+(y—“)2+(z—二)2是A到dV的距离,于是 力F在三个坐标轴上的投影分别为: Fx=KH1与PdV,R=K用二用V,E=Kf口―PdV,所以F=FXi+Fyj+Fzk. VrVrVr 力(引力系数为k). 解:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学分析 216 积分 应用 习题 参考答案