中考数学 专题04平移翻折旋转新题型原卷版.docx
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中考数学专题04平移翻折旋转新题型原卷版
专题04平移,翻折,旋转新题型(原卷版)
一.一次函数图象上点的坐标特征
1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,点A(1,1),C在直线y=x上,且AB=2,将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转,每次转动45°,则第2022次旋转结束后,点C的坐标为( )
A.(1
,1
)B.(
1,
1)C.(
1,1
)D.(1
,
1)
二.二次函数图象与几何变换
2.如图,将二次函数y=x2﹣4位于x的下方的图象沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的实线)
(1)当x= 时,新函数有最小值;
(2)当新函数中函数y随x的增大而增大时,自变量x的范围是 ;
(3)当a≤4时,探究一次函数y=2x+a的图象与新函数图象公共点的个数情况.
三.抛物线与x轴的交点
3.如图,将二次函数y=x2﹣m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+b的图象记为y2,则以下说法:
①当m=1,且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1;
②当b=2,且y1与y2恰有两个交点时,m>4或0<m
;
③当m=﹣b时,y1与y2一定有交点;
④当m=b时,y1与y2至少有2个交点,且其中一个为(0,m).
其中正确说法的序号为 .
四.二次函数综合题
4.抛物线y
x2
x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:
y=t(t
)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.
(1)点A,B,D的坐标分别为 , , ;
(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;
(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
5.抛物线y
x2+bx+c交x轴于A,B两点(A在B的左边),交y轴于C,直线y=﹣x+4经过B,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为直线BC上方的抛物线上一点,PD∥y轴交BC于D点,过点D作DE⊥AC于E点.设m=PD
DE,求m的最大值及此时P点坐标;
(3)如图2,点N在y轴负半轴上,点A绕点N顺时针旋转,恰好落在第四象限的抛物线上点M处,且∠ANM+∠ACM=180°,求N点坐标.
6.已知抛物线
与x轴交于点A、B(A在B的右侧),与y轴交于点C,连接AC、BC,过点A作BC的平行线交抛物线于点D.
(1)如图1,若点P为直线BC下方抛物线上任意一点,直线AD上有一动点E,当△BCP面积最大时,求PE
AE的最小值;
(2)如图2,将△BOC绕点O顺时针旋转得到△B'OC',点B,C的对应点分别是B',C',且C'恰好落在∠BCO的平分线上(C'与C不重合),点M是抛物线对称轴上的一个动点,则△B'OM能否为直角三角形?
若能,请直接写出点M的坐标,若不能,请说明理由.
7.我们定义:
如图1,在△ABC与△AB'C'中,两三角形有公共顶点A,AB所在射线逆时针旋转α到AC所在射线,AB'所在射线道时针旋转β到AC'所在射线,∠BAC=α,∠B'AC'=β,α+β=18°,
,我们称△ABC与△AB'C'互为“旋补比例三角形”.
(1)如图1,△ABC与△AB'C'互为旋补比例三角形,∠BAC=60°,AB=6,AC=3,AB'=2时,
①∠B'AC'= °,②
;
(2)如图2,在△ABC中,AD⊥BC,△DBA与△DAC互为旋补比例三角形,延长CB至点E,使EB=BD.连接AE.求证:
△BAE与△BCA互为旋补比例三角形.
(3)如图3,在△OAB中,∠AOB=135°.点A在x轴的正半轴上,OA=2,点B在第二象限,OB=2
,抛物线y
x2+bx+c经过点B,与y轴交点为C(0,5),△OPQ(点O,P,Q按逆时针排列)与△OAB互为旋补比例三角形,点P在抛物线的对称轴上运动,当点A,B,P构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形时,求点Q的坐标.
8.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2
x+c经过点A(1,0)、B(3,0),且与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果将抛物线向左平移m(m>0)个单位长度,联结AC、BC,当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时,求m的值;
(3)如果点P是抛物线上一动点,且在点B的右侧,联结PC,直线PA交y轴于点E,当∠PCE=∠PEC时,求点P的坐标.
9.如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.过点B的直线y=kx
分别与y轴及抛物线交于点D,E.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)如图2,将直线BE沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于M,N两点.直线AC与线段EM交于点G.
①四边形CGMN是平行四边形吗?
请说明理由.
②抛物线的对称轴上是否存在一点F.使|FA﹣FD|的值最大?
若存在,求出其最大值及点F的坐标;若不存在,请说明理由.
五.直角三角形的性质
10.如图,将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF,点M,N分别为AC,DF的中点,点P是线段MN的中点,连接PA,PC.当△APC为直角三角形时,BE= .
六.正方形的性质
11.如图,在正方形ABCD中,AB=1,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°,得正方形AB′C′D′,则线段AC扫过的面积为( )
A.
πB.
πC.
πD.
π
七.四边形综合题(共3小题)
12.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC
,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形AB′C′E,点B、C的对应点分别为点B′、C′.
(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;
(2)若B′C′分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;
(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C′运动的路径长.
13.如图1,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK,KB交MN于O.
(1)①若∠1=80°,求∠MKN= ;
②不同的折叠得到不同的△MNK,△MNK的面积的最大值为 .
(2)将纸片按如图2所示的方法再沿KP折叠,使点M在线段KD上,两次折叠部分与原矩形的重合部分为四边形KPMN,设四边形KPMN的面积为S.
①判断四边形KPMN的形状,并说明理由;
②求出S的最小值与最大值;
③四边形KPMN能成为某种特殊四边形吗?
指出此时折痕MN需要满足的条件,并求出S的值.
14.已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上的一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:
CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的等量关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC,求OC的长度.
八.翻折变换(折叠问题)
15.
(1)如图1,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内点A′的位置,若∠A=40°,求∠1+∠2的度数;
(2)通过
(1)的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系?
请写出这个数量关系,并说明这个数量关系的正确性;
(3)将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠.
①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时,如图2,则图中∠α+∠β+∠γ= ;∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ;
②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合,如图3,则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立?
请说明你的理由.
16.
(1)如图1,已知D是AB边上的中点,将△ABC沿过点D的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,若∠B=50°,则∠BDF= °;
(2)如图2,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A= ;
(3)如图3,如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A、B落在四边形EFCD内,试探究∠A+∠B与∠1+∠2之间存在着怎样的数量关系,并证明你的结论.
九.平移的性质
17.如图,将△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF,若△ABC的周长为8cm,则四边形ABFD的周长为( )
A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm
18.如图,在△ABC中,BC=4,若将△ABC平移6个单位长度得到△A1B1C1,点P、Q分别是AB、A1C1的中点,则PQ的最大值是 .
十.旋转的性质
19.如图,AB为半圆O的直径,AB=2,点C为半圆上动点,以BC为边向形外作正方形BCDE,连接OD,则OD的最大值为( )
A.2B.
C.
D.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是 .
十一.旋转的性质
21.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD的边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为( )
A.3B.
C.
D.
十二.坐标与图形变化-旋转
22.如图,Rt△OCB的斜边在y轴上,OC
,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B',则B点的对应点B′的坐标是
( )
A.(
,﹣1)B.(1,
)C.(2,0)D.(
,0)
十三.坐标与图形变化-旋转
23.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2018的坐标为( )
A.(1,1)B.(0,
)C.(
)D.(﹣1,1)
十四.几何变换综合题
24.如图
(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E分别在AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,点M是BE的中点,连接AM.
(1)观察猜想
图
(1)中,线段AM,CD的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)探究证明
将△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),试判断线段AM,CD的数量关系和位置关系,并就图
(2)的情形说明理由.
(3)问题解决
将△ADE绕点A在平面内自由旋转,连接DM,若AD=1,AB=3,当∠ADC=90°时,请直接写出线段DM的长.
十五.相似形综合题
25.如图
(1),在Rt△ABC中,∠B=90°,点D是AC边的中点.将一块直角三角板的直角顶点放在点D处,将三角板绕点D旋转,使它的两条直角边分别与线段AB,BC交于点P,Q.
(1)如图
(2),当DP⊥AB时,猜想线段AP,DQ之间的数量关系,并给予证明.
(2)佳佳发现,在三角板旋转过程中,
,请你利用图
(1)证明这个结论.
(3)当点P,B重合时,如图(3),线段AP,PQ,CQ之间满足一定的等量关系.请你探索AP,PQ,CQ之间的数量关系.
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