第12章全等三角形教学设计人教版八上数学.docx
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第12章全等三角形教学设计人教版八上数学
第12章全等三角形教学设计
11.1全等三角形
教学目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
教学重点
全等三角形的性质.
教学难点
找全等三角形的对应边、对应角.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
1、问题:
你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?
这两个三角形是完全重合的.
2.学生自己动手(同桌两名同学配合)
取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样.
3.获取概念
让学生用自己的语言叙述:
全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边,以及有关的数学符号.
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.
要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.
概括全等形的准确定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念,并理解对应顶点、对应角、对应边的含义.仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求.
Ⅱ.导入新课
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
不难得出:
△ABC≌△DEF,△ABC≌△DBC,△ABC≌△AED.
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?
对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
得到全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.
[例1]如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
问题:
△OCA≌△OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使两三角形重合?
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点,所以C和B重合,A和D重合.
∠C=∠B;∠A=∠D;∠AOC=∠DOB.AC=DB;OA=OD;OC=OB.
总结:
两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.
[例2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
分析:
对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来.
根据位置元素来找:
有相等元素,它们就是对应元素,然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
解:
对应角为∠BAE和∠CAD.
对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD.
[例3]已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.(由学生讨论完成)
借鉴例2的方法,可以发现∠A=∠A,在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角,∠ACB与∠AED是对应角.所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED.
做法二:
沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后,它正好和△ADE重合.这时就可找到对应边为:
AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED.
Ⅲ.课堂练习
课本练习1.
Ⅳ.课时小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是大家要重点掌握的.
找对应元素的常用方法有两种:
(一)从运动角度看
1.翻转法:
找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
2.旋转法:
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
3.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(二)根据位置元素来推理
1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.
2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
Ⅴ.作业
课本习题11.11、2、3
板书设计
§11.1全等三角形
一、概念
二、全等三角形的性质
三、性质应用
例1:
(运动角度看问题)
例2:
(根据位置来推理)
例3:
(根据位置和运动角度两种办法来推理)
四、小结:
找对应元素的方法
运动法:
翻折、旋转、平移.位置法:
对应角→对应边,对应边→对应角.
11.1全等三角形
教学目标
一、知识与技能
1、了解全等形和全等三角形的概念,掌握全等三角形的性质。
2、能正确表示两个全等三角形,能找出全等三角形的对应元素。
二、过程与方法
通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动,来感知两个三角形全等,以及全等三角形的性质。
三、情感态度与价值观
通过全等形和全等三角形的学习,认识和熟悉生活中的全等图形,认识生活和数学的关系,激发学生学习数学的兴趣。
教学重点
1、全等三角形的性质。
2、在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上,形成理性认识,理解并掌握全等三角形的对应边相等,对应角相等。
教学难点正确寻找全等三角形的对应元素
教学关键通过拼图、对三角形进行平移、旋转、翻折等活动,让学生在动手操作的过程中,感知全等三角形图形变换中的对应元素的变化规律,以寻找全等三角形的对应点、对应边、对应角。
课前准备:
教师------课件、三角板、一对全等三角形硬纸版
学生------白纸一张硬纸三角形一个
教学过程
全等形和全等三角形的概念
(一)导课:
教师----(演示课件)庐山风景,以诗“横看成岭侧成峰,远近高低各不同,不识庐山真面目,只缘身在此山中”指出大自然中庐山的唯一性,但是我们可以通过摄影把庐山的美景拍下来,可以洗出千万张一模一样的庐山相片。
(二)全等形的定义
象这样的图片,形状和大小都相同。
你还能说一说自己身边还有哪些形状和大小都相同的图形吗?
[学生举例,集体评析]
动手操作1---在白纸上任意撕一个图形,观察这个图形和纸上的空心部分的图
形有什么关系?
你怎么知道的?
[板书:
能够完全重合]
命名:
给这样的图形起个名称----全等形。
[板书:
全等形]
刚才大家所举的各种各样的形状大小都相同的图形,放在一起也能够完全重
合,这样的图形也都是全等形。
(三)全等三角形的定义
动手操作2---制作一个和自己手里的三角形能够完全重合的三角形。
定义全等三角形:
能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形。
[板书课题:
11.1全等三角形]
(四)出示学习目标
1.知道什么是全等形,什么是全等三角形。
2.能够找出全等三角形的对应元素。
3.会正确表示两个全等三角形。
4.掌握全等三角形的性质。
一、全等三角形的对应元素及表示
(一)自学课本:
3页的内容(时间5分钟)可以在小组内交流。
(二)检测:
1.动手操作
以课本P3页的思考的操作步骤,抽三个学生上黑板完成(即把三角形平移、翻折、旋转后得到新的三角形)
思考:
把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变?
归纳:
旋转前后的两个三角形,位置变化了,但形状大小都没有变,它们依然全等。
2.全等三角形中的对应元素
(以黑板上的图形为例,图一、图二、三学生独立找,集体交流)
(1)对应的顶点(三个)---重合的顶点
(2)对应边(三条)---重合的边
(3)对应角(三个)---重合的角
图一(平移)图二(翻折)图三(旋转)
归纳:
方法一---全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;方法二:
全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角。
另外:
有公共边的,公共边一定是对应边;有对顶角的,对顶角一定是对应角。
3.用符号表示全等三角形
抽学生表示图一、图二、三的全等三角形。
4.全等三角形的性质
思考:
全等三角形的对应边、对应角有什么关系?
为什么?
归纳:
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
请写出平移、翻折后两个全等三角形中相等的角,相等的边。
二、课堂训练
1.下面的每对三角形分别全等,观察是怎么变化而成的,说出对应边、对应角。
2.将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF(如图)
(1)线段AB、DE是对应线段,有什么关系?
线段AC和DF呢?
(2)线段BE和CF有什么关系?
为什么?
(3)若∠A=50º,∠B=30º,你知道其他各角的度数吗?
为什么?
3.议一议:
△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40º,∠B=30º,求∠ADC的大小。
A
ED
CB
四、小结:
本节课都学到了什么
五、作业:
课本4页习题11.1第2题、3题、4题。
《三角形全等的判定》第二课时
一、教案背景
面向学生:
中学学科数学
二、教学课题
《义务教育课程标准实验教科书》人教版八年级上册12.2三角形全等的判定。
教学目标
(1)、探索出三角形全等的识别方法——边角边,并能应用它们来识别两个三角形是否全等。
(2)、熟练掌握边角边的识别方法,提高学生的逻辑思维能力;通过观察几何图形,培养学生的识图能力。
(3)、使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯;通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受,培养学生勇于创新,多方位审视问题的创造技巧。
三、教材分析
对于全等三角形的研究,实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。
它是两三角形间最简单、最常见的关系。
本节《三角形全等的判定》是学生在认识三角形的基础上,在了解三角形全等边边边的方法以后进行学习的,它既是前面所学知识的延伸与拓展,又是后继学习探索相似形的条件的基础,并且是用以说明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。
因此,本节课的知识具有承上启下的作用。
同时,教材将“边角边”识别方法作为五个基本事实之一,本节内容对学生学习几何推理具有举足轻重的作用。
学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力,这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。
四、教学方法
探究法、研讨法
五、教学过程
(1)、创设情境,导入新课:
【回忆提问】我们已经学习了全等三角形有关知识,全等的三角形有什么特点?
生:
三条边都相等,三个内角也都相等,将全等的三角形放在一起能够重合。
【引入问题】如果两个三角形满足刚才大家说的特点,那么这两个三角形就全等,并且我们又知道如果两个三角形的三边对应相等,那么,这两个三角形全等。
还有其它较简便的判定方法吗?
(2)、创设情境,探究新知:
情境一:
请同学们各自画一个有一个角是50°的三角形。
【动手实践】让学生先在角的基础上各画出一个三角形。
【验证】同学们可以拿自己画的三角形与其他同学对照一下,你们画的三角形“全等”么?
【学生总结】不全等,一个角能有好多三角形。
【教师引导】只有三角形的一个角,我们是不能画出全等的三角形,这就说明什么?
【学生归纳】两个三角形如果只有一个角相等,是没有办法证明全等的。
【设计目的】经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.积极投入,激情展示,增强学习的动力。
情境二:
有没有办法使我们画出一样的三角形?
【学生猜想】除了保留三角形的一个角,还保留了夹这个角的两条边。
【动手验证】下面我们来验证一下,看看同学们的猜想到底对不对。
刚才同学们画了一个50°的角,现在,注意,我要给你加入新的条件:
这个角的两边长度分别是5cm,7cm,大家再来画一个三角形。
【验证】学生将自己画出的三角形与其他同学进行了对照,结果发现居然“重合”了!
【总结提问】经过刚才的验证,你能得出什么结论?
形成定理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
用数学语言表述三角形全等判定
在△ABC和
中,
∵AB=A′B′
∠B=∠B′
BC=B′C′
∴△ABC≌
情境三:
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等?
通过画图或实验可以得出:
不全等
【设计目的】让学生动过观察、猜想、验证将实际问题转化成数学问题,即:
如果两个三角形有一个角相等,并且夹这个角的两边也相等,那么这两个三角形就是全等的,从而得出SAS判定法。
(3)兴趣提升
试一试
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边定理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边定理证明△ABD≌△ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件,还需要一个条件___________________(这个条件可以证得吗?
).
例1、如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA。
连接BC并延长到E,使CE=CB。
连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离,为什么?
分析:
如果能证明△ACB≌△DCE,
就可以得出AB=DE.在△ACB和△DCE中,AC=CD,
CB=CE.如果能得出∠ACB=∠DCE,△ACB和
△DCE就全等了。
证明:
在△ACB和△DCE中,
∵AC=CD
∠ACB=∠DCE
CB=CE
∴△ACB≌△DCE
∴AB=DE
例2、如图,AC=BD,∠1=∠2,求证:
BC=AD.
证明:
∵AC=BD
∠1=∠2
AB=BA
∴△ACB≌△BDA
∴BC=AD
(4)、能力提升
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.
求证:
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,
BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
(5)、反思评价
本节课你有何收获?
知识上
1.根据边角边定理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理。
情感上
学生勇于探索、不断进取、善于思考的精神值得表扬。
教学反思
1、首先,本节课我本创设情境,以学生为主,突出重点的意图,结合学案使之得到充分的诠释。
我让学生自己动手,通过测量、作图和验证,为体会三角形全等边角边这一定理提供了分析、思考、发现的依据,把抽象问题转化为具体问题,让学生在感性认识的基础上总结出结论,培养数学兴趣。
2、在提问时,应设计开放性的问题,如:
有没有办法使我们画出一样的三角形?
这样较符合学生的思维和兴趣,给学生创设一个自由的空间,学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象,才能畅所欲言。
3、主动性是现代学习方式的首要特征,在学生的具体学习活动中表现为:
我要学,我要学是基于学生对学习的一种内在需要,而学习兴趣是学生学习的内在需要的一个方面的表现,学生有了学习兴趣,学习过程对他来说就不是一种负担,而是一种享受,一种愉快的体验,学生会越学越想学,越爱学,有兴趣的学习事半功倍。
本节课所探讨的问题,不仅使学生有一种成就感,享受到“数学”成功的乐趣,增强了学习的信心。
更使全体学生享受了应用数学之意识,提高了学习数学的兴趣,大部分学生对数学产生了浓厚的兴趣,课后还津津乐道。
12.2.3三角形全等的判定(三)
教学目标
1.三角形全等的条件:
角边角、角角边.
2.三角形全等条件小结.
3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究.
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
Ⅱ.导入新课
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题2:
三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
问题3:
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A′B′,使A′B′=AB.
③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
④射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.
将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
探究问题4:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[例]如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
证明:
在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
Ⅲ.随堂练习
(一)课本练习1、2.
(二)补充练习
图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
答案:
图
(1)中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB.图
(2)由“AAS”可证得△ACE≌△BDC.
Ⅳ.课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
Ⅴ.作业
1.课本习题5、6、题.
板书设计
12.2.3三角形全等的判定(三)
一、两角一边
二、三角形全等的条件
1.两角及其夹边对应相等的两三角形全等(ASA)
2.两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等(AAS)
课题:
12.2三角形全等的判定(4)
(第4课时)
教学目标
①探索并掌握两个直角三角形全等的条件:
HL,并能应用它判别两个直角三角形是否全等.
②经历作图、比较、证明等探究过程,提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力;并通过对知识方法的总结,培养反思的习惯,培养理性思维.
③提高应用数学的意识.
教学重点
理解,掌握三角形全等的条件:
HL.
教学过程:
提问:
1、判定两个三角形全等方法有:
,,,。
创设情境:
(显示图片),舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗?
方法一:
测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)
方法二:
测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.(ASA)或(AAS)
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗?
下面让我们一起来验证这个结论。
新课:
已知线段a、c(a﹤c)和一个直角α,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠α,CB=a,AB=c.
想一想,怎样画呢?
按照下面的步骤做一做:
⑴作∠MCN=∠α=90°;
⑵在射线CM上截取线段CB=a
⑶以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A;
⑷连接AB.
△ABC就是所求作的三角形吗?
剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较,它们能重合吗?
直角三角形全等的条件:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等?
直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般
三角形判定全等的方法:
SAS、ASA、AAS、SSS,
还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
例5如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD。
求证:
BC=AD。
证明:
略(详见课本P42页)。
练一练:
1.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,
另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗
杆底部的距离相等吗?
请说明你的理由。
2.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
解:
∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则
BC=EF,
AC=DF.
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
又∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
课堂小结:
这节课你有什么收获呢?
与你的同伴进行交流
布置作业:
课堂:
习题12.2第7题;第8题。
家庭:
习题12.2第12题。
12.2三角形全等的判定
(一)
教材分析:
本节是人教版八年级上册第十二章第二节的第一课时,安排的教学内容为三角形全等的判定中的“三边对应相等的两个三角形全等”。
教材安排的上述内容是在学习了全等三角形的概念、全等三角形的性质后展开的,在本节课中给学生提供探索交流的时间和空间,让学生充分感受探索三角形全等
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