第4单元 第16讲 三角形与全等三角形解析版.docx
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第4单元第16讲三角形与全等三角形解析版
第四单元 三角形
第16讲 三角形与全等三角形
一、考纲解读
1.三角形部分我们需要了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性,探索并掌握三角形中位线的性质,三角形是初中数学中几何部分的基础图形,在学习过程中,教师应该多鼓励学生动脑动手,发现和探索其中的知识奥秘。
注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。
2.三角形全等部分主要是证明两三角形全等及利用它证明线段或角的相等,在解决问题时我们主要需要:
(1)确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系),
(2)回顾三角形判定,搞清我们还需要什么.
(3)正确地书写证明格式(顺序和对应关系,从已知推导出要证明的问题).
在学习三角形的全等时,教师应该从实际生活中的图形出发,引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。
在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的几何思维,激发他们的灵感,使学生体会到几何的真正魅力。
二、命题规律
1.三角形:
年份
题号
题型
分值
考查点
考查内容
比重
2009
10
选择题
4
等边三角形的性质
在圆中结合等边三角形性质、圆周角定理求角度
2.7%
2010
14
填空题
5
等腰三角形的判定
选择能使三角形为等腰三角形的条件
3.3%
2011
6
选择题
4
勾股定理、三角形的中位线性质、四边形的周长
利用勾股定理、三角形的中位线性质求四边形的周长
5.3%
9
4
勾股定理
利用勾股定理求点到直线的距离等于定值的点的个数
2012
10
选择题
4
勾股定理、三角形的中位线性质、分类讨论思想
利用勾股定理、三角形的中位线性质及分类讨论思想求直角三角形的斜边长
2.7%
本部分近几年,考查内容比较综合,涉及的知识点主要有:
三角形中位线的性质、勾股定理及等腰(直角)三角形的性质。
预测2014年本部分内容考查仍旧以综合考查为主,三角形中位线性质、勾股定理及特殊三角形性质为重点,单纯三角形基本知识部分不多。
2.全等三角形:
年份
题号
题型
分值
考查点
考查内容
比重
2008
22
解答题
12
全等三角形的性质及判定
通过证明三角形全等,再利用其性质证明线段相等
8.0%
2010
20
(2)
解答题
5
全等三角形的判定
利用平行四边形性质证明三角形全等
3.3%
2011
23
(1)
(2)
解答题
7
全等三角形的性质及判定
利用平行线的性质与三角形全等的判定及性质证明线段相等,再有全等三角形的性质、勾股定理求四边形的面积
4.7%
2013
23(3)
解答题
6
全等三角形的性质及判定
结合等腰三角形、等腰梯形性质、新定义,利用全等三角形的判定及性质,判断四边形是否为“准等腰梯形”
4%
本部分除2009年和2012年外,每年都有所涉及,一般都是通过证明三角形全等,然后利用全等的性质证明线段(或角)相等。
预测2014年本部分内容仍旧为主要考查内容之一,但单独考查的可能性比较小,一般会结合三角形、四边形的相关知识考查,复习中应熟练掌握三角形、四边形的有关性质,尤其是特殊三角形和特殊四边形的性质。
三、知识梳理
(一)三角形
1.三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三
边关系:
三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
3.高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线:
在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线:
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性:
三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7.多边形:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
8.多边形的内角:
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
9.多边形的外角:
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
10.多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
11.正多边形:
在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
12.平面镶嵌:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。
13.公式与性质
三角形的内角和:
三角形的内角和为180°
三角形外角的性质:
性质1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2:
三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式:
n边形的内角和等于(n-2)·180°
多边形的外角和:
多边形的外角和为360°。
多边形的对角线:
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形。
(2)n边形共有
条对角线。
重点:
三角形的内角和定理和三角形内外角的关系
难点:
利用三角形内外角性质解决角与角之间的关系
(二)全等三角形
1.全等三角形:
两个三角形的形状、大小、都一样时,其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合,这两个三角形称为全等三角形。
2.全等三角形的性质:
全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。
4.角平分线推论:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
重点:
全等三角形的判定方法
难点:
三角形不一定全等的几种主要形式
四、基础自测
1.(2013•宜昌)下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是( )A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,4
2.(2013•鞍山)如图,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A的度数为( )
A.100°B.90°C.80°D.70°
3.(2013•烟台)如图,
ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD
=12,则△DOE的周长为 .
[解析]∵▱ABCD的周长为36,
∴2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.
∵四边形ABCD是平行四边形,对角线
AC,BD相交于点O,BD=12,
∴OD=OB=BD=6.
又∵点E是CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,DE=
CD,
∴OE=
BC,
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=
BD+(
BC+
CD)=6+9=15,即△DOE的周长为15.
故答案是:
15.
答案:
15
4.(2013•陕西)如图,在四边形ABCD中,对角线AB=AD,CB=CD,
若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
5.(2013•临沂)如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC
五、题型详解
考点一:
三角形的有关概念和三角形三边的关系
【例1】(2013•宁波)如果三角形的两条边分别为4和6,那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的( )A.6B.8C.10D.12
变式题:
(2013•贺州)如图,A、B、C分别是线段A1B,B1C,C1A的中点,若△ABC的面积是1,那么△A1B1C1的面积 .
思路分析:
连接AB1,BC1,CA1,根据等底等高的三角形的面积相等
求出△ABB1,△A1AB1的面积,从而求出△A1BB1的面积,
同理可求△B1CC1的面积,△A1AC1的面积,然后相加即
可得解.
考点二、三角形内角和定理及推论
【例2】(2013•江西)如图△ABC中,∠A=90°点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=155°,则∠B的度数为
变式题1:
(2013•威海)将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC.∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF=.
点拨:
本题考查三角形外角的性质以及直角三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
解题规律小结:
一般求角的大小要搞清楚所求角与已知角之间的等量关系,本题涉及三角形内角和定理、两直线平行,内错角相等,等量代换等知识和方法.
考点三:
三角形的中位线
【例3】(2013•怀化)如图,为测量池塘边A、B两点的距离,小明在池塘的一侧选取一点O,测得OA、OB的中点分别是点D、E,且DE=14米,则A、B间的距离是( )
A.18米B.24米C.28米D.30米
考点四、全等三角形
【例4】(2013•台州)已知△A1B1C1△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,对于上述的两个判断,下列说法正确的是()
A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确
变式题:
(2013•绥化)已知:
如图在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE
=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),
其中结论正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
解题规律小结:
三角形全等的判定及其性质主要为我们提供证明线段(角)相等主要形式,在解题中要学会综合的运用,
考点五、角平分线和线段的垂直平分线
【例5】(2013•临沂)如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=ADB.AC平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DCE
思路分析:
根据线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等
可得AB=AD,BC=CD,再根据等腰三角形三线合一的性质
可得AC平分∠BCD,平分∠BCD,EB=DE,进而可证明
△BEC≌△DEC.
变式题:
(2013•泰州)如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为 cm.
六、课后练习
基础巩固
一、填空题
1.(2012•德州)不一定在三角形内部的线段是( )
A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线
2.(2013•台州)如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= 度。
点拨:
本题考查了两直线平行,同位角相等的性质,三角形的内角和定理,是基础题,熟记性质与定理是解题的关键.
3.(2012•枣庄)如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,
若AB=5,BC=8,则EF的长为 .
4.(2013•郴州)如图,点D、E分别在线段AB,AC上,AE=AD,不添加新的线段和字母,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是 (只写一个条件即可).
5.(2013•义乌)如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连结AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连结OC,若∠AOC=125°,则∠ABC=°;
二、选择题
1.如图8-1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成
△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如图8-2.
则下列说法正确的是()
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点M在BC上,且距
点C较近,距点B较远
2.(2013•宁波)一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )
A.5B.6C.7D.8
3.(2013•宁夏)如图,△ABC中,∠ACB=90°
,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=22°,则∠BDC等于( )
A.44°B.60°C.67°D.77°
4.(2013•张家界)顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是( )
A.矩形B.正方形C.菱形D.直角梯形
思路分析:
根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定,可推出四边形为菱形.
解:
连接AC、BD.
∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF=AC.
同理FG=BD,GH=AC,EH=BD,
又∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH是菱形.故选C.
点拨:
此题主要考查了等腰梯形的性质,三角形的中位线定理和菱形的判定.用到的知识点:
等腰梯形的两底角相等;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半;四边相等的四边形是菱形.
5.(2013•贺州)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是( )
A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm
三、解答题
1.(2013•呼和浩特)如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:
DE=AB.
2.(2012•温州)如图,在方格纸中的三个顶点及A、B、C、D、E五个点都在小方格的顶点上.现以A、B、C、D、E中的三个点为顶点画三角形.
(1)在图甲中画出一个三角形与△PQR全等;
(2)在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等
3.(2013•大庆)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.
(1)求证:
CF=DG;
(2)求出∠FHG的度数.
∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°.
点拨:
本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明三角形全
等是关键.
4.我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似的,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是A
B,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?
并证明你的结论.
5.(2013•永州)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求证:
BN=DN;
(2)求△ABC的周长.
思路分析:
(1)证明△ABN≌△ADN,即可得出结论;
(2)先判断MN是△BDC的中位线,从而得出CD,由
(1)
可得AD=AB=10,从而计算周长即可.
解:
(1)证明:
在△ABN和△ADN中,
∵
,
∴△ABN≌△ADN,
∴BN=DN.
(2)解:
∵△ABN≌△ADN,
∴A
D=AB=10,DN=NB,
又∵点M是BC中点,
∴MN是△BDC的中位线,
∴CD=2MN=6,
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.
点拨:
本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定,注意培养自己的敏感性,一般出现高、角平分线重合的情况,都
需要找到等腰三角形.
能力提升
1.(2013•南平)设点P是△ABC内任意一点.现给出如下结论:
①过点P至少存在一条直线将△ABC分成周长相等的两部分;
②过点P至少存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分;
③过点P至多存在一条直线将△ABC分成面积相等的两部分;
④△ABC内存在点Q,过点Q有两条直线将其平分成面积相等的四个部分.
其中结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
故答案为:
①②④.
点拨:
本题考查命题真假的判断,难度很大.解题关键是正确理解题干各命题中的“至少”、“至多”、“存在”等字眼.需要注意的是,对于结论①②,我们只需要判定其存在性的真假即可,不需要严格
作出几何图形来验证(结论①②的几何作图超出了新课标的范围,仅供学有余力的同学研究).
2.(2011•安徽)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线
上.这四条直线中相邻两条之间的距离依次为
.
(1)求证:
;
(2)设正方形ABCD的面积为
,求证:
;
(3)若
,当
变化时,说明正方形
的面积
随
变化的情况.
3.(2008•安徽)已知:
点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)如图1,若点O在BC上,求证:
AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:
AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
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