推荐下载关于初中论证几何教学的基本策略.docx
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推荐下载关于初中论证几何教学的基本策略
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关于初中论证几何教学的基本策略
【编者按】:
数学论文是科技论文的一种是用来进行数学科学研究和描述研究成
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随着素质教育的深入与课程改革的实施,初中几何课程发生了很大的变化。
从其内
容呈现的结构上看,新课程将初中几何内容分为图形认识、图形与变换、图形与坐
标、图形与证明四大模块;从其研究方法上看,新课程将初中几何分为实验几何与论证
几何。
新课程实施以来,对于几何课程结构、教学内容、研究方式,多数教师经历了
由误解到理解、由陌生到熟悉、由不适应到逐渐适应的过程。
到目前为止,应该说多
数教师对新课程中几何教学的新理念、新要求、新方法都能够很好地理解和运用;然
而,不容忽视的问题是,部分教师对论证几何教学认识不足、重视不够,还有部分教
师对论证几何教学的方式、方法运用不当,影响了课堂教学效果,制约了学生逻辑推
理能力的发展,影响了学生的后续学习。
虽然新课程中对论证几何的内容进行了调
整,难度要求降低,证明技巧淡化,但对几何教学的最基本能力要求并没有降低。
《数
学课程标准》中明确指出:
在图形与几何的教学中,应帮助学生建立空间观念,注
重培养学生的几何直观与推理能力。
为了更好地落实新课程的目标、培养学生的推理
能力、发挥几何教学在数学教育中的作用,笔者对论证几何教学进行了较深入的思
考,并结合自己的教学实践,总结、提炼、概括出论证几何教学的一些基本策略。
一、文字语言符号化
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所谓文字语言符号化就是将文字语言向符号语言转化。
几何教学有三种不同形式的
语言,即图形语言、文字语言和符号语言。
教学中不仅要让学生掌握这三种语言,还
要培养学生对三种语言互相转化的能力。
由于这三种语言的特点不同,在几何教学中
各自发挥的作用也不同。
图形语言形象、直观,能帮助学生认识问题和理解问题;文字
语言抽象、概括,对图形本身及图形中所蕴含的关系能予以精确地描述和解释,对几
何的定义、公理、定理、命题等内容能予以精确地表达;而符号语言则是对文字语言的
简化和再次抽象,具有更强的抽象性。
在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握
的一种,也是逻辑推理必备的能力基础。
目前,对于初中阶段推理能力的培养要求是
循序渐进的,由开始的说明理由到说理简单推理,到最后的符号表示推理,为
了让学生更好地掌握符号表示推理,教师在教学过程中应不失时机地引导他们将定
义、公理、定理、命题等文字语言转化为符号语言,培养学生文字语言符号化的意
识,训练学生文字语言符号化的能力,只有这样才能为论证几何的后续学习建立良好
的基础。
二、已知条件图形化
所谓已知条件图形化就是用各种不同的符号将已知条件在图形中直观地表示出来。
在几何教学中,虽然注重了图形语言、文字语言及符号语言间的转化训练,但学生在
解决问题时仍然存在题、图分家现象,特别是处理较为复杂的问题时学生看图忘条件
这种现象表现得更为突出。
为了让学生能很好地将题和图有机统一,教学中可采用各
种不同的符号将已知条件在图形中表示出来,使条件更直观,实现条件与图形的有机
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融合,从而克服看图忘条件的现象发生。
例1如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C。
求证:
A=D。
图1
图2
可将已知条件图形化,如图2所示。
通常相等的线段可以分别用一杠、两杠、三杠等记号对应表示出来,相等的角可以
分别用点、叉、弧等记号对应表示出来,两直线平行可以用同向箭头对应表示出来,
两直线互相垂直可以用直角符号对应表示出来,等等。
教学中可以用特有的记号将已
知条件在图形中直观地表示出来,不仅起到使条件直观的作用,同时也起到暗示提醒
的作用,有利于问题的有效解决。
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三、分析过程综合化
所谓分析过程综合化就是指分析问题时从已知出发,结论入手,结合图形进行问题
解决。
在几何论证问题的分析过程中,通常使用两种逻辑思维方法,即综合法和分析
法。
所谓综合法是指从问题的条件出发,寻求其结论的方法。
综合法的特点是从已知
看可知,逐步推出未知。
所谓分析法是指从问题的结论出发,寻求其成立条件的方
法。
分析法的特点是从未知看需知,逐步靠近已知。
对于一些思维过程比较简单的问
题,采用分析法或综合法都可以顺利解决问题,但对于思维过程相对复杂的问题,单
一地使用其中的一种方法都显得无能为力,只有将二者结合起来,从已知出发,从结
论入手,结合图形,寻找出解决问题的一个接洽点,进而达到解决问题的目的。
例2如图3,分别以△ABC的边AB,AC为直角边向△ABC外部作等腰直角三角形
△BDA和△CEA,点P,M,N分别为BC,BD,EC的中点。
图3
求证:
PM=PN。
如果从已知条件△BDA和△CEA是等腰直角三角形出发就可以直接得到结论:
AB=AD,AC=AE及BAD=CAE=90?
/SPAN,再根据已有的解题经验,又显而易见
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△ADC≌△ABE,从而可以得到△ADC和△ABE的对应边相等、对应角相等。
这道题
如果从结论PM=PN入手,实际上,就是从未知看需知。
由于已知PM和PN分别是
△BDC和△CBE的中位线,所以只需证CD=BE即可。
从已知条件出发我们可以得到
CD=BE,从结论入手我们需要CD=BE,这样我们就找到了思维结点,使这个问题得到
顺利解决。
在分析问题时,采用分析过程综合化的策略,不仅可以使学生掌握数学基本的思维
方法,同时培养了学生的思维能力,提高了学生解决问题的水平。
四、解题方法多样化
所谓解题方法多样化是指在同一问题的解决过程中,鼓励学生进行独立思考,用适
合自己且科学合理的方法解决问题,从而在群体中尽可能出现多样化的问题解决方
法。
在长期教学实践中,多数教师比较重视一题多法,让每一名学生获得多种解决问
题的方法,但解题方法多样化与一题多法是有所不同的。
解题方法多样化主要是关注
学生个体的独立思考过程,关注学生群体的解题方法多样,解题方法多样化要尽可能
地保证学生独立思考的质量。
首先,要保证学生独立思考的时间,有了充分的时间,
学生的思维才能充分活动起来,进而对有用信息进行分析、综合和科学加工,这样学
生的独立思考才能有相应的思考结果。
其次,要保证在有限的课堂时间内学生的思维
得到较大的发展,教师就应给学生搭建合作、研讨、交流的平台和空间,开拓学生的
思维路径,获得多种解决问题的思路和方案,提高学生的思维能力,进而提高思维水
平。
在几何教学中,存在大量的素材可以实现解题方法多样化,这里就不再举例。
总
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之,解题方法多样化策略有利于学生个体思维能力的发展,有利于学生创新意识的形
成;同时,解题方法多样化策略也有利于转变教师的教学方式,开阔教师的视野,丰富
教师的教学经验,实现教学相长的良性效果。
五、复杂图形基本化
所谓复杂图形基本化就是将复杂的几何图形转化为一些基本图形。
几何教学离不开
几何图形,几何问题中所涉及的几何图形有基本图形和复杂图形,而这些复杂图形又
都是由一些基本图形复合而成。
不管遇到什么样的复杂几何问题,只要能够善于发现
基本图形,并熟练掌握这些基本图形的构成、形式及其性质,就能使模糊问题清晰
化、复杂问题简单化。
几何中每个定义、定理、公理都对应着一个基本图形,除了掌
握这些最基本的图形外,还要掌握定义、定理、公理之外的常用图形,如图4中的基
本图形a、基本图形b、基本图形c、基本图形d。
图5包含了基本图形a,图6包含了
基本图形b,图7包含了基本图形c,图8包含了基本图形d。
当然,还有很多基本图形,在此不一一例举。
利用这些基本图形及其性质能比较有
效地解决一些复杂问题,采用复杂图形基本化的策略,一般都会取得事半功倍的效
果。
六、图形变换手段化
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【编者按】:
数学论文是科
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技论文的一种是用来进行数学科学研究和描述研究成果的论说性文章。
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题。
在初中数学教学过程中,发现许多学生在课堂上的学习往往比较被动,一堂课下来
他们疲惫不堪,而且效果不佳.究其原因,原来好多学生没有进行课前预习;有的虽然预
习了,由于方法不当,或者预习不到位,结果也不理想.由此看来,不进行课前预习或
预习方法不得法,导致了课堂学习的无目标性和过于疲劳的现状,使许多学生学习数
学的兴趣和积极性受到挫伤,因此预习非常重要.在有效教学的背景下,怎样看待预习?
数学课如何开展课前预习?
课前预习应注意哪些问题?
本文结合作者的教学实践谈一些
看法.
一、课前预习的意义
第一,预习可以使学生在学习新知识前,做好心理准备,降低非智力因素对学习的
影响.在数学学习中,学生应该有三个目标:
1.知识与技能目标;2.数学思考与解决问题
目标;3.情感与态度目标.三维目标的实现,又是以情感与态度目标为基础.学生预习后,
表现在心理上的主动性和准备性上,并为对新知识的接受作了良好的铺垫,从而大大
提高了学习的效率.
第二,预习可以作好知识的准备,并及时复习补救,实现新旧知识的良好过渡.数学
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认知结构是以同化和顺应这两种方式得到不断的发展和完善的,学生在学习数学时,
总以原有的数学认知结构为依据对新知识进行加工.当新知识能与原有的知识相联系
时,那么通过新旧知识的相互作用,新知识很容易被纳入原有的数学认知结构之中;若
新知识,在原有的数学知识结构中没有适当的知识与它相联系,就要对原有的数学认
知结构进行改组(或部分改组),进而形成新的数学认知结构,再把新知识纳入新的数学
认知结构之中.由此可以看出,通过预习,在知识上做好准备,是接受和掌握新知识最
便捷,最有效的一环.
第三,预习有利于课堂内容的掌握与巩固.预习可以明确学习的重点、关键、难点等
中心问题.这些问题,当教师在课堂上讲解时,学生会集中精力,专心听讲,积极思
考,因而学生易于突破知识难点,更易于学生理解和掌握有关的知识.
第四,预习有利于培养学生的自学能力.预习,就是学生课前自学,需要学生自己动
手、动脑.在预习过程中,既有知识与方法的准备,也有学习方法的加深与创新,预习
日久,自学能力便会形成和提高.
二、如何开展课前预习
第一,要激发学生预习的兴趣.兴趣是最好的老师.有了兴趣的促动,预习效果会事半
功倍.因此,必须培养学生预习数学的兴趣.例如,对预习的成果及时反馈交流,让学生
有成就感.学生在预习时,常常会有所获,对有收获的学生来说,他们都有展示自己战
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利品的欲望.教师一定要抓住这个契机,让学生充分显洋一下,让他们有成功的体
验.同时,教师发现学生点滴的进步,特别是后进生的进步时,应及时予以表扬和鼓励.
这样,学生就会对预习产生浓厚的兴趣.预习习惯也就随之逐步养成.
第二,教师要精心设计预习内容.教师对课前预习的布置一定要建立在认真钻研教材
的基础之上.只有对教材内容、教学大纲认真理解,才能更好地设计与教学内容相关的课
前预习,使预习的内容不致过浅或过深,过浅达不到课前预习的效果;过深容易将课前
预习当成是新课内容,使学生造成理解认知上的困难,产生畏难情绪,不能起到课前
预习应有的效果.因此,教师要认真理解、把握教材,备好课前预习的内容,努力为学
生搭建一个展现自我、挑战自我的平台.
第三,课前预习一定要持之以恒.不可否认,在抓好课前预习的同时,相对传统式教
学来说,教师要辛苦许多.因此,教师深刻了解预习在数学教学中的重要作用,从思想
上重视它,让学生从内心接受它.在课前预习的过程中,不是所有的数学内容都来自学
生喜欢的生活素材,甚至有些内容还比较抽象,除了教师要认真设计外,我们还要采
取一些激励以及竞争措施.与此同时,对学生在预习过程中所出现的种种问题,教师一
定要做具体分析,及时解决并在适当的时候加以小结,通过长期不断的训练,学生将
会把课前预习作为一项常规的学习任务完成.
第四,要及时检查,重视反馈.光布置任务,没有严格的检查,对于缺乏自觉性的同
学来说,只能是徒劳.对于教师来说,也没有第一手材料.所以对预习的完成情况要做好
监督检查工作,这对培养学生预习习惯有很大的促进作用.
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三、数学课前预习应注意的问题
第一,合理,灵活的安排时间.
预习时间的安排一定要根据学习的整体计划,决定预习的内容和时间,一般是闲时
向前学.
第二,持之以恒.
预习要有长劲,不能半途而废.千万不要经过一段时间的预习觉得没有进步,就放弃
了.要注意不断修正预习方法,并从课前预习入手,逐渐发展到单元预习和学期预习.逐
渐形成预习习惯,不断提高预习水平.
第三,预防走极端.
预习过程中要防止预习过粗,流于形式和预习过细,虽然有效,但所付出的时间
和所得不成正比两个极端.
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总之,在有效教学背景下,课前预习对学好数学有较大的促进作用.做好课前预习,不仅
可以明确新课的重点和难点,发现不懂的问题,使自己在课堂上有针对性地学习;而且有助
于培养自学能力,增强创新意识.数学学习重在发现、探索、创新和应用,要学好数学,就
必须养成课前预习的习惯.
数学论文栏目
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所谓图形变换手段化就是将
图形变换作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段。
新课程下的初中数学增加了
图形变换的内容,特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何问题打开
了一扇找到解题思路和方法的窗户。
平移、旋转和轴对称三种变换的共同特点是改变
图形位置的同时,保证图形变换前后的对应元素的大小不发生变化。
平移能够将图形
的各元素沿着某一方向平行移动,旋转能够将图形的各元素绕着某一点沿着顺时针或
逆时针的方向转动,轴对称能够将图形的各元素沿着某条直线翻转180?
/SPAN。
平
移、旋转和轴对称三种变换在几何问题中各自发挥不同的作用。
例3如图9所示,在正方形ABCD中,E在BC边上移动,EAF=45?
/SPAN,AF
交CD于F,连接EF。
求证:
EF=BE+DF。
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图9
这道题对大多数学生来说解决起来是比较困难的,因为需要添加辅助线。
如何添加
辅助线是几何教学的难点,要证EF=BE+DF,就需要将分散的线段BE,DF集中到一
起,如果恰当地运用旋转变换,将△ADF绕点A顺时针旋转90?
/SPAN,如图10所
示,就可将BE和DF转化到同一直线上,得到线段BE与DF的和,进而将三条线段
EF,BE,DF构造到一对全等三角形中。
于是就轻而易举地得到如下辅助线引法和证
明思路:
延长CB到M,使BM=DF,连接AM,如图11,可得ME=BE+DF,于是只
要证明△AEM≌△AEF,问题就迎刃而解了。
图10
图11
可见,将图形变换作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段是论证几何教与学
的重要策略之一,把握好平移、旋转和轴对称的特征,恰当地利用平移、旋转和轴对
称变换能大大提高学生解题的能力,有利于学生空间想象力的形成与发展。
七、问题设计开放化
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所谓问题设计开放化就是改变常规封闭问题的呈现形式,不直接给出问题的结论或
使问题的条件不完备,问题的结论由学生设计或问题的条件由学生探究完成。
问题设
计开放化体现了新课程理念,体现了教师以学生为中心的教学观。
教师要注意开放
度,既要大胆地放,把时间留给学生,让学生有机会去尝试问题设计,又要善于把
握全局,凡是学生能提的问题,教师决不代替;凡是学生能思考的问题,教师决不暗示;
凡是学生能解决的问题,教师决不插手,真正做到适时而放,提高放的整体效
率。
问题的设计开放化可以增强学生学习的内驱力,有效地激发学生敢于思考问题、
主动参与知识的建构过程,有利于激发学生的好奇心和求知欲;问题设计开放化可以改
变原有的封闭思维模式,促进学生思维的发展。
例4如图12,P为Rt△ABC所在平面内一点(不在直线AC上),
ACB=90?
/SPAN,M为AB边中点。
操作:
以PA,PC为邻边作平行四边形PADC,连接PM并延长到点E,使
ME=PM,连接DE。
图12
探究:
请猜想与线段DE有关的三个结论,并给予证明。
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本题将问题设计的机会留给学生,让学生展开合理的联想,并根据自己的认知起点
和学习经验,从多角度、多方位、多层次进行思考,既体现了学生的个性化学习,又
体现了学生之间的合作学习,有利于学生良好思维品质的形成。
八、问题结论推广化
所谓问题结论推广化就是将某些特殊条件下成立的结论,推广为一般条件下成立的
结论。
在问题结论推广化的过程中,不仅教给学生归纳推理、类比推理的方法,还要
向学生渗透由特殊到一般的思想。
在问题结论推广的过程中,教师要避免越俎代庖的
现象发生,应尽力让学生经历归纳和类比、猜测和发现、探索和证明等过程,让学生
成为问题推广的真正主体,让学生体会到有许多变化的条件和图形中往往蕴含着恒定
不变的几何规律。
在问题推广的学习过程中,往往学生收获的不仅仅是学会一个问
题,而是学会一类问题,这样学生就可以跳出题海,提高学习效率,从而减轻学生的
学习负担。
例5如图13
(1)、13
(2)、、13(m)是边长均大于2的三角形、四边形凸n边形。
分
别以它们的各顶点为圆心,以1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧、4条弧n条
弧。
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(1)图13
(1)中3条弧的弧长的和为______,图13
(2)中4条弧的弧长的和为______;
(2)求13(m)中n条弧的弧长的和(用n表示)。
图13
问题结论推广的例子很多,教师在平时教学中应反复去引导学生进行联想、类比、
探索、发现、证明,让学生逐渐形成问题结论推广的意识(当然,不是所有的问题都能
推广)。
掌握问题结论推广化策略将有助于学生发现规律,提高学习效率,形成创新意
识,提高创新能力。
总之,论证几何是几何教学的核心,也是几何教学的难点,只有采取有效的教学策
略,才能提高论证几何教与学的效率,才能提高学生的逻辑思维能力。
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