专升本高等数学知识点讲解汇总.docx

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专升本高等数学知识点讲解汇总

专升本高等数学知识点讲解汇总

名师推荐精心整理学习必备

常用知识点:

一、常见函数的定义域总结如下:

（1）cbxaxybkxy++=+=2一般形式的定义域:

x∈R

（2）xky=

分式形式的定义域:

x≠0（3）xy=根式的形式定义域:

x≥0

（4）xyalog=对数形式的定义域:

x>0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当21xx<时,恒有）（）（21xfxf<,）（xf在21xx,所在的区间上是增加的。

当21xx<时,恒有）（）（21xfxf>,）（xf在21xx,所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性

定义:

设函数）（xfy=的定义区间D关于坐标原点对称（即若Dx∈,则有Dx∈-）

（1）偶函数）（xf——Dx∈∀,恒有）（）（xfxf=-。

（2）奇函数）（xf——Dx∈∀,恒有）（）（xfxf-=-。

三、基本初等函数

1、常数函数:

cy=,定义域是）,（+∞-∞,图形是一条平行于x轴的直线。

2、幂函数:

uxy=,（u是常数）。

它的定义域随着u的不同而不同。

图形过原点。

3、指数函数

定义:

xaxfy==）（,（a是常数且0>a,1≠a）.图形过（0,1）点。

4、对数函数

定义:

xxfyalog）（==,（a是常数且0>a,1≠a）。

图形过（1,0）点。

5、三角函数

（1）正弦函数:

xysin=

π2=T,）,（）（+∞-∞=fD,]1,1[）（-=Df。

（2）余弦函数:

xycos=.

π2=T,）,（）（+∞-∞=fD,]1,1[）（-=Df。

（3）正切函数:

xytan=.

π=T,},2）

12（,|{）（ZR∈+≠∈=kkxxxfDπ,）,（）（+∞-∞=Df.

（4）余切函数:

xycot=.π=T,},,|{）（ZR∈≠∈=kkxxxfDπ,）,（）（+∞-∞=Df.

5、反三角函数

（1）反正弦函数:

xysinarc=,]1,1[）（-=fD,]2

2[）（ππ-=Df。

（2）反余弦函数:

xyarccos=,]1,1[）（-=fD,],0[）（π=Df。

（3）反正切函数:

xyarctan=,）,（）（+∞-∞=fD,）2

2（）（ππ-=Df。

（4）反余切函数:

xyarccot=,）,（）（+∞-∞=fD,）,0（）（π=Df。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。

”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设Aux=→λlim,Bvx=→λ

lim,则

（1）BAvuvuxxx±=±=±→→→λ

λλlimlim）（lim

（2）ABvuvuxxx=⋅=⋅→→→λ

λλlimlim）（lim.推论

（a）vCvCxxλ

λ→→⋅=⋅lim）（lim,（C为常数）。

（b）n

xnxuu）lim（limλλ→→=（3）BAvuvuxxx==→→→λ

λλlimlimlim,（0≠B）.（4）设）（xP为多项式nnnaxaxaxP+++=-110）（,则）（）（lim00

xPxPxx=→（5）设）（）,（xQxP均为多项式,且0）（≠xQ,则）

（）（）（）（lim000xQxPxQxPxx=→三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有:

当0→x时,xx~sin,xx~tan,xx~arctan,

xx~arcsin,xx~）1ln（+,xex~1-,22

1~

cos1xx-。

对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:

当0□→时,□~□sin,其余类似。

四、两个重要极限

重要极限I1sinlim0=→x

xx。

它可以用下面更直观的结构式表示:

1□□sinlim

0□=→重要极限IIexxx=⎪⎭

⎫⎝⎛+∞→11lim。

其结构可以表示为:

e=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→

□□□11lim八、洛必达（L’Hospital）法则“00”型和“∞∞”型不定式,存在有Axgxfxgxfaxax==→→）

（）（lim）（）（lim''（或∞）。

一元函数微分学

一、导数的定义

设函数）（xfy=在点0x的某一邻域内有定义,当自变量x在0x处取得增量∆x（点xx∆+0仍在该邻域内）时,相应地函数y取得增量）（）（00xfxxfy-∆+=∆。

如果当0→∆x时,函数的增量y∆与自变量x∆的增量之比的极限

0lim→∆xxy∆∆=0lim→∆xx

xfxxf∆-∆+）（）（00=）（0xf'注意两个符号x∆和0x在题目可能换成其他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

（1）0）（='C（C为常数）

（2）1）（-='αααxx（α为任意常数）

（3）aaaxxln）（='）1,0（≠>aa特殊情况xxee='）（

（4）a

xexxaaln1log1）（log=='）1,0,0（≠>>aax,xx1）（ln='（5）xxcos）（sin='

（6）xxsin）（cos-='

（7）x

x2'cos1）（tan=

（8）xx2'sin1）（cot-

=（9）2'11

）（arcsinxx-=）11（〈〈-x

（10））11（11

）（arccos2'〈〈---=xxx

（11）2'

11）（arctanx

x+=（12）2'11）cot（xxarc+-=2、导数的四则运算公式

（1））（）（]）（）（[xvxuxvxu'±'='±

（2））（）（）（）（]）（）（[xvxuxvxuxvxu'+'='

（3）ukku'='][（k为常数）

（4））（）（）（）（）（）（）（2xvxvxuxvxuxvxu'-'='⎥⎦

⎤⎢⎣⎡3、复合函数求导公式:

设）（ufy=,）（xuϕ=,且）（uf及）（xϕ都可导,则复合函数）]（[xfyϕ=的导数为）（）.（'xufdx

dududydxdyϕ'=⋅=。

三、导数的应用

1、函数的单调性

0）（'>xf则）（xf在）,（ba内严格单调增加。

0）（'

2、函数的极值

0）（'=xf的点——函数）（xf的驻点。

设为0x

（1）若0xx<时,0）（'>xf;0xx>时,0）（'

（2）若0xx<时,0）（'时,0）（'>xf,则）（0xf为）（xf的极小值点。

（3）如果）（'xf在0x的两侧的符号相同,那么）（0xf不是极值点。

3、曲线的凹凸性

0）（''>xf,则曲线）（xfy=在）,（ba内是凹的。

0）（''

4、曲线的拐点

（1）当）（''xf在0x的左、右两侧异号时,点））（,（00xfx为曲线）（xfy=的拐点,此时0）（0''=xf.

（2）当）（''xf在0x的左、右两侧同号时,点））（,（00xfx不为曲线）（xfy=的拐点。

5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

dxxfdy）（'=,求微分就是求导数。

一元函数积分学

一、不定积分

1、定义,不定积分是求导的逆运算,最后的结果是函数+C的表达形式。

公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质

（1））（]）（['xfdxxf=⎰或dxxfdxxfd）（）（=⎰

（2）CxFdxxF+=⎰

）（）（'或CxFxdF+=⎰）（）（（3）⎰⎰⎰⎰±±±=±±±dxxxdxxfdxxxxf）（）（）（）]（）（）（[ψϕψϕ。

（4）dxxfkdxxkf⎰⎰=）（）（（k为常数且0≠k）。

2、基本积分公式（要求熟练记忆）

（1）⎰=Cdx0

（2））1（111-≠++=

+⎰aCxadxxaa.（3）Cxdxx+=⎰ln1.

（4）Caa

dxaxx+=⎰ln1）1,0（≠>aa（5）Cedxexx+=⎰

（6）⎰+-=Cxxdxcossin

（7）⎰

+=Cxxdxsincos（8）

Cxdxx+=⎰tancos12.

（9）Cxdxx+-=⎰cotsin12.（10）Cxdxx+=-⎰arcsin11

2.

（11）Cxdxx+=+⎰arctan112.

3、第一类换元积分法

对不定微分dxxg⎰

）（,将被积表达式dxxg）（凑成）（）（）（）]（[）（'xdxfdxxxfdxxgϕϕϕϕ==,这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有:

（1））（）

（1）（baxdbaxfa

dxbaxf++=

+

（2））（）

（1）（1baxdbaxfkadxxbaxfkkkk++=⋅+-（3）xdxfdxxxf21

）（=⋅

（4）xdxfdxxxf1）1

（1）1（2-=⋅

（5））（）（）（xxxxedefdxeef=⋅

（6））（ln）（ln1）（lnxdxfdxx

xf=⋅（7））（sin）（sincos）（sinxdxfxdxxf=⋅

（8））（cos）（cossin）（cosxdxfxdxxf-=⋅

（9））（tan）（tancos1）（tan2xdxfdxx

xf=⋅

（10））（cot）（cotsin1）（cot2xdxfdxxxf-=⋅

（11））（arcsin）（arcsin11

）（arcsin2xdxfdxx

xf=-⋅（12））（arccos）（arccos11

）（arccos2xdxfdxxxf-=-⋅

（13））（arctan）（arctan11）（arctan2

xdxfdxxxf=+⋅（14）））（（ln）

（）（'xddxxxϕϕϕ=）0）（（≠xϕ4、分部积分法

⎰⎰-=vduuvudv

二、定积分公式

1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果）（xF是连续函数）（xf在区间],[ba上的任意一个原函数,则有）（）（）（aFbFdxxfb

a-=⎰。

2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线）（）,（21xfyxgy==及两条直线ax=1和bx=2所

围成的（其1y是下面的曲线,2y是上面的曲线）,则

其面积可由下式求出:

.）]（）（[dxxgxfSb

a⎰-=3、计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线）0）（）（（≥=xfxfy和直线）（,babxax<==及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体,如图所示。

则该旋转

体的体积V可由下式求出:

.）（）（22dxxfdxxfVb

abax⎰⎰==ππ

多元函数微分学

1、偏导数,对某个变量求导,把其他变量看做常数。

2、全微分公式:

yBxAyxdfdz∆+∆==）,（。

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图

如果）,（yxuϕ=、）,（yxvψ=在点）,（yx处存在连续的偏导数xu∂∂,yu∂∂,xv∂∂,yv∂∂,且在对应于）,（yx的点）,（vu处,函数）,（vufz=存在连续的偏导数uz∂∂,v

z∂∂,则复合函数）],（）,,（[yxyxfzψϕ=在点）,（yx处存在对x及y的连续偏导数,且

xvvzxuuzxz∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,y

vvzyuuzyz∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂。

4、隐函数的导数

对于方程0）,（=yxF所确定的隐函数）（xfy=,可以由下列公式求出y对x的导数'

y:

）,（）,（'''

yxFyxFyyx-=,2、隐函数的偏导数

对于由方程0）,,（=zyxF所确定的隐函数）,（yxfz=,可用下列公式求偏导数:

）,,（）,,（''zyxFzyxFxzzx-=∂∂,）

,（）,,（''zyxFzyxFyzzy-=∂∂,5、二元函数的极值

设函数）,（00yxfz=在点）,（00yx的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数,且

0）,（00'=yxfx,0）,（00'=yxfy又设Ayxfxx=）,（00'',Byxfxy

=）,（00'',Cyxfyy=）,（00'',则:

（1）当02

<-ACB时,函数）,（yxf在点）,（00yx处取得极值,且当0A时有极小值。

（2）当02>-ACB时,函数）,（yxf在点）,（00yx处无极值。

（3）当02=-ACB时,函数）,（yxf在点）,（00yx处是否有极值不能确定,要用其它方法另作讨论。

平面与直线1、平面方程

（1）平面的点法式方程:

在空间直角坐标系,过点）,,（0000zyxM,以},,{CBAn=为法向量的平面方程为

0）（）（）（000=-+-+-zzCyyBxxA称之为平面的点法式方程

（2）平面的一般式方程

0=+++DCzByAx称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程

0=++CzByAx表示过原点的平面方程

0=++DByAx表示平行于Oz轴的平面方程

0=+ByAx表示过Oz轴的平面方程

0=+DCz表示平行于坐标平面xOy的平面方程

3、两个平面间的关系

设有平面0:

11111=+++DzCyBxAπ

0:

22222=+++DzCyBxAπ

平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是:

0212121=++CCBBAA

4、直线的方程

（1）直线的标准式方程过点）,,（0000zyxM且平行于向量},,{pnms=的直线方程

常称},,{pnms=为所给直线的方向向量

（2）直线的一般式方程

⎩⎨

⎧=+++=+++0

22221111DzCyBxADzCyBxA称之为直线的一般式方程5、两直线间关系

设直线1l,2l的方程为

直线1l,2l互相垂直的充分必要条件为0212121=++ppnnmm

0）（）（）（:

000=-+-+-zzCyyBxx

Aπ

直线l与平面π平行的充分必要条件为:

⎩⎨

⎧≠+++=++00

00DCpBnAmCpBnAmo

直线l落在平面π上的充分必要条件为⎩⎨

⎧

=+++=++0

00DCpBnAmCpBnAmo

将初等函数展开成幂级数

1、定理:

设）（xf在）,（0δxU

内具有任意阶导数,且

称上式为）（xf在点0x的泰勒级数。

或称上式为将）（xf展开为0xx=的幂级数。

常微分方程

1、一阶微分方程

（1）可分离变量的微分方程

若一阶微分方程0）,,（='yyxF通过变形后可写成dxxfdyyg）（）（=或）（）（ygxfy='则称方程0）,,（='yyxF为可分离变量的微分方程.2、、可分离变量微分方程的解

方程dxxfdyyg）（）（=必存在隐式通解CxFyG+=）（）（。

其:

⎰=dyygyG）（）（,⎰=dxxfxF）（）（.

即两边取积分。

（2）一阶线性微分方程

1、定义:

方程）（）（xQyxPy=+'称为一阶线性微分方程.

（1）非齐次方程——0）（≠xQ;

（2）齐次方程——0）（=+'yxPy.2、求解一阶线性微分方程

（1）先求齐次方程0）（=+'yxPy的通解:

⎰=-dx

xPCey）（,其C为任意常数。

（2）将齐次通解的C换成）（xu。

即⎰=-dxxPexuy）（）（

（3）代入非齐次方程）（）（xQyxPy=+',得

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⎰

=⎰

-Cdxexqeydx

xPdxxP）（）（）（2、二阶线性常系数微分方程

（1）可降阶的二阶微分方程1、）（xfy=''型的微分方程例3:

求方程xeyxsin212-=

''的通解.分析:

12cos4

1

Cxedxyyx++=''='⎰;212sin8

1

CxCxedxyyx+++='=⎰.

2、）,（yxfy'=''型的微分方程解法:

（1）令yp'=,方程化为）,（pxfp=';

（2）解此方程得通解）,（1Cxpϕ=;（3）再解方程）,（1Cxyϕ='得原方程的通解21）,（CdxCxy+=⎰

ϕ.3、）,（yyfy'=''型的微分方程解法:

（1）令yp'=,并视p为y的函数,那么dy

dp

p

dxdydydpdxdpy=⋅==

'',

（2）代入原方程,得）,（pyfdy

dp

p

=（3）解此方程得通解）,（1Cypϕ=;

（4）再解方程）,（1Cyyϕ='得原方程的通解

21）,（CxCydy

+=⎰ϕ.

例4:

求方程02='-''yyy的通解.

分析:

（1）令yp'=,并视p为y的函数,那么dy

dp

p

dxdydydpdxdpy=⋅==

'',

（2）代入原方程,得02=-pdy

dpyp

或

ydypdp=（3）解上方程,得Cypln||ln||ln+=⇒yCp1=,（CC±=1）.（4）再解方程yCy1='⇒

1Cy

y='

⇒2

1||lnCxCy'+=.（5）于是原方程的通解为x

CeCy12=,（22CeC'

±=）

（2）常系数线性微分方程

（1）、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qyypy的解。

写出特征方程并求解

02=++qprr.

下面记qp42

-=∆,21,rr为特征方程的两个根.

（1）042

>-=∆qp时,则齐次方程通解为:

xrxreCeCy2121+=。

（2）042

=-=∆qp时,则齐次方程通解为

）（2121111xCCexeCeCyxrxrxr+=+=.

（3）042

<-=∆qp时,有,1βαir+=）0（2≠-=ββαir,则齐次方程通解为

）.sincos（21xCxCeyxββα+=

（2）二阶常系数非齐次方程解法

方程的形式:

）（xfqyypy=+'+''解法步骤:

（1）写出方程的特征方程02

=++qprr;

（2）求出特征方程的两个根21,rr;

（4）再求出非齐次方程的一个特解）（*xy;

（5）那么原方程的通解为）（）（）（*2211xyxyCxyCy++=。