极坐标和直角坐标的互化.docx
- 文档编号:15606297
- 上传时间:2023-07-06
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:471.41KB
极坐标和直角坐标的互化.docx
《极坐标和直角坐标的互化.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《极坐标和直角坐标的互化.docx(24页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
极坐标和直角坐标的互化
极坐标和直角坐标的互化
1.极坐标系的概念
(1)定义:
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标系的四个要素:
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的正方向.
(3)图示:
2.极坐标
(1)极坐标的定义:
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系:
在极坐标系中,极点O的极坐标是(0,
θ),(θ∈R),若点M的极坐标是M(ρ,θ),则点M的极坐标也可写成M(ρ,θ+2kπ)(k∈Z).
若规定ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ,θ)之间才是一
一对应关系.
3.极坐标与直角坐标的互化公式
如图所示,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y),(ρ,θ).
(1)极坐标化直角坐标x=ρcosθ,y=ρsinθW.
(2)直角坐标化极坐标
222
ρ=x+y,
y
tanθ=(x≠0).
x
1.极坐标系中,与点
3,6相同的点是()
13π
π
17
5π
A.3,6
B.3,-6C.
3,6π
D.
3,-6
解析:
选A.因为极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点,故选A.2.关于极坐标系的下列叙述:
1极轴是一条射线;
2极点的极坐标是(0,0);
3点(0,0)表示极点;
π5π
4点M4,4与点N4,4表示同一个点;
5动点M(5,θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心,半径为5的圆.其中,所有正确的叙述的序号是.
解析:
结合极坐标系概念可知①③⑤正确,其中,②极点的极坐标应为(0,θ),θ为
任意实数,②不正确;④点M,N关于极点对称,所以不正确.
答案:
①③⑤
5π7π
3.在极坐标系中,已知点A1,12,B2,-12,则|AB|=.
5π7π
解析:
由于51π2与-71π2的终边互为反向延长线,所以|AB|=1+2=3.
答案:
3
由极坐标确定点的位置
π3π19
在极坐标系中,画出点A1,4,B2,2π,C3,-4,D4,4π
π
[解]在极坐标系中先作出射线θ=4,
π
再在射线θ=4上截取|OA|=1,
π
这样可得到点A1,π.
4
3ππ
同样可作出点B2,2,C3,-4.
193π193π
由于π=+4π,故点D4,π可写成D4,,如图位置.
4444
(1)由极坐标确定点的位置的方法
点的位置.
(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题
由极坐标确定点的位置,常常首先由θ的值确定射线(方向),再由ρ的值确定位置.如
果θ的值不在[0,2π)范围内,先根据θ=θ0+2kπ(k∈Z)确定出θ0∈[0,2π)的值再确定方向.
不合适.
2.如图,在极坐标系中,
(1)作出以下各点:
π3π3π
A(5,0),B3,6,C4,2,D2,-2
解:
(1)如图,在极坐标系中,点A,B,C,D的位置是确定的.
7π
(2)由于点E的极径为4,在θ∈[0,2π)内,极角θ=6,又点的极坐标(ρ,
θ)(ρ≥0,θ∈R),7π
所以点E的极坐标为4,2kπ+6(k∈Z).
2π
同理,点F的极坐标为3,2kπ+3(k∈Z).点的极坐标与直角坐标的互化
(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标.π5
14,4;②2,3π.
(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).
①(-1,1);②(4,-43);
3π3π
③2,2;④(-6,-2).
π
[解]
(1)①ρ=4,θ=4,
所以x=ρcosθ=4cos4=22,
y=ρsin
θ=4sin4=22,
所以点(4,π4)的直角坐标为(22,22).
5π5π
2因为x=2cos3=1,y=2sin3=-3.
33
5π
所以点2,3的直角坐标为(1,-3).
(2)①ρ=(-1)2+12=2,tanθ=-1,θ∈[0,2π),
3π
由于点(-1,1)在第二象限,所以θ=4,
3π
所以点(-1,1)的极坐标为2,4.
(2)点的直角坐标化为极坐标的方法
那么它的极坐标可表示为()
用此公式时要注意ρ和θ的取值范围.
1.点P的直角坐标为(-2,2),
3π
解析:
选B.点P(-2,2)在第二象限,与原点的距离为2,且与极轴夹角为4.
2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.
(2,-2)和(0,-15),求它们的极坐标(ρ>0,0≤
θ<2π).
5π
解:
(1)因为x=ρcosθ=4·cos3=2.
所以A点的直角坐标为(2,-23).
(2)因为ρ=x2+y2=22+(-2)2=22,-2
tanθ=2=-1.且点B位于第四象限内,
7π7π
所以θ=π4,所以点B的极坐标为22,4π
3又因为x=0,y<0,所以ρ=15,θ=2π.
极坐标系中的对称问题和距离问题
(1)A,B两点的极坐标分别为A5,π3,B2,-π6,则A,B两点的距离为|AB|
π
(2)设点A2,3,直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A关于极轴,直线
l,极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,-π<θ≤π).
πππ
[解]
(1)如图所示,|OA|=5,|OB|=2,∠AOB=3-(-6)=2.
所以|AB|=|OA|+|OB|=5+4=3.故填3.
关于直线l的对称点为C2,3π
2为半径的圆上.
关于极点O的对称点为D2,-23π
(ρ,π-θ).
O构成的三角形求解,也可以运用
四个点A,B,C,D都在以极点为圆心,
两点间距离公式|AB|=ρ1+ρ2-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2)求解,其中A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),注意当θ1+θ2=2kπ(k∈Z)时,|AB|=|ρ1-ρ2|.当θ1+θ2=2kπ+π(k∈Z)时,|AB|=|ρ1+ρ2|.
π
1.点M的极坐标是-2,-6,它关于直线
π
3.极坐标系中,分别求下列条件下点M3,3关于极轴的对称点M′的极坐标:
π
解:
因为M3,3与M′(ρ,θ)关于极轴对称,
π
所以ρ=3,θ=-3+2kπ(k∈Z).
5π
(1)当θ∈[0,2π)时,θ=
5π
所以M′(3,3).
π
(2)当θ∈R时,M′(3,2kπ-3)(k∈Z).
3
1.对极坐标系的理解
(1)在平面上建立一个极坐标系时,四个要素(极点;极轴;长度单位;角度单位及它的正方向)缺一不可.
(2)一般地,不作特别说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.其中极点的极径=0,极角θ可取任意值.
(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系,一个点可以有多个极坐标.可统
表示为(ρ,θ+2kπ),其中ρ≥0,k∈Z.
2.极坐标与直角坐标的区别与联系
直角坐标
极坐标
区别
点与直角坐标是“一对一”的关系
由于终边相同的角有无数个,即点的极角不唯一.因此点与极坐标是“一对多”的关系
联系
直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的,它们都是一对有序的实数
3.对极坐标与直角坐标互化公式的理解
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴非负半轴重合;③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)由ρ2=x2+y2确定ρ时,ρ不取负值;由tanθ=yx(x≠0)确定θ时,根据点(x,x
y)所在的象限取最小正角.当x≠0时,θ角才能由tanθ=xy按上述方法确定.当x=0
时,tanθ没有意义,这时又分三种情况:
①当x=0,y=0时,θ可取任何值;
π
②当x=0,y>0时,θ=2;
3
3当x=0,y<0时,θ=2π.
1.极坐标系中,点A(2016,2017π)的直角坐标为()
A.(2016,π)B.(2016,0)C.(0,2016)D.(-2016,
0)
解析:
选D.因为ρ=2016,θ=2017π,所以x=ρcosθ=2016cosπ=-2016,y=ρsinθ=2016sin2017π=2016sinπ=2016×0=0,所以A点的直角坐标为A(-2016,0).
2.极坐标系中,极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2,则点M的极坐标的下
列表示:
①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z).
其中,正确表示的序号为.
解析:
因为|OM|=2,即ρ=2,
又M点在极轴反向延长线上,
所以θ=π+2kπ(k∈Z),当k=0时,θ=π,当k=-1时,θ=-π.
所以M点的极坐标为(2,π)或(2,-π).
答案:
②③
7π
3.
(1)把点A的极坐标2,6化成直角坐标;
(2)把点P的直角坐标(1,-3)化成极坐标.(ρ>0,0≤θ<2π).
解:
(1)x=2cos76=-3,
7π
y=2sin6=-1,
故点A的直角坐标为(-3,-1).
4.在极坐标系中,如果
π5π
A2,4,B2,4为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点
的极坐标.
解:
点A,B的直角坐标分别为(2,2),(-2,-2),设点C的直角坐标为(x,y),由△ABC为等边三角形,
故|BC|=|AC|=|AB|,
得(x+2)2+(y+2)2=(x-2)2+(y-2)2=(2+2)2+(2+2)2.
(x-2)2+(y-2)2=16,
(x+2)2+(y+2)2=16,
解得
x=6,或x=-6,y=-6y=6.
点C的直角坐标为(6,-6)或(-6,6),
故ρ=6+6=23,tanθ=-1,
7π3π
故点C的极坐标为23,4或23,4
22
解析:
选A.法一:
因为(x-1)2+y2=1的圆心坐标为(1,0),化为极坐标是(1,0),
π
所以点(2,3)到圆心的距离
2222πd=ρ+ρ2-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2)=2+1-2×2×1×cos3
=4+1-2=3.
π
法二:
将点(2,3)化为直角坐标是(1,3)
3
又(x-1)2+y2=1的圆心的坐标是(1,0),
所以点(2,π3)到圆心的距离d=(1-1)2+(3-0)2=3.
3
ππ
5.在极坐标系中,点M3,12关于直线θ=4(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是()
π
解析:
选C.如图所示,设点M关于直线θ=4(ρ∈R)对称的点为N,则|ON|=|OM|,
πππ5π
∠xON=π4+π4-1π2=1π2,所以点
所以A,B两点的直角坐标是(3,33),(-4,-43),所以线段AB中点的直角坐标是-12,-23.
答案:
-12,-23
π
7.极坐标系中,点A的极坐标是3,π6,则
(2)点A关于极点的对称点的极坐标是;
(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是.(本题中规定
ρ>0,θ∈[0,2π))
π
解析:
(1)点A3,6关于极轴的对称点的极坐标为
(2)点A关于极点的对称点的极坐标为
7π
3,6π;
7π5π
2x,
1后的点为Q,则极坐
(2)3,6(3)3,6
x
7π8.平面直角坐标系中,若点P3,经过伸缩变换
2y
标系中,极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于
x′=2x,
7π7π
解析:
因为点P3,经过伸缩变换1后的点为Q6,,则极坐标系中,
2y′=3y6
7π极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6sin=3.
6答案:
3
2ππ
9.在极坐标系中,O为极点,已知两点M,N的极坐标分别为4,3,2,4,求△MON的面积.
=3×2+1×2=6+2
=2×2+2×2=4
π
10.已知定点P4,3.
(1)将极点移至O′23,π6处极轴方向不变,求P点的新坐标;
π
(2)极点不变,将极轴顺时针转动6角,求P点的新坐标.
解:
(1)设P点新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知|OO′|=23,|OP|=4,∠
ππ
POx=3,∠O′Ox=6,
π所以∠POO′=π6.
sin∠OPO′sin∠POO′
又因为23
所以P点的新坐标为2,23π
(2)如图,设P点新坐标为(ρ,
πππ
则ρ=4,θ=3+6=
π
所以P点的新坐标为(4,2).
[B能力提升]
坐标为()
(k∈Z)
解析:
选C.因为点P对应的复数为-3+3i,
所以点P的直角坐标为(-3,3),点P到原点的距离为32,且点P在第二象限的角
3π3π
平分线上,故极角等于34π,故点P的极坐标为32,4π,选C.
π
所以∠AOB=π3.
5π
6
π
所以△AOB为正三角形,从而|AB|=3,直线AB的倾斜角为π-2
5π
答案:
356π
13.如果对点的极坐标定义如下:
当已知M(ρ,θ)(ρ>0,θ∈R)时,点M关于极点O的对称点M′(-
θ).
π
例如,M3,3关于极点
ππ
O的对称点M′-3,3,就是说3,3+π
π
-3,3表
示的就是同一点.
已知A点的极坐标是6,
5π
3,分别在下列给定条件下,写出A点的极坐标:
(1)ρ>0,-π<θ≤π.
(2)ρ<0,0≤θ<2π.
(3)ρ<0,-2π<θ≤0.解:
如图所示,|OA|=|OA′|=6,
2π5π
∠xOA′=3,∠xOA=3,即点A与A′关于极点O对称.由极坐标的定义知
π
(1)当ρ>0,-π<θ≤π时,A6,-3.
14.(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形.
其中|OC|=600m.建立适当的极坐标系,写出点C与点F的极坐标并求点C到点F的
直线距离.
所示.
ππ
由|OC|=600,∠AOC=6,所以点C的极坐标为600,6,
π
由图形得|OF|=|OD|=|AC|=600×sin6=300(m).
所以点F的极坐标为(300,π).
π5
在△COF中,∠COF=π-=π.
66
根据余弦定理,得
|CF|=|OC|2+|OF|2-2|OC|·|OF|·cos56π
6002+3002-2×600×300×
2
=3005+23(m).
所以点C到点F的直线距离为3005+23m.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 坐标 直角坐标