《概率论与数理统计》期末考试B卷附参考答案Word文档格式.docx
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3.若随机变量X与Y独立,且都服从p0.1的(0,1)分布,则XY.()
4.设X为离散型随机变量,且存在正数k使得P(Xk)0,则X的数学期望
E(X)未必存在.()
5.在一个确定的假设检验中,当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第二类
错误的概率不能同时减少.()、选择题(15分,每题3分)
1.设每次试验成功的概率为p(0p1),重复进行试验直到第n次才取得r(1rn)
次成功的概率为
r1rnra)Cnr11pr(1p)nr;
r1r1nr1
Cnr11pr1(1p)nr1;
2.离散随机变量X的分布函数为F(x),且xk1xkxk1,则P(Xxk)
3.设随机变量X服从指数分布,则随机变量Ymax(X,2003)的分布函数
(a)是连续函数;
(b)恰好有一个间断点;
(c)是阶梯函数;
(d)至少有两个间断点.
4.设随机变量(X,Y)的方差D(X)4,D(Y)1,相关系数XY0.6,则方差
D(3X2Y).
(a)40;
(b)34;
(c)25.6;
(d)17.6.
5.设(X1,X2,,Xn)为总体N(1,22)的一个样本,X为样本均值,则下列结论中正确的是.
a)X1~t(n);
2/n
1n2
b)1(Xi1)2~F(n,1);
4i1
X1
X1~N(0,1);
2/n
1n
d)1(Xi1)2~2(n).
1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个,则第二次才取到正品的概率为.
X
2.设连续随机变量的密度函数为f(x),则随机变量Y3e的概率密度函数为fY(y)
3.设X为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值,则
P(1X5)=
则条件密度函数为
当时fYX(yx)
5.设X~t(m),则随机变量YX2服从的分布为(需写出自由度).
2
6.设某种保险丝熔化时间X~N(,2)(单位:
秒),取n16的样本,得样本均值和方
差分别为X15,S20.36,则的置信度为95%的单侧置信区间上限为
7.设X的分布律为
1
3
22
P22
(1)
(1)2
已知一个样本值(x1,x2,x3)(1,2,1),则参数的极大似然估计值为.
四、计算题(40分,每题8分)
1.已知一批产品中96%是合格品.检查产品时,一合格品被误认为是次品的概率是0.02;
一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格
品的概率.
2.设随机变量X与Y相互独立,X,Y分别服从参数为,()的指数分布,试求
Z3X2Y的密度函数fZ(z).
1的泊松分布.
52周)售出该商品
求常数k,使
3.某商店出售某种贵重商品.根据经验,该商品每周销售量服从参数为假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内(件数在50件到70件之间的概率.
4.设总体X~N(,2),(X1,X2,,Xn)为总体X的一个样本.
n
kXiX为的无偏估计量.
5.
(1)根据长期的经验,某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(,2)(单位:
kg).已知8kg,现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品,测得样本均值x575.2kg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg?
(5%)
2)已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(,0.0482).某日抽取5个样品,测
得其纤度为:
1.31,1.55,1.34,1.40,1.45.
问这天的纤度的总体方差是否正常?
试用10%作假设检验.
五、证明题(7分)
设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p).试证明随机变量XY与Z相互独立.
参考答案
一.判断题
1.是.在几何概型中,命题“P(A)0当且仅当A是不可能事件”是不成立的.
2.非.改变密度函数f(x)在个别点上的函数值,不会改变分布函数F(x)的取值.
3.非.由题设条件可得出P(XY)0.82,根本不能推出XY.
4.非.由题设条件可可以证明xkpk绝对收敛,即E(X)必存在.
k1
5.是.由关系式zzn/(等式右端为定值)可予以证明.
二.选择题
1.(a)2.(d)3.(b)4.(c)5.(d).
三.填空题
y1f[ln(y/3)])y0
1.19/396.2.fY(y)y.3.0.9772.
Y0y0
1/(2x)xyx
4.当0x1时fYX(yx)0其他5.F(1,m)].
6.上限为15.263.7.5/6.
四.计算题
P(A)P(B)P(AB)P(B)P(A
1.A被查后认为是合格品的事件,B抽查的产品为合格品的事件.
B)0.960.980.040.050.9428,
P(BA)P(B)P(AB)/P(A)0.9408/0.94280.998.
2.解一
f(x,y)
e(xy)x0,y0其他
z0时,FZ(z)0,从而fZ(z)0;
z0时,
FZ(z)
P(3X2Yz)f(x,y)dxdy
3x2yz
z/3xexdx
(z3x)/2
eydy
所以
解二
z0时,
解三设
1e2z
32
3e3z
fZ(z)32
0,
z/3z/2(ez/3ez/2),
z0
fX(x)
x0
其他
fY(y)
ey
y0
fZ(z)0;
fZ(z)12fX(x)fY[(z3x)/2]dx
210z/3ex[(zx)/2]dx
Z30,2
(ez/3ez/2),
Z3X2Y
WY
随机变量(Z,W)的联合密度为
所以fZ(z)g(z,w)dw
X(Z2W)/3YW
g(z,w)f
130
(ez/3ez/2)
z2w
w
3,w
z/2z2ww
z/2ez32wwdw
1/32/3
z/3
(ez/3
z/2
3.设Xi为第i周的销售量,i1,2,,52Xi~P
(1),则一年的销售量为
52
YXi,E(Y)52,D(Y)52.i1
由独立同分布的中心极限定理,所求概率为
2Y5218182
P(50Y70)P1
5252525252
(2.50)(0.28)10.99380.610310.6041.
4.注意到X1,X2,,Xn的相互独立性
XiX1nX1X2(n1)XiXn
0,n1
k2n(n1)
5.
(1)要检验的假设为H0:
570,H1:
570
检验用的统计量UX0~N(0,1),
/n
拒绝域为Uz(n1)z0.0251.96.
U0575.25700.65102.061.96,落在拒绝域内,8/10
故拒绝原假设H0,即不能认为平均折断力为570kg.
5
(XiX)2
检验用的统计量
i12~2(n1),
02
拒绝域为22(n1)02.05(4)9.488或
212(n1)02.95(4)0.711
x1.41,00.0362/0.002315.7399.488,落在拒绝域内,
故拒绝原假设H0,即认为该天的纤度的总体方差不正常.
五、证明题证一由题设知
XY
P
q
p
q2
2pq
p2
P(XY0,Z0)q3P(XY0)P(Z0);
P(XY0,Z1)pq2P(XY0)P(Z1);
P(XY1,Z0)2pq2P(XY1)P(Z0);
P(XY1,Z1)2pq2P(XY1)P(Z1);
P(XY2,Z0)pq2P(XY2)P(Z0);
P(XY2,Z1)p3P(XY2)P(Z1).所以XY与Z相互独立.
证二由题设可得XY与Z的联合分布
1,所以XY与
Z相互独立.
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