133+等腰三角形的性质与判断含答案.docx
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133+等腰三角形的性质与判断含答案
13.3等腰三角形的性质与判断【含答案】
一.选择题(共10小题)
1.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为( )
A.2B.3C.4D.5
2.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,过点D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,若AB=12,BC=8,AC=10,则△AEF的周长为( )
A.15B.18C.20D.22
3.已知,如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若BD+CE=5,则线段DE的长为( )
A.5B.6C.7D.8
4.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E两点分别在AC、BC上,BD是∠ABC的平分线,DE∥AB,若BE=5cm,CE=3cm,则△CDE的周长是( )
A.15cmB.13cmC.11cmD.9cm
5.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是( )
A.∠C=2∠AB.BD=BC
C.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点
6.如图,在△ABC中,BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,△PDE的周长为8,则BC的长为( )
A.4B.6C.8D.10
7.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.1B.1.5C.2D.2.5
8.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:
(1)∠DEF=∠DFE;
(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,过点A的直线DE∥CB,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为( )
A.14B.16C.10D.12
10.如图,在△ABC中,∠B=36°,∠C=72°,AD平分∠BAC交BC于点D.下列结论中错误的是( )
A.图中共有三个等腰三角形B.点D在AB的垂直平分线上
C.AC+CD=ABD.BD=2CD
二.填空题(共10小题)
11.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA延长线上,EP⊥BC于点P,交AB于点F,若AF=2,BF=3,则CE的长度为 .
12.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
13.如图,在△ABC中,AB=BC,AB=12cm,F是AB边上一点,过点F作FE∥BC交AC于点E,过点E作ED∥AB交BC于点D.则四边形BDEF的周长是 cm.
14.如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I,且DE∥BC.BD=8cm,CE=5cm,则DE等于 .
15.如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是角平分线,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为 .
16.如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD= .
17.如图所示,在△ABC中,已知AB=AC,∠A=36°,BC=2,BD是△ABC的角平分线,则AD= .
18.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,点D、E分别在边BC、AC上,且∠ADE=∠B,当BD的长为 时,△ADE是等腰三角形.
19.如图,D是△ABC中BC边上一点,AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是 .
20.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,过C作CE∥AD,交BA延长线于点E,若BA=7.则BE= .
三.解答题(共10小题)
21.如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线.求证:
△DBC是等腰三角形.
22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠CBE.
求证:
AB=AC.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
24.在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.
25.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
26.如图,已知△ABC中,AB=AC,BC=6,AM平分∠BAC,D为AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=
BC.
(1)求ME的长;
(2)求证:
△DMC是等腰三角形.
27.如图,已知CE、CF分别是△ABC中∠ACB及外角∠ACD的平分线,点E在AB上,EF交AC于点M,且EF∥BC.
(1)若∠B=45°,∠A=55°,求∠F的度数.
(2)求证:
ME=MF.
28.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE⊥AD,BE交AD的延长线于点E,点F在AB上,且EF∥AC.求证:
点F是AB的中点.
29.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形;
(2)请你判断AD与BE垂直吗?
并说明理由.
(3)如果BC=10,求AB+AE的长.
30.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD是∠ACB的平分线交AB于点D,
(1)求∠ADC的度数;
(2)过点A作AE∥BC,交CD的延长线于点E,试问△ADE是等腰三角形吗?
请说明理由.
13.3等腰三角形的性质与判断【A1】
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2016•甘孜州)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为( )
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵ED∥BC,
∴∠CBD=∠BDE,
∴∠ABD=∠BDE,
∴BE=DE,
△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,
∵AB=3,AD=1,
∴△AED的周长=3+1=4.
故选C.
2.(2016春•福田区期末)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,过点D作EF∥BC交AB于E,交AC于F,若AB=12,BC=8,AC=10,则△AEF的周长为( )
A.15B.18C.20D.22
【解答】解:
∵EF∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴ED=EB,
同理可证得DF=FC,
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22,
即△AEF的周长为22,
故选D.
3.(2016春•保定期中)已知,如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若BD+CE=5,则线段DE的长为( )
A.5B.6C.7D.8
【解答】解:
∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=EC,
∵DE=DO+OE,
∴DE=BD+CE=5.
故选A.
4.(2016春•永登县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E两点分别在AC、BC上,BD是∠ABC的平分线,DE∥AB,若BE=5cm,CE=3cm,则△CDE的周长是( )
A.15cmB.13cmC.11cmD.9cm
【解答】解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠ABC=∠C,∠ABD=∠BDE,
∴DE=DC,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBE.
∴∠DBE=∠BDE,
∴BE=DE=DC=5cm,
∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13(cm),
故选B.
5.(2016春•福安市期中)如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是( )
A.∠C=2∠AB.BD=BC
C.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点
【解答】解:
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=72°,
∴∠C=2∠A,故(A)正确;
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=36°,
∴∠BDC=36°+36°=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴BD=BC,故(B)正确;
∵∠A=∠ABD=36°,
∴△ABD是等腰三角形,故(C)正确;
∵BD<CD,
∴AD>CD,
∴D不是AC的中点,故(D)错误.
故选:
D
6.(2016春•东港市期中)如图,在△ABC中,BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,△PDE的周长为8,则BC的长为( )
A.4B.6C.8D.10
【解答】解:
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,
又PD∥AB,PE∥AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠APC=∠EPC,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠EPC,
∴PD=BD,PE=CE,
∴BC=BD+DE+EC=PD+DE+PE=△PDE的周长=8,
故选C.
7.(2015•盐亭县模拟)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为( )
A.1B.1.5C.2D.2.5
【解答】解:
∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,
∴BC=CE.
又∵∠A=∠ABE,
∴AE=BE.
∴BD=
BE=
AE=
(AC﹣BC).
∵AC=5,BC=3,
∴BD=
(5﹣3)=1.
故选A.
8.(2015秋•醴陵市校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:
(1)∠DEF=∠DFE;
(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF;(4)EF垂直平分AD.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,BD=CD,∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD垂直平分EF
∴(4)错误;
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴,
∴
(1)∠DEF=∠DFE;
(2)AE=AF;(3)AD平分∠EDF.
故选C.
9.(2015秋•东平县期末)如图,在△ABC中,AB=10,AC=6,过点A的直线DE∥CB,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为( )
A.14B.16C.10D.12
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴∠E=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠E=∠ABE,
∴AB=AE=10.
同理可得:
AD=AC=6,
∴DE=AD+AE=AB+AC=16.
故选B.
10.(2015秋•沛县期中)如图,在△ABC中,∠B=36°,∠C=72°,AD平分∠BAC交BC于点D.下列结论中错误的是( )
A.图中共有三个等腰三角形B.点D在AB的垂直平分线上
C.AC+CD=ABD.BD=2CD
【解答】解:
A、在△ABC中,∠B=36°,∠C=72°,
∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠DAB=36°,
即∠DAB=∠B,∠BAC=∠C,∠ADC=36°+36°=72°=∠C,
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形,故本选项错误;
B、∵∠DAB=∠B,
∴AD=BD,
∴D在AB的垂直平分线上,故本选项错误;
C、在AB上截取AE=AC,连接DE,
在△EAD和△CAD中
∴△EAD≌△CAD,
∴DE=DC,∠C=∠AED=72°,
∵∠B=36°,
∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B,
∴DE=BE,
即AB=AE+BE=AC+CD,故本选项错误;
D、∵CD=DE=BE,DE+BE>BD,
∴BD<2DC,故本选项正确;
故选D.
二.填空题(共10小题)
11.(2015春•重庆校级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA延长线上,EP⊥BC于点P,交AB于点F,若AF=2,BF=3,则CE的长度为 7 .
【解答】证明:
在△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵EP⊥BC,
∴∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°,
∴∠E=∠BFP,
又∵∠BFP=∠AFE,
∴∠E=∠AFE,
∴AF=AE,
∴△AEF是等腰三角形.
又∵AF=2,BF=3,
∴CA=AB=5,AE=2,
∴CE=7.
12.(2010•安徽)如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ②③④ .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
【解答】解:
应添加的条件是②③④;
证明:
②当∠BAD=∠CAD时,
∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;
则△ABD≌△ACD,
∴△BAC是等腰三角形;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;
∵AB+BD=CD+AC,
∴DE=DF,又AD⊥BC;
∴△AEF是等腰三角形;
∴∠E=∠F;
∵AB=BE,
∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;
∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
即(AB+BD)(AB﹣BD)=(AC+CD)(AC﹣CD);
∵AB﹣BD=AC﹣CD①,
∴AB+BD=AC+CD②;
∴①+②得:
,
2AB=2AC;
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形
故答案为:
②③④.
13.(2010•潍坊)如图,在△ABC中,AB=BC,AB=12cm,F是AB边上一点,过点F作FE∥BC交AC于点E,过点E作ED∥AB交BC于点D.则四边形BDEF的周长是 24 cm.
【解答】解:
∵AB=BC,
∴∠A=∠C;
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠C=∠A,
同理,得:
∠DEC=∠A=∠C;
则△AFE、△EDC是等腰三角形,AF=FE、CD=DE;
∴C四边形BDEF=BF+BD+DE+EF=BF+AF+BD+CD=AB+BC=24cm.
故答案为24cm.
14.(2016春•吉安校级月考)如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I,且DE∥BC.BD=8cm,CE=5cm,则DE等于 3cm .
【解答】解:
∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,
∴∠ABI=∠CBI,∠ECI=∠ICF,
∵DE∥BC,
∴∠DIB=∠CBI,∠EIC=∠ICF,
∴∠ABI=∠DIB,∠ECI=∠EIC,
∴DI=BD=8cm,EI=CE=5cm,
∴DE=DI﹣EI=3(cm).
故答案为:
3cm.
15.(2015秋•安阳校级期中)如图,已知△ABC中,AC+BC=24,AO、BO分别是角平分线,且MN∥BA,分别交AC于N、BC于M,则△CMN的周长为 24 .
【解答】解:
AO、BO分别是角平分线,
∴∠OAN=∠BAO,∠ABO=∠OBM,
∵MN∥BA,∴∠AON=∠BAO,∠MOB=∠ABO,
∴AN=ON,BM=OM,即△AON和△BOM为等腰三角形,
∵MN=MO+ON,AC+BC=24,
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24.
故答案为:
24.
16.(2013秋•沙坪坝区期中)如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD= 3 .
【解答】解:
∵∠BAC=100°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°,
∴∠ACB=∠B,
∴AC=AB=3,
∵∠D=30°,
∴∠DAC=∠ACB﹣∠D=30°,
∴∠DAC=∠D,
∴CD=AC=3.
故答案为:
3.
17.(2009秋•苏州期末)如图所示,在△ABC中,已知AB=AC,∠A=36°,BC=2,BD是△ABC的角平分线,则AD= 2 .
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠B=∠C=72°,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠CBD=36°,
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C,
∴BD=BC=AD=2.
故填2.
18.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,点D、E分别在边BC、AC上,且∠ADE=∠B,当BD的长为
或1 时,△ADE是等腰三角形.
【解答】解:
AB=AC=5,
∴∠B=∠C=∠ADE.
∵BD=1时,DC=AC=5,
∴∠DAC=∠ADC=∠ADE+∠EDC.
∵∠AED=∠EDC+∠C=∠EDC+∠ADE,
∴∠DAE=∠DEA,
DA=DE,
当BD的长为1时,△ADE是等腰三角形,
当AE=DE时,△ADE是等腰三角形,即∠1=∠ADE=∠B
又∠ACD=∠BCA,
∴△ADC∽△BAC,
∴
,
∴DC•BC=AC2,
∴DC=
,
∴BD=
;
综上所述:
当BD=
或1时,△ADE是等腰三角形,
故答案为:
或1.
19.(2010秋•建湖县校级期中)如图,D是△ABC中BC边上一点,AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是 3∠1﹣∠2=180° .
【解答】解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AB=BD,
∴∠BAD=∠1,
根据外角定理得∠1=∠2+∠C=∠2+∠B,
所以∠B=∠1﹣∠2,
△ABD中∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°,
∴∠1﹣∠2+2∠1=180°,
3∠1﹣∠2=180°.
故答案为:
3∠1﹣∠2=180°.
20.(2014春•沙坪坝区校级期末)如图,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,过C作CE∥AD,交BA延长线于点E,若BA=7.则BE= 14 .
【解答】解:
∵D为BC的中点,CE∥AD,
∴BD=DC,
=
,
∴BA=AE,
∵BA=7,
∴AE=7,
∴BE=7+7=14,
故答案为:
14.
三.解答题(共10小题)
21.(2016春•吉安期中)如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线.求证:
△DBC是等腰三角形.
【解答】证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠DBC=
∠ABC,∠DCB=
∠ACB,
∴∠DBC=∠DCB,
∴△DBC为等腰三角形.
22.(2016•丰台区一模)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠CBE.
求证:
AB=AC.
【解答】证明:
∵AD是BC边上的高线,BE⊥AC于点E,
∴∠ADB=∠BEC=90°,
∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°,
∵∠BAD=∠CBE,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC.
23.(2015秋•蓬江区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数.
【解答】证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
在△DBE和△CEF中
,
∴△DBE≌△CEF,
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)∵△DBE≌△CEF,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B=
(180°﹣40°)=70°
∴∠1+∠2=110°
∴∠3+∠2=110°
∴∠DEF=70°
24.(2015•株洲模拟)在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.
【解答】解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵DE∥AC,
∴∠CAD=∠ADE,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AE=DE,
∵AD⊥DB,
∴∠ADB=90°,
∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE=BE,
∵AB=5,
∴DE=BE=AE=
AB=2.5.
25.(2011•郑州校级三模)如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
【解答】
(1)证明:
在等腰直角三角形ABC中,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°.
又∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=45°.
又∵BF∥AC,
∴∠CBF=90°.
∴∠BFD=45°=∠BDE.
∴BF=DB.
又∵D为BC的中点,
∴CD=DB.
即BF=CD.
在△CBF和△ACD中,
,
∴△CBF≌△ACD(SAS).
∴∠BCF=∠CAD.
又∵∠BCF+∠GCA=90°,
∴∠CAD+∠GCA=90°.
即AD⊥CF.
(2)△ACF是等腰三角形,理由为:
连接AF,如图所示,
由
(1)知:
△CBF≌△ACD,∴CF=AD,
∵△DBF是等腰直角三角形,且BE是∠DBF的平分线,
∴BE垂直平分DF,
∴AF=AD,
∵CF=AD,
∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.
26.(2016春•蓝田县期末)如图,已知△ABC中,AB=AC,BC=6,AM平分∠BAC,D为AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=
BC.
(1)求ME的长;
(2)求证:
△DMC是等腰三角形.
【解答】
(1)解:
∵AB=AC,AM平分∠BAC,
∴BM=CM=
BC=CE=3,
∴ME=
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- 133 等腰三角形 性质 判断 答案
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