小学奥数教程之容斥原理.docx
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小学奥数教程之容斥原理.docx
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小学奥数教程之容斥原理
容斥原理
学生姓名
授课日期
教师姓名
授课时长
知识定位
容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念
2.利用图形分析解决容斥原理问题
知识梳理
授课批注:
本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一.容斥原理的概念
定义
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,
用式子可表示成:
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,
我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。
图示如右:
A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:
A∩B,即阴影面积。
用法:
包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行:
第一步:
分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步:
从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)
二.竞赛考点
1.容斥原理的基本概念
2.与数论相结合的综合型题目
例题精讲
【试题来源】
【题目】
在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。
问:
(1)三样都买的有几人?
(2)只买一样的有几人?
【答案】0,4
【解析】
(1)设三样都买的学生有a人,那么6+6+4-3-1-2+a=10,解得a=0,所以没有人三种东西都买了.
(2)去冷饮店的学生中除了买一样的外,只有买两样东西的,因为买两样东西的有3+1+2=6(人),所以买一样东西的学生有10-6=4(人).
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
问:
只有电子琴的有多少人?
【答案】8
【解析】46人中除去有电子琴的22人,剩下的24人不是两种琴都没有,就是只有小提琴,所以只有小提琴的人数为24-14=10人,所以两种琴都有的人数为10×3÷5=6人,所以只有电子琴的人数为14-6=8人.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】以105为分母的最简真分数共有多少个?
它们的和为多少?
【答案】4824
【解析】以105为分母的最简真分数的分子与105互质,105=3×5×7,所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个,3的倍数有35个,5的倍数有21个,7的倍数有15个,15的倍数有7个,21的倍数有5个,35的倍数有3个,105的倍数有1个,所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个,显然如果n与105互质,那么(105-n)与n互质,所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1,所以它们的和为24.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一次数学测验,甲答错题目总数的
,乙答错3道题,两人都答错的题目是题目总数的
。
求甲、乙都答对的题目数.
【答案】8
【解析】
(法一)设共有n道题。
由右图知d即为所求,并有关系式
由①③知,n是4和6的公倍数,即12的倍数。
将③代入②,有
,由于b是非负整数,所以n=12,由此求出c=2,b=1,a=1.又由a+b+c+d=n,得到d=n-(a+b+c)=8
(法二)显然两人都答错的题目不多于3道,所以题目总数只可能是6、12、18,其中只有12,能使甲答错题目总数是整数.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
某班有40名学生,其中有15人参加数学小组,18人参加航模小组,有10人两个小组都参加.那么有多少人两个小组都不参加?
【答案】17
【解析】至少参加一个小组的同学有15+18-10=23人,所以有40-23=17人两个小组都不参加。
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】某班45个学生参加期末考试,成绩公布后,数学得满分的有10人,数学及语文均得满分的有3人,这两科都没有得满分的有29人.那么语文成绩得满分的有多少人?
【答案】9
【解析】数学、语文至少有一门得满分的学生有45-29=16人.所以语文成绩得满分的有16-10+3=9人.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】有一根长为180厘米的绳子,从一端开始每隔3厘米作一记号,每隔4厘米也作一记号,然后将标有记号的地方剪断.问绳子共被剪成了多少段?
【答案】90
【解析】只需先计算剪了多少刀,再加上1即为剪成的段数.
从一端开始,将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号,并将距离长度作为编号.
有1~180,3的倍数有
=60个,4的倍数有
=45个,而既是3的倍数,又是4的倍数的数一定是12的倍数,所以这样的数有
=15个.
注意到180厘米处的无法标上记号,所以剪了(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,所以绳子被剪成89+1=90段.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50依次报数;再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:
现在面向老师的同学还有多少名?
【答案】38
【解析】在转过两次后,面向老师的同学分成两类:
第一类是标号既不是4的倍数,又不是6的倍数;第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数.
1~50之间,4的倍数有
=12,6的倍数有
=8,即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数,所以有
=4.
于是,第一类同学有50-12-8+4=34人,第二类同学有4人,所以现在共有34+4=38名同学面向老师.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在游艺会上,有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券.按奖券标签号发放奖品的规则如下:
(1)标签号为2的倍数,奖2支铅笔;
(2)标签号为3的倍数,奖3支铅笔;
(3)标签号既是2的倍数,又是3的倍数可重复领奖;
(4)其他标签号均奖1支铅笔.
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
【答案】232
【解析】1~100,2的倍数有
=50,3的倍数有
=33个,因为既是2的倍数,又是3的倍数的数一定是6的倍数,所以标签为这样的数有
=16个.于是,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数在1~100中有100-50-33+16=33.所以,游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有:
50×2+33×3+33×1=232支.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】有若干卡片,每张卡片上写着一个数,它是3的倍数或4的倍数,其中标有3的倍数的卡片占
,标有4的倍数的卡片占
,标有12的倍数的卡片有15张.那么,这些卡片一共有多少张?
【答案】36
【解析】设这些卡片的总数为“1”,而标有12的倍数的卡片既属于3的倍数又属于4的倍数.
所以有
,解得“1”对应36张.
即这些卡片一共有36张.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】东河小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的.现知道五、六年级共有25幅画,那么其他年级的画共有多少幅?
【答案】3
【解析】将东河小学分成3个部分,六年级、五年级、其他年级,那么有五年级和其他年级共作画16幅,六年级和其他年级共作画15幅.而五、六年级共作画25幅,所以其他年级的画共有(16+15-25)÷2=3幅.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?
【答案】686
【解析】l~1000之间,5的倍数有
=200个,7的倍数有
=142个,因为既是5的倍数,又是7的倍数的数一定是35的倍数,所以这样的数有
=28个.
所以既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.
【答案】62
【解析】
设参加自然兴趣小组的人组成集合A,参加美术兴趣小组的人组成集合日,参加语文兴趣小组的人组成集合C.
=25,
=35,
=27,
=12,
=8,
=9,
=4.
=
.
所以,这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62,而这个班每人至少参加一项.即这个班有62人.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图,已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30,甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6,8,5,而3个圆覆盖的总面积为73.求阴影部分的面积.
【答案】58
【解析】
设甲圆组成集合A,乙圆组成集合B,丙圆组成集合C.
=30,
=6,
=8,
=5,
=73,
而
=
.
有73=30×3-6-8-5+
,即
=2,即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2.那么只是甲与乙(④),乙与丙(⑥),甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4,8-2=6,5-2=3,所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数..
【答案】21
【解析】设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集合G.三者都参加的学生有z人.
有
=46,
=24,
=20,
=3.5,
=7
,
=2
,
=10.
因为
,所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,即三者的都参加的有3人.那么参加文艺小组的有3
7=21人.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】图书室有100本书,借阅图书者需在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33,44和55本,其中同时有甲、乙签名的图书为29本,同时有甲、丙签名的图书为25本,同时有乙、丙签名的图书为36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?
【答案】33
【解析】
设甲借过的书组成集合A,乙借过的书组成集合B,丙借过的书组成集合C.
=33,
=44,
=55,
=29,
=25,
=36.
本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值,再将其与100作差即可.
当
最大时,
有最大值.
也就是说当三人都借过的书最多时,甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多.
而
最大不超过
、
、
、
、
、
6个数中的最小值,所以
最大为25.
此时
=33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借过的书最多为67本,所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过.
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图,5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有1994个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?
【答案】9960
【解析】
如下图,下图中“
”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应的线段都在“
”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时显现的红色点最少,有1994×5-(2-1)×10=9960个.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆,乙浇了68盆,丙浇了58盆,那么3人都浇过的花最少有多少盆?
【答案】4
【解析】只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都浇过的最少为:
78+68-100=46盆,此时甲单独浇过的为78-46=32盆,乙单独浇过的为68-46=22盆;
欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时,应将丙浇过的花尽量分散在两端。
于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】甲、乙、丙都在读同-一本故事书,书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读.已知甲读了7.5个故事,乙读了60个故事,丙读了52个故事.那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?
【答案】12
【解析】
只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都读过的最少为:
75+60-100=35个,此时甲单独读过的为75-35=40个,乙单独读过的为60-35=25个;欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时,应将丙读过的书尽量分散在某端,于是三者都读过书最少为52-40=12个.
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】有黑白两种棋子共300枚,按每堆3枚分成100堆.其中只有1枚白子的共27堆;有2枚或3枚黑子的共42堆;有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等.那么在全部棋子中,白子共有多少枚?
【答案】158
【解析】按每堆所含白子的枚数分类讨论.
只有1枚白子共27堆;
有2枚或3枚黑子的共42堆,即有1枚或0枚白子的共42堆;于是有0枚白子的有42-27=15(堆);因为“有3枚白子的与有3枚黑子(即有0枚白子)的堆数相等”,故有3枚白子的堆数也是15堆;最后,因为总堆数是100,所以有2枚白子的堆数是:
100-(15+27+15)=43。
所以,在全部棋子中,白子共有:
0×15+1×27+2×43+3×15=158(枚)。
【知识点】容斥原理
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
习题演练
【试题来源】
【题目】二年级一班共42名同学,其中少先队员33人。
这个班男生20人,女生中有4人不是少先队员,男生中有多少人是少先队员?
【答案】15
【解析】15
【知识点】容斥原理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份。
如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
【答案】30
【解析】30
【知识点】容斥原理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】某班有42人,其中26人爱打篮球,17人爱打排球,19人爱踢足球,9人既爱打篮球又爱踢足球,4人既爱打排球又爱踢足球。
没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好。
问:
既爱打篮球又爱打排球的有几人?
【答案】7
【解析】7
【知识点】容斥原理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】有三个面积各为30厘米2的圆,两两重叠的面积分别为5平方厘米、6平方厘米、8平方厘米,三个圆共同重叠的面积为3平方厘米。
三个圆共盖住多大面积?
【答案】74平方厘米
【解析】74平方厘米
【知识点】容斥原理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】某班共有学生48人,其中27人会游泳,33人会骑自行车,40人会打乒乓球。
那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?
【答案】4
【解析】4
【知识点】容斥原理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
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