新高考数学一轮复习第七章立体几何74直线平面平行的判定及其性质课时提升作业理.docx
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新高考数学一轮复习第七章立体几何74直线平面平行的判定及其性质课时提升作业理.docx
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新高考数学一轮复习第七章立体几何74直线平面平行的判定及其性质课时提升作业理
新高考数学一轮复习第七章立体几何7-4直线平面平行的判定及其性质课时提升作业理
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设α,β,γ为平面,a,b为直线,给出下列条件:
①a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;
②α∥γ,β∥γ;
③α⊥γ,β⊥γ;
④a⊥α,b⊥β,a∥b.
其中能推出α∥β的条件是 ( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【解析】选C.①中条件得到的两个平面α,β,也可能相交,故①不正确;②由α∥γ,β∥γ⇒α∥β,故②正确;③中α⊥γ,β⊥γ,可得α与β相交或平行,故③不正确;④a⊥α,b⊥β,a∥b,得a⊥β,所以α∥β,故④正确.
2.下面四个正方体图形中,点A,B为正方体的两个顶点,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是 ( )
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
【解析】选A.由线面平行的判定定理知①②可得出AB∥平面MNP.
3.(2016·衡阳模拟)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面.则下列四个命题中,正确的是 ( )
A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
【解析】选D.对于选项A,当a,b与α均成0°角时,a,b就不一定平行;对于选项B,只需找个平面γ,使γ∥α∥β,且a⊂γ,b⊂γ即可满足题设,但a,b不一定平行;对于选项C,可参考直三棱柱模型排除.故选D.
【加固训练】(2016·厦门模拟)已知α,β是两个不同的平面,下列四个条件中能推出α∥β的是 ( )
①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;
②存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β;
③存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α;
④存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
【解析】选C.对①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β⇒α∥β,故①正确,排除B,D,对于③,存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,如图所示,不能推出α∥β,故排除A.
4.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,有下列四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;
③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α∥β.
其中,正确命题的序号是 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】选C.直线l⊥平面α,α∥β⇒l⊥β⇒l⊥m,①正确;l与m可能平行、异面、相交,故②错;直线l⊥平面α,l∥m⇒m⊥α,又直线m⊂平面β,故α⊥β,③正确;α与β平行或相交,故④错.
5.(2016·宿州模拟)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E∈PC,F∈PB,=3,=λ,若AF∥平面BDE,则λ的值为( )
A.1B.3C.2D.4
【解析】选C.因为AF∥平面BDE,所以过点A作AH∥平面BDE,交PC于点H,
连接FH,则得到平面AFH∥平面BDE,所以FH∥BE,
OE∥AH,
因为E∈PC,F∈PB,=3,
=λ,所以==1,
所以EC=EH,又因为PE=3EC,所以PH=2HE,
又因为==2,所以λ=2.
【加固训练】1.(2016·南昌模拟)已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确命题的个数是 ( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选C.若m⊥n,m⊥α,则直线n与平面α平行或在平面α内,所以①错误;若m⊥α,n⊥β,m∥n,则n⊥α,垂直于同一直线的两平面平行,所以α∥β,所以②正确;若m,n是两条异面直线,过空间内一点O作m′∥m,n′∥n,则m′,
n′确定一个平面γ,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥γ,β∥γ,所以α∥β,则③正确;由线面垂直的判定定理可知④正确.
2.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又点H,G分别为BC,CD的中点,则 ( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形
【解题提示】先由条件得EFBD,再证得EF∥平面BCD,进而判断EFGH的形状.
【解析】选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFBD,所以EF∥平面BCD.又因为点H,G分别为BC,CD的中点,所以HGBD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·开封模拟)已知平面α∥平面β,点P是α,β外一点,过P点的两条直线AC,BD分别交α于点A,B,交β于点C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为 .
【解析】若点P在α,β的同侧,由于平面α∥平面β,故AB∥CD,
则==,可求得CD=20.
若点P在α,β之间,则==,可求得CD=4.
答案:
20或4
7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,点M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,点P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过点P,M,N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ= .
【解析】如图,连接AC,易知MN∥平面ABCD,所以MN∥PQ.因为MN∥AC,所以PQ∥AC.又因为AP=,所以===,
所以PQ=AC=·a=a.
答案:
a
8.设α,β,γ是三个不同平面,a,b是两条不同直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且 ,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是 (把所有正确的序号都填上).
【解题提示】逐个命题进行验证,从中作出判断.
【解析】①a∥γ,b⊂β,可以,由a∥γ得a与γ没有公共点,由b⊂β,α∩β=a,b⊂γ知,a,b在面β内,且没有公共点,故平行.
②a∥γ,b∥β,不可以.举出反例如下:
使β∥γ,b⊂γ,a⊂β,则此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b.这些条件无法确定两直线的位置关系.
③b∥β,a⊂γ,可以,由b∥β,α∩β=a知,a,b无公共点,再由a⊂γ,b⊂γ,可得两直线平行.
答案:
①③
(15分钟 30分)
1.(5分)(2015·太原模拟)已知点E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1上的点,且AE=AB,AF=AA1,点M,N分别为线段D1E和线段C1F上的点,则与平面ABCD平行的直线MN有 ( )
A.1条B.3条
C.6条D.无数条
【解析】选D.取BH=BB1,连接FH,则FH∥AB,
连接HE,在D1E上任取一点M,
过点M在平面D1HE中,作MG∥HO,交D1H于点G,
其中点O满足线段OE=D1E,
再过点G作GN∥FH,交C1F于点N,连接MN,
由于GM∥HO,HO∥KB,KB⊂平面ABCD,
GM⊄平面ABCD,
所以GM∥平面ABCD,
同理由NG∥FH,可推得NG∥平面ABCD,
由面面平行的判定定理得,平面MNG∥平面ABCD,
则MN∥平面ABCD,
由于M为D1E上任意一点,故这样的直线MN有无数条.
【加固训练】(2015·福州模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:
①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥平面SAC;④EP∥平面SBD中恒成立的为 ( )
A.②④ B.③④ C.①② D.①③
【解析】选A.如图所示,连接AC,BD相交于点O,连接EM,EN,SO,在①中:
由异面直线的定义可知:
EP与BD是异面直线,不可能EP∥BD,因此不正确.
在②中:
由正四棱锥S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,
所以SO⊥AC,
因为SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,
因为点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,
所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,
BD∩SD=D,
所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP,故正确.
在③中:
由②同理可得:
EM⊥平面SAC,
若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,即不正确.
在④中:
由②可知平面EMN∥平面SBD,
所以EP∥平面SBD,因此正确.
2.(5分)如图所示,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设点D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD,则A1D∶DC1的值为 .
【解析】设BC1∩B1C=O,连接OD,因为A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,所以A1B∥OD,
因为四边形BCC1B1是菱形,所以点O为BC1的中点,所以点D为A1C1的中点,则A1D∶DC1=1.
答案:
1
3.(5分)(2016·长沙模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=,过B1,D1,P的平面交底面ABCD于PQ,点Q在直线CD上,则PQ= .
【解析】如图,因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥PQ,
又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,
设PQ∩AB=M,因为AB∥CD,
所以△APM∽△DPQ,
所以==2,即PQ=2PM,
又知△APM∽△ADB,
所以==,所以PM=DB,
又DB=a,所以PQ=a.
答案:
a
4.(15分)(2016·洛阳模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,==2.
(1)求证:
平面MNO∥平面PAD.
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,∠PDA=∠BCD=60°,且PD=DC=BC=2,求几何体M-ABC的体积.
【解析】
(1)在梯形ABCD中,
因为AD∥BC,所以==2.
又因为=2,所以ON∥BC∥AD.
因为AD⊂平面PAD,ON⊄平面PAD,
所以ON∥平面PAD,
在△PAC中,==2,
所以OM∥AP,
因为AP⊂平面PAD,OM⊄平面PAD,
所以OM∥平面PAD,
因为OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,且OM∩ON=O,
所以平面MNO∥平面PAD.
(2)在△PAD中,PA2=PD2+AD2-2PD·AD·cos∠PDA=22+12-2×2×1×cos60°=3,
所以PA2+AD2=PD2,即PA⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,
所以PA⊥平面ABCD,
又由
(1)知OM∥AP,所以OM⊥平面ABCD,
且OM=AP=,
在梯形ABCD中,DC=BC=2AD=2,∠BCD=60°,
∠BAD=90°,所以AB=,
所以△ABC的面积S=AB·BC=,
所以几何体M-ABC的体积V=S·OM=.
【加固训练】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E在线段B1C1上,B1E=3EC1,试探究:
在AC上是否存在点F,满足EF∥平面A1ABB1?
若存在,请指出点F的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.
【解析】方法一:
当AF=3FC时,FE∥平面A1ABB1.
证明如下:
在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G,连接AG.
因为B1E=3EC1,
所以EG=A1C1,
又因为AF∥A1C1,且AF=A1C1,
所以AFEG,
所以四边形AFEG为平行四边形,
所以EF∥AG,
又因为EF⊄平面A1ABB1,
AG⊂平面A1ABB1,
所以EF∥平面A1ABB1.
方法二:
当AF=3FC时,EF∥平面A1ABB1.
证明如下:
在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G,
因为EG∥BB1,EG⊄平面A1ABB1,BB1⊂平面A1ABB1,
所以EG∥平面A1ABB1,
因为B1E=3EC1,所以BG=3GC,
所以FG∥AB.
又因为AB⊂平面A1ABB1,FG⊄平面A1ABB1,所以FG∥平面A1ABB1,
又因为EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,
EG∩FG=G,
所以平面EFG∥平面A1ABB1,
因为EF⊂平面EFG,
所以EF∥平面A1ABB1.
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- 新高 数学 一轮 复习 第七 立体几何 74 直线 平面 平行 判定 及其 性质 课时 提升 作业