全等三角形辅助线专题.docx

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全等三角形辅助线专题

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八年级数学上册辅助线专题

教学目标：

掌握各种类型的全等三角形的证明方法

教学重点：

构造全等三角形ZoQ0KC;tE^B

1`z小学教案课件网Www.Jkedu.Net

教学难点：

如何巧妙作辅助线

知识点：

（1）截长补短型

（二）中点线段倍长问题

（三）蝴蝶形图案解决定值问题

（四）角平分线与轴对称

（五）等腰直角三角形，等边三角形

（六）双重直图案与全等三角形

典型例题讲练

重点例题：

一、截长补短型

如图,RT△CDA≌RT△CDB,

①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿

②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式为：

＿＿＿＿＿＿

③、由①②猜想：

在上述条件下，当∠ACD与∠MDN满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。

二、中点线段倍长问题

A

B

C

D

E

F

如图△ABC中，点D是BC边中点，过点D作直线交AB、CA延长线于点E、F。

当AE=AF时，求证BE=CF。

三、蝴蝶形图案解决定值问题

1、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB,D是斜边AB的中点，E是DA上一点，过点B作BH⊥CE于点H，交CD于点F。

（1）

求证：

DE=DF.

（2）若E是线段BA的延长线上一点，其它条件不变，DE=DF成立吗？

画图说明。

2在△ABC中，AB=AC,AD和CE是高，它们所在的直线相交于H。

（1）如图1,若∠BAC=45°，求证：

AH=2BD.

（2）如图2，若∠BAC=135°，

（1）中的结论是否依然成立？

请你在图2中画出图形并加以证明。

3，如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D.求证BE=2CD.

（2）

C

D

B

A

E

D

B

A

E

C

连接AD，求证：

∠ADB=45°.

四、角平分线与轴对称

1、

（1）如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD平分∠ACB，点E为AB上一点，且CE=BE，PE⊥AB交CD的延长线于P，求∠PAC+∠PBC的度数。

（2）如图②，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°,CD平分∠ACB,点E为AB上一点，且CE=BE,PE⊥AB交CD的延长线于P。

（1）中结论是否成立，说明理由。

五、等腰直角三角形，等边三角形

x

A

D

E

P

O

y

②

x

y

F

G

H

O

③

A

B

C

O

y

x

①

1、如图①OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC。

（1）求C点的坐标。

（2）如图②，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，若以P点为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D点作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值。

（3）如图③，已知点F坐标为（-4，-4），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（o,m）,FH与x轴正半轴交于点H（n,o），当G点在y轴负半轴沿负方向运动时，求m+n的值。

七、双重直图案与全等三角形

1、Rt△ABC中，AB=AC,M为BC边上一点，连接AM，过B点作BN⊥AM交AC于E点，交AM于D点，在AC上截取CF=AE,连接MF并延长交BN于N点。

A

B

C

D

E

F

M

N

求证：

∠AMB=∠CMF.

本次巩固题型

1、数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

，且EF交正方形外角

的平分线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

，所以

．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A

D

F

C

G

E

B

图1

A

D

F

C

G

E

B

图2

A

D

F

C

G

E

B

图3

2、已知

中，

为

边的中点，

绕

点旋转，它的两边分别交

、

（或它们的延长线）于

、

当

绕

点旋转到

于

时（如图1），易证

当

绕

点旋转到

不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，

、

、

又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

A

E

C

F

B

D

图1

图3

A

D

F

E

C

B

A

D

B

C

E

图2

F

3．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，

在同一条直线上，连结

．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

．

4、在等边

的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为

外一点，且

BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及

的周长Q与等边

的周长L的关系．

图1图2图3

（

）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时

；

（

）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM

DN时，猜想（

）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（

）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=

，则Q=（用

、L表示）．

5、已知四边形

中，

，

，

，

，

，

绕

点旋转，它的两边分别交

（或它们的延长线）于

．

当

绕

点旋转到

时（如图1），易证

．

当

绕

点旋转到

时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段

，

又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

（图1）

（图2）

（图3）

6、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（第23题图）

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

A

C

E

F

B

D

图①

图②

图③

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

信息反馈：

家长签字：