五年级上册多边形的面积.docx

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五年级上册多边形的面积

第五章多边形的面积

【知识梳理】

1.平行四边形的面积

平行四边形的面积=底×高

用字母表示：

s=ah

变形式：

平行四边形的底=面积÷高（a=s÷h）

平行四边形的高=面积÷底（h=s÷a）

要点提示：

求平行四边形的面积时，底和高要对应。

2.三角形的面积

三角形的面积=底×高÷2

用字母表示：

s=ah÷2

变形式：

三角形的底=面积×2÷高（a=2s÷h）

三角形的高=面积×2÷底（h=2s÷a）

要点提示：

①等底等高的三角形的面积相等。

②等底等高的平行四边形和三角形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

3.梯形的面积

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

用字母表示：

s=（a+b）h÷2

变形式：

梯形的高=面积×2÷（上底+下底）字母表示为：

h=2s÷（a+b）

梯形的上底=面积×2÷高-下底字母表示为：

a=2s÷h-b

梯形的下底=面积×2÷高-上底字母表示为：

b=2s÷h-a

要点提示：

已知梯形的面积，求梯形的高或其中一个底，也可以用方程法解决。

4.组合图形的面积

把求组合图形的面积转化成求几个简单图形的面积的和或差。

要点提示：

求组合图形的面积时，一定要分清是由哪些基本图形组合而成的，再利用割补、

剔除等方法求面积。

5.估计不规则图形的面积

方法一：

借助方格纸用数方格的方法进行估计。

方法二：

根据图形的特点转化为近似的规则图形来估计。

要点提示：

数方格时，先确定图形的面积范围，再估计它的面积。

【诊断自测】

1.填空题。

（1）3.8dm2=（）cm20.03公顷=（）平方米

（2）一个三角形的底是3.6米，高是2.5米，它的面积是（）平方米，和它等底等高

的平行四边形的面积是（）平方米。

（3）一个平行四边形的高是12厘米，面积是96平方厘米，它的底是（）厘米。

（4）一个梯形的上底与下底的和是200cm，高是50cm，面积是（）m2。

2.选择。

（1）一个三角形的底不变，高扩大到原来的3倍，则它的面积（）。

A.扩大到原来的3倍B.缩小到原来的

C.不变

（2）如图，甲三角形的面积是15cm2，则乙三角形的面积是（）cm2。

A.27B.54C.45甲乙

（3）下面平行线间的三个图形的面积相比，（）。

5cm9cm

4

1268

A.三角形的面积最大B.梯形的面积最大C.一样大

3.判断题。

（1）三角形的底越长，面积就越大。

（）

（2）周长相等的两个平行四边形的面积相等。

（）

（3）两个完全相同的梯形能拼成一个平行四边形。

（）

4.求下列图形的面积。

（单位：

厘米）

（1）

3

43

5

3

（2）

3

7

7

5.李奶奶在自家墙外用篱笆围了一个梯形的花园，如图所示。

花园一边靠墙，篱笆全长15.5

米，这个花园的面积是多少平方米？

3.5m

6.一个三角形的面积是75平方厘米，高是7.5厘米，它的底是多少厘米？

【考点突破】

类型一：

平行四边形、三角形、梯形的面积。

17

例1.求平行四边形的面积。

（单位：

cm）AD

13.5

B18C

答案：

s=ah

=18×13.5

=243（cm2）

答：

平行四边形的面积的面积是243平方厘米。

解析：

底边BC边上的高长13.5厘米，底边CD边上的高长17厘米，计算平行四边形的面

积时，底和高一定要相对应，所以应选择18×13.5。

例2.在一块底是90米，高是60米的平行四边形地里种向日葵，如果平均每棵向日葵占地

0.25平方米，那么这块地一共可以种多少棵向日葵？

答案：

90×60=5400（平方米）

5400÷0.25=21600（棵）

答：

这块地一共可以种21600棵向日葵。

解析：

先根据s=ah求出平行四边形的面积，再根据“总面积÷一棵的占地面积=棵数”

求出种向日葵的棵数。

例3.选择。

平行四边形的底扩大到原来的2倍，高缩小到原来的

，面积（）。

A.扩大到原来的2倍B.缩小到原来的

C.扩大到原来的4倍D.不变

答案：

D

解析：

平行四边形的面积=底×高，

（底×2）×（高×

）=底×高×2×

=底×高，面积不变。

故选D。

例4.一块三角形绿地的面积是13.5平方米，底是6米，高是多少米？

答案：

由s=ah÷2推导出h=2s÷a。

h=2s÷a

=2×13.5÷6

=27÷6

=4.5（m）

答：

高是4.5米。

解析：

可以先根据三角形的面积计算公式s=ah÷2推导出h=2s÷a，再计算。

例5.判断。

（1）三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

（）

（2）三角形的底是7厘米，高是2厘米，面积是14平方厘米。

（）

答案：

（1）×

（2）×

解析：

（1）此题错在没有强调三角形的底和高与平行四边形的底和高分别相等这一条件。

所以应改为“三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

”

（2）此题错在三角形的面积计算公式运用错误，忘记除以2了。

所以应改为“面积是7平方厘米。

”

例6.下图中阴影部分的面积是10平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

AD

B4cm8cmC

答案：

10×2÷4=5（cm）

（4+8）×5=60（cm2）

解析：

图中阴影部分是一个三角形，已知它的面积和底。

根据h=2s÷a可求出它的高，

这个三角形的高也就是平行四边形的高。

再根据平行四边形的面积计算公式，求

出平行四边形的面积。

例7.如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？

4cm

8cm

答案：

方法一：

剔除法。

8×8+4×4=80（cm2）

8×8÷2+（8+4）×4÷2=56（cm2）

80-56=24（cm2）

答：

阴影部分的面积是24平方厘米。

解析：

先求出两个正方形的面积和，再从中减去空白部分（两个三角形）的面积即为阴

影部分的面积。

方法二：

分割法。

4×4÷2=8（cm2）

（8-4）×8÷2=16（cm2）

8+16=24（cm2）

答：

阴影部分的面积是24平方厘米。

解析：

将阴影部分分割成两个已知底和高的三角形，如图，先分别求出两个三角形的面

积，再求出整个阴影部分的面积。

例8.求图中阴影部分的面积。

4cm4cm

28cm2

8cm

答案：

28÷4=7（cm）

（4+8）×7÷2=42（cm2）

答：

阴影部分的面积是42平方厘米。

解析：

先根据“平行四边形的高=面积÷底”，求出平行四边形的高，也就是梯形的高；

再根据梯形的面积计算公式求出梯形面积，也就是阴影部分的面积。

例9.如图所示，梯形的面积是90平方厘米，上底是10厘米，下底是20厘米，求阴影部

分的面积。

答案：

90×2÷（10+20）=6（厘米）

10×6÷2=30（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是30平方厘米。

解析：

先根据“梯形的高=面积×2÷（上底+下底）”，求出梯形的高；梯形的高也就是

图中两个三角形的高，再根据三角形的面积计算公式求出阴影三角形的面积。

例10.如图所示，一个梯形上底是4厘米，下底是9厘米。

①在梯形中画出一条线段，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。

②已知分成的平行四边形面积是24厘米2，分成的三角形面积是多少平方厘米？

4cm

9cm

答案：

①如右图所示。

②24÷4=6（cm）

（9-4）×6÷2=15（cm2）

答：

分成的三角形的面积是15平方厘米。

解析：

先根据“平行四边形的高=面积÷底”，求出平行四边形的高，也就梯形的高或

分成的三角形的高；再根据三角形的面积计算公式求出分成的三角形的面积。

类型二：

组合图形的面积。

2

例11.一块铁板的形状如下图。

在这块铁板的一面涂上油漆，涂油漆的面积是多少？

（单位：

分米）

4

10

2

8

答案：

2

8×（2+4+2）=64（平方分米）

4

（4+2+4+2）×（10-8）÷2=12（平方分米）

4

64+12=76（平方分米）10

答：

涂油漆的面积是76平方分米。

2

解析：

将这个图形分成一个长方形和一个梯形。

8

【易错精选】

1.判断。

（1）3cm4cm,这个平行四边形的面积是5×4=20（cm2）。

（）

5cm

（2）面积相等的两个三角形一定等底等高。

（）

2.选择。

对“拉动一个长方形木框的一角，木框就变成了平行四边形”这一现象的描述，

说法不正确的是（）

A.长方形的周长和平行四边形的周长相等。

B.长方形的面积和平行四边形的面积相等。

C.长方形的面积大于平行四边形的面积。

3.填空。

三角形的底扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的（）倍。

4.一个直角三角形的三边长分别为3厘米、4厘米和5厘米，求这个直角三角形的面积。

5cm

3cm

4cm

5.下图是一个平行四边形，一条边上的高是5厘米，它的面积是多少平方厘米？

4cm

6cm

【精华提炼】

1.计算平行四边形的面积时，底和高一定要相对应。

2.平行四边形的面积与它的底和高有关，底扩大到原来的n倍（n≠0）,高缩小到原来的

，

面积不变。

3.等底等高的三角形的面积相等。

3.已知三角形的面积和高（或底）求底（或高），底（或高）=三角形的面积×2÷高（或底）。

4.平行四边形的面积等于与它等底等高的三角形面积的2倍。

5.两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

两个完全相同的梯形能拼成一个平行四边形。

【本节训练】

训练【1】

1.将一个底边BC长16厘米的直角三角形ABC向右平移6厘米，再向下平移1.5厘米，

得到一个图形（如下图），求阴影部分的面积。

A

BC

训练【2】

2.如图所示，求平行四边形ABCD的周长是多少？

（单位：

cm）

AD

1.51.21.6

BC

训练【3】

3.下列4个平行四边形完全相同，图形中的阴影部分相比较，（）。

A.甲的阴影部分面积大B.乙的阴影部分面积大

C.丙的阴影部分面积大D.丁的阴影部分面积大

E.甲、乙、丙、丁的阴影部分面积同样大

甲乙丙丁

训练【4】

4.

如图，在一块长方形的草坪中间有两条宽为2米的路，一条是平行四边形，一条是长方形，

草坪长16米，宽10米，求草坪的面积。

基础巩固

1、填空。

1.1200cm2=（）m20.3m2=（）dm2

2.一个三角形的底是8米，高是3.4米，它的面积是（）米2。

3.一个平行四边形的面积是3.8cm2,与它等底等高的三角形的面积是（）cm2。

4.一个直角梯形的上底、下底和直角腰的和是25m，直角腰是5m，面积是（）m2。

5.

一个梯形的面积是645cm2,如果它的上底增加10cm，下底减少10cm，那么它的面积是（）cm2.。

6.右图中直角三角形斜边上的高是（）厘米。

4cm5cm

3cm

二、选择。

1.把一个平行四边形的木框架拉成长方形，（）。

A.面积不变，周长不变。

B.面积变小，周长变大。

C.面积变小，周长不变。

D.面积变大，周长不变。

2.右图中，平行四边形的面积是24平方厘米，则阴影部分的面积是（）。

A.24B.12C.48D.6

3.下图中，与涂色的三角形面积相等的三角形有（）个。

A.1B.2C.3D.4

4.

比较图中阴影部分面积的大小，（）。

A.甲=乙B.甲>乙甲乙

C.甲<乙D.无法比较

3、判断。

1.一个三角形的面积是3.5平方厘米，高是0.35厘米，它的底是10厘米。

（）

2.两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形。

（）

3.任意一个平行四边形都可以分成两个大小和形状都相同的梯形。

（）

4、操作题。

下面的方格图中，每个小正方形的边长都代表1cm，请你画出两个形状不同但面积都是

12cm2的三角形。

5、计算下图中阴影部分的面积。

1.5m

3m

2.（单位：

厘米）

6

84

3.如图，E、F分别是平行四边形ABCD上、下两边的中点，连接CE、AF。

如果平行四

边形ABCD的面积是58平方分米。

求平行四边形AFCE的面积。

AED

BFC

4.右图有一个正方形和一个长方形。

已知条件如图所示（图中单位：

厘米），求涂色梯形的面积。

1.5

1.21

6、解决问题。

1.如图所示是一块麦田（图中实线围成的部分）。

它的面积大约是多少平方米？

21.6m

45m

2.

如图，一块长方形绿地中有一条弯曲的小路，准备在小路的两侧铺上草坪。

计算草坪的面积是多少平方米？

（图中单位：

米）2

8

30

3.有一段底长130米、宽5米的平行四边形的公路，穿过一块长133米、宽50米的长方形

麦田。

如下图所示（图中单位：

米）。

剩余部分的麦田的面积是多少平方米？

50130

513120

4.一个平行四边形，底增加4厘米后，面积增加40平方厘米；高增加1厘米后，面积增加15平方厘米，求原平行四边形的面积是多少平方厘米？

5.一堆木头整齐地堆放在地上，最下面一层有15根，最上面一层有8根，已知每相邻的两层中下面的一层都比上面的一层多一根。

这堆木头一共有多少根？

100

80

60

40

20

0

巅峰突破

1.如下图AD=7cm，BC=13cm，右边三角形和左边梯形的面积相等，求三角形的底BE是多少？

AD

BEC

2.右图是由两个正方形拼成的图形，其中小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

GF

AD

H

BCE

3.如图，把一个组合图形分成三块，分别用A、B、C代表，求A块比B块大多少平方米？

（单位：

厘米）

B

C50

A

5030

4.如图，已知在梯形中，a，b的面积分别为4厘米和8厘米，则梯形的面积是多少平方

厘米？

d

b

ac

5.一个凸六边形ABCDEF，P、Q、M、N分别为AB、BC、DE和EF边上的中点。

已知阴影部

分的面积是100平方厘米，那么六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

N

AF

P

E

M

Q

B

CD

参考答案

【诊断自测】

1.

（1）380300

（2）4.59（3）8（4）0.5

2.

（1）A

（2）A（3）C

3.

（1）×

（2）×（3）√

4.

（1）5×3+4×3÷2

（2）（3+7）×（7-3）÷2+7×3

=15+6=10×4÷2+21

=21（cm2）=20+21

答：

它的面积是21cm2。

=41（cm2）

答：

它的面积是41cm2。

5.（15.5-3.5）×3.5÷2

=12×3.5÷2

=21（平方米）

答：

这个花园的面积是21平方米。

6.75×2÷7.5=20（厘米）

答：

它的底是20厘米。

【易错精选】

1.

（1）答案：

×

解析：

平行四边形的面积=底×高，不能用两条邻边相乘。

应改为“5×3=15（cm2）”。

（2）答案：

×

解析：

等底等高的三角形面积一定相等，但面积相等的三角形不一定等底等高。

2.答案：

B

解析：

“拉动一个长方形木框的一角，木框就变成了平行四边形”，平行四边形相邻两边也

就长方形的长和宽，所以周长没有发生变化；长方形变成平行四边形后，高小于长

方形的宽（如右图所示），根据长方形的面积公式和平行四边形的面积公式可知，

面积比原来小了。

故选B。

宽高

3.答案：

6

解析：

原来三角形的面积=底×高÷2，

新三角形的面积=（底×2）×（高×3）÷2=6×底×高÷2。

故面积扩大到原来的

6倍。

4.答案：

3×4÷2=6（平方厘米）

答：

这个直角三角形的面积是6平方厘米。

解析：

直角三角形两条直角边互相垂直，所以若把一条直角边做底，另一条直角边就是这

个底边上的高，所以直角三角形的面积=一条直角边的长×另一条直角边的长÷2。

直角三角形中较短的两边为直角边。

所以取3和4的乘积再除以2。

5.答案：

4×5=20（平方厘米）

答：

这个直角三角形的面积是20平方厘米。

解析：

首先确定5厘米的高是哪一条边上的高，根据直角三角形中斜边大于直角边，所以

5厘米的高不可能是6厘米这条边的高。

所以4厘米的底边上的高是5厘米，所以

这个平行四边形的面积为4×5=20（平方厘米）。

【本节训练】

训练【1】

1.答案：

s=（a+b）h÷2

=（16-6+16）×1.5÷2①②

=26×1.5÷2③

=19.5（平方厘米）

答：

阴影部分的面积是19.5平方厘米。

解析：

根据题意可知①的面积+②的面积=③的面积+②的面积，阴影部分的面积等于图

中白色梯形的面积，所以可根据题中提供的数据计算白色梯形的面积。

白色梯形

的上底等于BC的长减去向右移动的6厘米，下底是BC的长，高是向下移动的

1.5厘米。

训练【2】

2.答案：

1.5×1.6=2.4（厘米2）

2.4÷1.2=2（厘米）

（1.5+2）×2=7（厘米）

答：

平行四边形ABCD的周长是7厘米。

解析：

平行四边形的周长是相邻两边长度和的2倍，已知一条边长1.5厘米，所以要先求

出与1.5厘米相邻的一边的长。

先根据题目中的数据求出平行四边形的面积，即

1.5×1.6=2.4（平方厘米）；再根据“平行四边形的底=面积÷高”求出与1.5厘米

相邻的一边的长，即2.4÷1.2=2（厘米）；最后求出平行四边形的周长，即（1.5+2）

×2=7（厘米）。

训练【3】

3.答案：

E

解析：

4个平行四边形的面积相等，阴影部分各占每个平行四边形的一半，所以四个图中

阴影部分的面积相等。

训练【4】

4.

答案：

16×10=160（平方米）

16×2+10×2-2×2=48（平方米）

160-48=112（平方米）

答：

草坪的面积是112平方米。

解析：

草坪的面积等于长方形的面积减空白部分的面积。

空白部分的面积=白色长方形的面

积+白色平行四边形的面积-底、高都为2米的平行四边形的面积（如上图）。

基础巩固

答案：

一、1.0.12302.13.63.1.9

4.505.6456.2.4

二、1.D2.D3.C4.A

三、1.×2.√3.√

四、

五、1.（5-3）×5÷2=5（m2）

答：

阴影部分的面积是5m2。

2.8×6÷2=24（cm2）

答：

阴影部分的面积是5m2。

3.58÷2=29（平方分米）

答：

平行四边形AFCE的面积的面积是29平方分米。

4.（1+1.2）×1.5÷2

=2.2×1.5÷2

=1.65（平方厘米）

答：

涂色梯形的面积1.65平方厘米。

六、1.45×21.6=972（平方米）

答：

它的面积大约是972平方米。

2.30×8=240（平方米）

2×8=16（平方米）

240-16=224（平方米）

答：

草坪的面积是224平方米。

3.120×50×2=12000（平方米）

答：

剩余部分的麦田的面积是12000平方米。

4.40÷4=10（cm）

15÷1=15（cm）

15×10=150（cm2）

答：

原平行四边形的面积是150平方厘米。

5.15-8+1=8（层）

（8+15）×8÷2=92（根）

答：

这堆木头一共有92根。

巅峰突破

1.答案：

解：

设三角形的底BE是x厘米。

x=13-x+7

2x=20

x=10

答：

三角形的底BE是10cm。

解析：

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，三角形的面积=底×高÷2,已知梯形和三角形

面积相等，高也相等，由此可以推出：

三角形的底等于梯形的上、下底之和。

2.答案：

4×4÷2=8（cm2）GF

答：

阴影部分的面积是8cm2。

AD

解析：

连接CF。

H

BCE

S△BCF=BC×EF÷2,

S△DCF=DC×GF÷2,

因为BC=DC,EF=GF,所以S△BCF=S△DCF。

所以S△BCH=S△DHF。

所以S△DHF+S△DHB=S△BCH+S△DHB,即S△DBF=S△DBC=4×4÷2=8（cm2）。

3.答案：

（50+30）×50÷2=2000（平方厘米）

50×30=1500（平方厘米）

2000-1500=500（平方厘米）

答：

A块比B块大500平方厘米。

解析：

A-B=（A+C）-（B+C）,A+C是一个底为（50+30）厘米，高为50厘米的三角形，B+C

是一个长为50厘米，宽为30厘米的长方形。

4.答案：

c=a=4

d=4÷（8÷4）=2

a+b+c+d=2+4+4+8=18（平方厘米）

答：

梯形的面积是18平方厘米。

解析：

因为a+b=c+b,所以c=a=4（平方厘米）；

因为a，d同底，b,c同底；a,b等高，d，c等高，

所以c÷d=b÷a=8÷4=2

所以d=c÷2=2（平方厘米）

最后把a,b,c,d加起来也就是梯形的面积。

5.答案：

100×2=200（平方厘米）

答：

六边形ABCDEF的面积是200平方厘米。

N

解析：

分别连接AE、BE、CE。

AF

P

E

三角形AEN的面积=三角形AFN的面积

M

三角形APE的面积=三角形BPE的面积

Q

三角形CEQ的面积=三角形BEQ的面积B

三角形ECM的面积=三角形DCM的面积CD

把以上4式左右两边分别相加，即阴影的面积=空白的面积

因为阴影部分的面积为100平方厘米，所以空白部分的面积也为100平方厘米；

六边形ABCDEF的面积是阴影和空白部分的和，即100+100=200（平方厘米）。