高考数学 专题14 不等式选讲热点难点突破 文doc.docx
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高考数学专题14不等式选讲热点难点突破文doc
2019年高考数学专题14不等式选讲热点难点突破文
1.若f(x)=logx,R=f,S=f,T=f,a,b为正实数,则R,S,T的大小关系为( )
A.T≥R≥SB.R≥T≥S
C.S≥T≥RD.T≥S≥R
答案 A
2.已知函数f(x)=|x-4|+|x+5|.
(1)试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围;
(2)若关于x的不等式f(x) 解 (1)f(x)=|x-4|+|x-5|= 又|2x+1|= 所以若f(x)=|2x+1|, 则x的取值范围是(-∞,-5]∪[4,+∞). (2)因为f(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9, 所以若关于x的不等式f(x)f(x)min=9,即a的取值范围是(9,+∞). 3.已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)试求f(x)的值域; (2)设g(x)=(a>0),若任意s∈(0,+∞),任意t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立,试求实数a的取值范围. 解 (1)函数可化为 f(x)= ∴f(x)∈[-3,3]. (2)若x>0,则g(x)==ax+-3≥2-3,即当ax2=3时,g(x)min=2-3, 又由 (1)知f(x)max=3. 若∀s∈(0,+∞),∀t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立,则有g(x)min≥f(x)max,∴2-3≥3, ∴a≥3,即a的取值范围是[3,+∞). 4.设不等式|x-2|>1的解集与关于x的不等式x2-ax+b>0的解集相同. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)=a+b的最大值,以及取得最大值时x的值. 5.设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)>2的解集; (2)∀x∈R,使f(x)≥t2-t,求实数t的取值范围. 解 (1)f(x)= 当x<-时,-x-3>2⇒x<-5, ∴x<-5. 当-≤x<2时,3x-1>2⇒x>1, ∴1 当x≥2时,x+3>2⇒x>-1, ∴x≥2. 综上所述,不等式f(x)>2的解集为 {x|x>1或x<-5}. (2)易得f(x)min=-, 若∀x∈R都有f(x)≥t2-t恒成立, 则只需f(x)min=-≥t2-, 解得≤t≤5. 6.设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)>2的解集; (2)∀x∈R,使f(x)≥t2-t,求实数t的取值范围. 7.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为∅,则实数a的取值范围是( ) A.a<-1或a>3B.a<0或a>3 C.-1<a<3D.-1≤a≤3 解析 |x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1、3对应的两点距离之和,故它的最小值为2, ∵原不等式解集为∅,∴a2-2a-1<2.即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.故选C. 答案 C 8.设f(x)=x2-bx+c,不等式f(x)<0的解集是(-1,3),若f(7+|t|)>f(1+t2),则实数t的取值范围是________. 答案 (-3,3) 9.已知函数f(x)=|x-4|+|x+5|. (1)试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围; (2)若关于x的不等式f(x) 解 (1)f(x)=|x-4|+|x+5|= 又|2x+1|= 所以若f(x)=|2x+1|,则x的取值范围是(-∞,-5]∪[4,+∞). (2)因为f(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9, ∴f(x)min=9. 所以若关于x的不等式f(x)f(x)min=9,即a的取值范围是(9,+∞). 10.已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)试求f(x)的值域; (2)设g(x)=(a>0),若任意s∈(0,+∞),任意t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立,试求实数a的取值范围. 11.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式f(x)≥3的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≥t2-3t在[0,1]上无解,求实数t的取值范围. 解 (1)f(x)= 所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6,+∞). (2)只要f(x)max<t2-3t, 由 (1)知f(x)max=-1<t2-3t解得t>或t<. 12.设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0). (1)证明: f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 13.已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值. 解 (1)当a=2时,f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 当2 当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5; 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)= 由|h(x)|≤2, 解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3. 14.已知函数f(x)=k-|x-3|,k∈R,且f(x+3)≥0的解集为[-1,1]. (1)求k的值; (2)若a,b,c是正实数,且++=1. 求证: a+2b+3c≥9. 15.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 解: (1)当a=-3时, 不等式f(x)≥3化为|x-3|+|x-2|≥3.① 若x≤2时,由①式,得5-2x≥3,∴x≤1. 若2 若x≥3时,由①式,得2x-5≥3,∴x≥4.[Z&X&X&K] 综上可知,f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. (2)原不等式等价于|x-4|-|x-2|≥|x+a|,② 当1≤x≤2时,②式化为4-x-(2-x)≥|x+a|, 解之得-2-a≤x≤2-a. 由条件,[1,2]是f(x)≤|x-4|的解集的子集, ∴-2-a≤1且2≤2-a,则-3≤a≤0. 故满足条件的实数a的取值范围是[-3,0]. 16.已知正实数a,b满足: a2+b2=2. (1)求+的最小值m; (2)设函数f(x)=|x-t|+(t≠0),对于 (1)中求得的实数m是否存在实数x,使得f(x)=成立,说明理由. 17.已知函数f(x)=|x|+|x-1|. (1)若f(x)≥|m-1|恒成立,求实数m的最大值M; (2)在 (1)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明: a+b≥2ab. (1)解: ∵f(x)=|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1, 当且仅当0≤x≤1时,取等号, ∴f(x)=|x|+|x-1|的最小值为1. 要使f(x)≥|m-1|恒成立,只需|m-1|≤1, ∴0≤m≤2,则m的最大值M=2. (2)证明: 由 (1)知,a2+b2=2, 由a2+b2≥2ab,知ab≤1,① 又a+b≥2,则(a+b)≤2ab, 由①知,≤1, 故a+b≥2ab. 18.已知函数f(x)=|x+1|. (1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M; (2)设a,b∈M,证明: f(ab)>f(a)-f(-b). (1)解: ①当x≤-1时,原不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;
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