9.若凸k边形的内角和为f(k),则凸(k+1)边形的内角和
f(k+1)(
k≥3且k∈N*)等于
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()
π
A.f(k)+2
B.f(k)+π
3
C.f(k)+2π
D.f(k)+2π
[答案]
B
[解析]
由凸k边形到凸(k+1)边形,增加了一个三角形,故
f(k+1)=f(k)+π.
10.若
sinA
cosB
cosC
是()
=
=
,则△
a
b
c
ABC
A.等边三角形
B.有一个内角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的等腰三角形
[答案]
C
[解析]
sinA
cosB
cosC
∵a=b
=
c
,由正弦定理得,
sinA
sinBsin
C
sinB
cosBcosCsinC
a=b=c,∴b=b=c=c,
∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
a+b
11.若>0,
>0,则
p
=(
ab
)
2
与=b·
a
的大小关系是()
ab
qa
b
A.p≥q
B.p≤q
C.p>q
D.p<q
[答案]A
ap
若a>b,则b>1,a-b>0,∴q>1;
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ap
若0<a<b,则0<b<1,a-b<0,∴q>1;
p
若a=b,则q=1,
∴p≥q.
12.设函数f(x)定义如下表,数列
{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有
xn+1=f(xn),
则x=(
)
2011
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A.1
B.2
C.4
D.5
[答案]
C
[解析]
x1=f(x0)=f
(5)=2,
x=f
(2)
=1,x=f
(1)
=4,x=f
(4)=5,x=f(5)
=2,⋯,数列{x}是周期为4的数列,
2
3
4
5
n
所以x2011=x3=4,故应选C.
二、填空题(本大题共
4个小题,每小题
4分,共
16分.将正确答案填在题中横线上)
13.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,
则(πr2)′=2πr.①
①式可用语言叙述为:
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为
R的球,若
将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①式的式子:
______________________________,
你所写的式子可用语言叙述为
__________________________.
[答案]
4
3
2
πR′=4πR;球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
3
14.已知
f
(
n
)=1+1+1+⋯+
1(∈N*),用数学归纳法证明
23
nn
=________.
[答案]
1
1
1
2k+1+2k+2+⋯+2k+1
f(2
k+1
11
1
[解析]
)=1+2+3+⋯+2k+1
n
n
k+1
k
)
f
(2)>时,f(2
)-f(2
2
k
1
1
1
f
(2)=1+2+3+⋯+2k
f(2
k+1
k
)
=
1
+
1
1
)-f(2
k
k
+⋯+k+1.
2
+1
2
+2
2
第-5-
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页
2
2
3
15.观察①sin10°+cos40°+sin10
°cos40°=
4;
2
2
3
②sin6°+cos36°+sin6°cos36°=
4.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为
________________.
[答案]
sin
2α+cos
2(30°+α)+sin
αcos(30°+α)=
3
4
[解析]
观察40°-10°=30°,36°-6°=30°,
由此猜想:
2
2
3
sinα+cos
(30°+α)+sinαcos(30
°+α)=.
4
可以证明此结论是正确的,证明如下:
sin2α+cos2(30°+α)+sinα·cos(30°+α)
1-cos2α
1+cos(60°+2α)
1
1
=
2
+
2
+2[sin(30
°+2α)-sin30°]=1+2
[cos(60°+
1
1
2α)-cos2α]+2sin(30°+2α)-2
1
1
1
=1+2[-2sin(30°+2α)sin30°]+2sin(30°+2α)-2
3
1
1
3
=-sin(30°+2α)+sin(30
°+2α)=.
4
2
2
4
a
16.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意
a、b∈P,都有a+b、a-b、ab、b
∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集
Q是数域;数集
F={a+b
2|a,b∈Q}
也是数域.有下列命题:
①整数集是数域;
②若有理数集Q?
M,则数集M必为数域;
③数域必为无限集;
④存在无穷多个数域.
其中正确命题的序号是
________.(把你认为正确命题的序号都填上
)
[答案]③④
[解析]考查阅读理解、分析等学习能力.
a
①整数a=2,b=4,b不是整数;
②如将有理数集Q,添上元素2,得到数集M,则取a=3,b=2,a+b?
M;
③由数域P的定义知,若a∈P,b∈P(P中至少含有两个元素),则有a+b∈P,从而a+
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2b,a+3b,⋯,a+nb∈P,∴P中必含有无穷多个元素,∴③对.
④设x是一个非完全平方正整数(x>1),a,b∈Q,则由数域定义知,F={a+bx|a、b∈Q}
必是数域,这样的数域F有无穷多个.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)已知:
a、b、c∈R,且a+b+c=1.
2221
求证:
a+b+c≥3.
[证明]由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
2
+
2
2
1
即a
b+
c≥.
3
18.(本题满分
12分)证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论.
π
2cos4=
2,
π
2cos
8
=
2+
2,
π
2cos16=
2+
2+
2,
⋯⋯
π
2
[证明]
2cos4=2·2
=2
π
2
π
1+cos4
1+2
2cos8=2
2
=2·
2
=2+2
π
π
1+cos8
2cos16=2
2
1
1+22+2
=2=2+2+2
2
⋯
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19.(本题满分12分)已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2·an-1-1.
(1)求a2、a3、a4;
(2)求证:
数列
1
是等差数列,并写出数列
n
a-1
{a}的一个通项公式.
n
[解析]
(1)由a·a
=2·a
-1
得
nn-1
n-1
1
an=2-an-1
,
代入a=3,n依次取值
2,3,4,得
1
a=2-
1
5
=2-
3
7
5
9
3=
3,a
5=5,a=2-
7=7.
2
3
4
(2)证明:
由an·an-1=2·an-1-1变形,得
(an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),
11
即an-1-an-1-1=1,
1
所以{an-1}是等差数列.
1111
由a1-1=2,所以an-1=2+n-1,
2
变形得an-1=2n-1,
2n+1
所以an=2n-1为数列{an}的一个通项公式.
xx-2
20.(本题满分12分)已知函数f(x)=a+(a>1).
(1)证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根.
[解析]
(1)证法1:
任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x10,且ax1>0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
x2-2x1-2
∴f(x2)-f(x1)=x2+1-x1+1
=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)
(x1+1)(x2+1)
3(x2-x1)
=(x1+1)(x2+1)>0,
第-8-页共11页
x2-2
x1-2
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+x2+1-x1+1>0,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证法2:
′()=
x
ln
+
x+1-(x-2)
x
ln+
3
a
a
(x+1)
2
=
a
(x+1)
2
fx
a
x
3
∵a>1,∴lna>0,∴alna+(x+1)2>0,
f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立,即f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)解法1:
设存在x0<0(x0≠-1)满足f(x0)=0
则ax0=-x0-2,且0x0+1
x-2
1
0
∴0<-x0+1<1,即2故方程f(x)=0没有负数根.
解法2:
设x0<0(x0≠-1)
x0-2x0
①若-1x0-2x0
②若x0<-1则>0,a>0,
∴f(x0)>0.
综上,
x
<0(
x
≠-1)时,
f
(
x
)<-1或
f
()>0,即方程
f
(
x
)=0无负根.
x
21.(本题满分
12分)我们知道,在△ABC中,若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形.现
在请你研究:
若
n
n
n
c
=a+b(n>2),问△ABC为何种三角形?
为什么?
[解析]
锐角三角形
∵cn=an+bn
(
n>2),∴c>a,c>b,
由c是△ABC的最大边,所以要证△
ABC是锐角三角形,只需证角
C为锐角,即证cosC
>0.