江苏专用版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I22函数单调性与最值文含答案docx.docx
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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第二章函数概念
与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值文
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数
y
=
(
x
)的定义域为
,区间
I
?
,如果对于区间
f
A
A
定
I
内的任意两个值
x1,x2
当x1
当x1 义 f(x)在区间I上 f(x)在区间I上 那么就说函数 那么就说函数 是增函数 是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I 上具有单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得 条件对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个值x1,x2”改为“存在两个值x1, x2”.(×) (2)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D且(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在D上是增函数.(√) (3)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×) 1 1 (4) 函数y=x的单调递减区间是 (-∞,0)∪(0,+∞).( × ) (5) 所有的单调函数都有最值. ( × ) (6) 对于函数y=f(x),若f (1)< f(3) ,则f(x)为增函数.( × ) 1 2 x 1.下列函数中,① y=x-x;②y=x-x;③y=lnx-x;④y=e -x,在区间(0,+∞)内 单调递减的是__________. 答案 ① 解析 1 =x 在(0,+∞)内是增函数,则 1 对于①,y=x在(0,+∞)内是减函数,y y=x-x 1 2 在(0,+∞)内是减函数;②,③,④函数在 (0,+∞)上均不单调. 2.若函数 f ( x )=|2 x +|的单调递增区间是 [3,+∞),则 a 的值为________. a 答案 -6 a a 解析 由图象易知函数 f(x)=|2x+a|的单调增区间是[-2,+∞),令-2=3,∴a=-6. 3.设函数 y = x 2-2 x , x ∈[-2,],若函数的最小值为 ( ),则 ( a )=________. a g a g a2-2a,-2≤a<1, 答案 -1,a≥1 解析∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1. 当-2≤a<1时,函数在[-2,a]上单调递减, 则当x=a时,ymin=a2-2a; 当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-1. a2-2a,-2≤a<1, 综上,g(a)= -1,a≥1. 4.(教材改编)已知函数 2 ,x∈[2,6],则 f(x)的最大值为________,最小值为 f(x)= x-1 ________. 答案 2 2 5 解析 可判断函数 2 上为减函数,所以 f(x)=f (2)=2,f(x) =f(6)= f(x)=x-1在[2,6] min max 2 2 5. 5.(教材改编)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a的取值范围 为________________________________________________________________________. 答案(-∞,1]∪[2,+∞) 解析 函数 f ( )= x 2-2-3的图象开口向上,对称轴为直线 x = ,画出草图如图所示. x ax a 由图象可知函数在 (-∞, a ]和[ ,+∞)上都具有单调性,因此要使函数 f ( x )在区间[1,2] a 上具有单调性,只需 a≤1或a≥2,从而a∈(-∞,1]∪[2,+∞). 题型一确定函数的单调性(区间) 命题点1给出具体解析式的函数的单调性 1x1 例1 (1)下列函数中,①y=ln(x+2);②y=-x+1;③y= (2);④y=x+x,在区间(0, +∞)上为增函数的是________. (2)函数f(x)=log1(x2-4)的单调递增区间是____________. 2 (3)函数y=-x2+2|x|+3的单调增区间为_________________________. 答案 (1)① (2)(-∞,-2)(3)(-∞,-1],[0,1] 解析 (1)y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞), ∴在区间(0,+∞)上为增函数. 2 (2)因为y=log1t在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t=x-4 2 的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2). (3)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=- (x+1)2+4, 二次函数的图象如图. 3 由图象可知,函数 y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1],[0,1] 上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性 ax 例2 试讨论函数f(x)=x-1 (a≠0)在(-1,1) 上的单调性. 解 设-1< 1<2<1, x x x-1+1 1 f(x)=a x-1 =a1+x-1, 11 f(x1)-f(x2)=a1+x1-1-a1+x2-1 ax2-x1 = x1-1 , x2-1 由于-1 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) 函数f(x)在(-1,1)上递增. 综上,当 >0时, f ( x )在(-1,1)上单调递减;当 <0时, f ( )在(-1,1)上单调递增. a a x 引申探究 ax 若本题中的函数变为 f (x)=x2-1( a>0),则f( x)在(-1,1)上的单调性如何? 解 设-1< 1<2<1, x x 则 f (1)- ( x ax1 ax2 2)=2 -2 x f x1-1x2-1 2 2 +ax ax-x xx+1 axx-ax-ax x 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 = x12-1 x22-1 = x12-1 x22-1 , ∵-1 22 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1-1)(x2-1)>0. 又∵a>0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴函数在(-1,1)上为减函数. 思维升华确定函数单调性的方法: (1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导 数法; (2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的 4 单调区间不能用“∪”连结. a 已知a>0,函数f (x)=x+x(x>0),证明: 函数 f(x)在(0, a]上是减函数, 在[ a,+∞)上是增函数. 证明 方法一 任意取 x 1> 2>0,则 x aa f(x1)-f(x2)=x1+x1-x2+x2 1 2 )+ a - a 12 ax2-x1 =(x -x x 1 x 2 =(x-x)+ xx 1 2 a =(x1-x2)1-x1x2. a 当a≥x1>x2>0时,x1-x2>0,1-<0, x1x2 有f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) a 此时,函数f(x)=x+x(a>0)在(0,a]上为减函数; a 当x1>x2≥a时,x1-x2>0,1-x1x2>0, 有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), a 此时,函数f(x)=x+x(a>0)在[a,+∞)上为增函数; a 综上可知,函数f(x)=x+x(a>0)在(0,a]上为减函数,在[a,+∞)上为增函数. aa 方法二f′(x)=1-x2,令f′(x)>0,则1-x2>0, a 解得x>a或x<-a(舍).令f′(x)<0,则1-x2<0,解得-a ∵x>0,∴0 故f(x)在(0,a]上为减函数,在[ a,+∞)上为增函数. 题型二 函数的最值 x 2 +2 + a 例3 x 已知函数f(x)= x ,x∈[1,+∞),a∈(-∞,1]. 1 (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2) 若对任意x∈[1,+∞),f (x)>0 恒成立,试求实数 a的取值范围. 解 1 时,f(x)=x+ 1 在[1,+∞)上为增函数,f(x) 7 (1)当a=2 2x+2 min =f (1)=2. 5 a (2)f(x)=x+x+2,x∈[1,+∞). ①当≤0时, f ( x )在[1,+∞)内为增函数. a 最小值为f (1)=a+3. 要使f(x)>0 在x∈[1,+∞)上恒成立,只需 a+3>0,即a>-3,所以-3 ②当0<≤1时, f ( x )在[1,+∞)上为增函数, f ( )min= (1)= a +3. a x f
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