不等式选讲高考高考文科数学热点难点专题专题突破.docx
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不等式选讲高考高考文科数学热点难点专题专题突破
不等式选讲
1.不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是________.
解析 a≥|x-4|+|x-3|有解⇔a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.
答案 a≥1
2.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为________.
解析(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=81.
答案 9
3.已知函数f(x)=|2x-a|+a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},则实数a的值为________.
解析 ∵不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},
即-2,3是方程f(x)=6的两个根,即|6-a|+a=6,|a+4|+a=6,∴|6-a|=6-a,|a+4|=6-a,即|6-a|=|a+4|,解得a=1.
答案 1
4.若不等式|x+|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是________.
解析 ∵|x+|≥2,
∴|a-2|+1<2,即|a-2|<1,
解得1 . 答案 (1,3) 5.若不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立,则m的取值范围为________. 解析 ∵|x+1|+|x-3|≥|(x+1)- (x-3)|=4, ∴不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立, 只需|m-1|≤4.即-3≤m≤5. 答案 [-3,5] 6.设f(x)=x2-bx+c,不等式f(x)<0的解集是(-1,3),若f(7+|t|)>f(1+t2),则实数t的取值范围是_______ _. 解析 ∵x2-bx+c<0的解集是(-1,3), ∴>0且-1,3是x2-bx+c=0的两根,则函数f(x)=x2-bx+c图象的对称轴方程为x==1, 且f(x)在[1,+∞)上是增函数, 又∵7+|t|≥7>1,1+t2≥1, 则由f(7+|t|)>f(1+t2), 得7+|t|>1+t2, 即|t|2-|t|-6<0, 亦即(|t|+2)(|t|-3)<0, ∴|t|<3,即-3 答案 (-3,3) 8.设函数f(x)=|x-a|+1,a∈R. (1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|; (2 )若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证: m+2n≥3+2. (2)依题可知|x-a|≤1⇒a-1≤x≤a+1,所以a=1,即+=1(m>0,n>0),所以m+2n=(m+2n)·=3++≥3+2 当且仅当m=1+,n=1+时取等号. 9.设函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|(a>0),g(x)=x+2. (1)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集; (2)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=1时,|2x-1|+|2x+1|≤x+2 ⇒无解, ⇒0≤x<, ⇒≤x≤ 综上,不等式的解集为. (2)|2x-a|+|2x+1|≥x+2,转化为|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0. 令h( x)=|2x-a|+|2x+1|-x-2, 因为a>0,所以h(x)=, 在a>0下易得h(x)min=-1, 令-1≥0,得a≥2. 10.已知函数f(x)=|x-a|. (1)若f(x)≤m的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a,m的值; (2)当a=2且0≤t≤2时,解关于x的不等式f(x)+t≥f(x+2). 解 (1)∵|x-a|≤m,∴-m+a≤x≤m+a. ∵-m+a=-1,m+a=5, ∴a=2,m=3. (2)f(x)+t≥f(x+2)可化为|x-2|+t≥|x|. 当x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0, ∵0≤t≤2,∴x∈(-∞,0); 当x∈[0,2)时,2-x+t≥x,x≤1+,0≤x≤1+, ∵1≤1+≤2,∴0≤x≤1+; 当x∈[2,+∞)时,x-2+t≥x,t≥2, 当0≤t<2时,无解, 当t=2时,x∈[2,+∞). ∴当0≤t<2时原不等式的解集为; 当t=2时x∈[2,+∞). 11.设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)>2的解集; (2)∀x∈R,使f(x)≥t2-t,求实数t的取值范围. (2)易得f(x)min=-,若∀x∈R都有f(x)≥t2-t恒成立, 则只需f(x)min=-≥t2-, 解得≤t≤5. 12.已知函数f(x)=|x-4|+|x+5|. (1)试求使等式f(x)=|2x+1|成立的x的取值范围; (2)若关于x的不等式f(x) 解 (1)f(x)=|x-4|+|x+5|= 又|2x+1|= 所以若f(x)=|2x+1|,则x的取值范围是(-∞,-5]∪[4,+∞). (2)因为f(x)=|x-4|+|x+5|≥|(x-4)-(x+5)|=9, ∴f(x)min=9. 所以若关于x的不等式f(x)f(x)min=9,即a的取值范围是(9,+∞). 13.已知函数f(x)=|x+2|-|x-1|. (1)试求f(x)的值域; (2)设g(x)=(a>0),若任意s∈(0,+∞),任意t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立, 试求实数a的取值范围. 解 (1)函数可化为 f(x)= ∴f(x)∈[-3,3]. (2)若x>0,则g(x)==ax+-3≥2-3,即当ax2=3时,g(x)min=2-3, 又由 (1)知f(x)max=3. 若∀s∈(0,+∞),∀t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立,则有g(x)min≥f(x)max, ∴2-3≥3, ∴a≥3,即a的取值范围是[3,+∞). 14.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)求不等式f(x)≥3的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≥t2-3t在[0,1]上无解,求实数t的取值范围. 解 (1)f(x)= 所以原不等式转化为或或所 以原不等式的解集为∪[6,+∞). (2)只要f(x)max<t2-3t, 由 (1)知f(x)max=-1<t2-3t解得t>或t<. 15.设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0). (1)证明: f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. (1)证明 由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (2)解 f(3)=|3+|+|3-a|. 当a >3时,f(3)=a+, 由f(3)<5得3
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