如何计算周期问题.docx
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如何计算周期问题
如何计算周期问题
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[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
如何计算周期问题
周期问题
:
在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现,比如每周七天,从星期一开始,到星期日结束,总是以七天为一个循环不断重复出现。
我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。
要解决这类问题,关键要抓住两点:
①找出规律,找出周期。
即多少个(次)又出现重复
②用总量除以周期,看余数,余几就是周期里的第几个,没有余数就是最后一个。
例1.有一列数,1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、
(1)第2009个数是多少
(2)这列数字中,“2”会出现多少次
(3)这2009个数相加的和是多少
解析:
仔细观察,这2009个数不是随意排列的,每六个数重复一次,按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。
周期找到了,接着用总量除以周期,把余数与周期对比,很容易解答问题。
(1)2009÷6=334…5,即重复了334次,还余5个数,分别是1、4、2、8、5。
所以第2009个数就是5
(2)(1、4、2、8、5、7)重复了334次,“2”也就出现了334次,再加上余下的五个数中,“2”又出现了一次,所以,数字“2”总共出现了335次
(3)我们把2009个数按每一组(1、4、2、8、5、7)这样分组,可以分成334组,还剩5个数,334组的数都相同,每组的和=1+4+2+8+5+7=27,那么这334组的总和是27×334=9018,再加上还余下的五个数,即为2009个数的总和了。
(1+4+2+8+5+7)×334+(1+4+2+8+5)=9018+20=9038
例2.求2×2×…×2(2008个2相乘)+3×3×…×3(2009个3相乘)的个位数字
解析:
要想求和的个位数字,关键是要求出每个加数的个位数字。
(1)先观察下2×2×…×2(2008个2相乘)个位数的特点,看是否有周期性,若有,则可根据周期问题的方法来解答
2个位数字是2
2×2个位数字是4
2×2×2个位数字是8
2×2×2×2个位数字是6
2×2×2×2×2个位数字是2
可见,个位数字是按2、4、8、6不断循环重复,所以周期是4
2008÷4=502,没余数,个位数字就是最后一个:
6
(2)同理,我们也可以找出3×3×…×3(2009个3相乘)个位数字的排列规律
3个位数字是3
3×3个位数字是9
3×3×3个位数字是7
3×3×3×3个位数字是1
3×3×3×3×3个位数字是3
可见,个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现,所以周期是4
2009÷4=502…1,余数是1,个位数字就是周期里面的第一个数,即3
所以,求2×2×…×2(2008个2相乘)+3×3×…×3(2009个3相乘)的个位数字,就是6+3的个位数字,即9
例3.2009个学生按下列方法编号排成五列:
一二三四五
12345
9876
10111213
17161514
…………………………
问最后一个学生应该在第几列
解析:
仔细观察,除了第一个学生外,其余学生都是按这样的次序排列的:
二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一……。
按“二、三、四、五、四、三、二、一”不断循环重复,所以周期是8
(2)÷8=251,没余数,说明最后一个学生排在周期里的最后一个数,即第一列
注意:
周期可以是从第一个数开始不断循环重复,也可以不从第一个数开始,当不是从第一个数开始循环重复时,我们一般先从总数中把不参与循环的数剔除掉,再除以周期,看余数
例4.2009年9月8日是星期二
(1)2009年9月27日是星期几
(2)2009年是星期几
(3)2012年10月1日是星期几
解析:
推算星期几的题目,第一要知道周期;第二也是最重要的是要学会计算天数。
第三推星期几:
总天数除以7,看余数,余几就从当天往后推几天。
一周七天,不断循环重复,周期是7。
计算天数时,遵守以下几个规律:
①一个月之内的,尾减首就得天数②跨月的,先算整月再算零头天数③跨年的,先算整年再算整月最后算零头天数④有几个常识要清楚:
1、月:
3、5、7、8、10、12月为大月,31天;4、6、9、11月为,30天;2月28天,29天;年:
365天,:
366天,四年一闰,一般情况下能被4整除的是,下面的为例外:
能被100整除的但不能被400整除的是,能被400整除的是闰年。
(1)属一个月之内的。
从9月8日到27日有27-8=19天
19÷7=2(周)…5(天)
从星期二往后推5天,就是星期日。
即2009年9月27日是星期日
(2)属跨月的。
先算整月:
9月8日至10月8日至至12月8日,三个月共30+31+30=91(天)
再算零头:
12月8日至有25-8=17天
所以,共有91+17=108(天)
108÷7=15(周)…3(天)
从星期二往后推三天,就是星期五
即2009年是星期五
(3)属跨年的
先算整年:
三年共365+365+366=1096天
再算整月:
—一个月共30天
最后算零头:
—共8-1=7天
所以共有1096+30-7=1119天
1119÷7=159(周)…6天
从星期二往后推六天,就是星期一
即2012年10月1日是星期一
例5.伸出你的左手,从大拇指开始,按大拇指、食指、中指、无名指、、无名指、中指、食指、大拇指、食指…的顺序依次数数字:
1、2、3、…,问:
数到2009时,你数在哪个手指上
解析:
我们先看数字规律,找出周期来。
大拇指、食指、中指、无名指、、无名指、中指、食指、大拇指、食指、…8个循环重复一次,周期是8
2009÷8=251…1
余几就是一个周期中的第几个。
所以,数到2009时,正好数到大拇指的位置上。
例6.一列数1、2、4、7、11、16、22、29、…。
这列数左起第2009个数除以5的余数是几
解析:
由于是求余数,因此找出这列数除以5的余数规律是本题的关键。
1÷5余数是1
2÷5余数是2
4÷5余数是4
7÷5余数是2
11÷5余数是1
16÷5余数是1
22÷5余数是2
29÷5余数是4
从上可以看出余数的排列规律是:
按1、2、4、2、1、…每隔这五个数循环重复出现,周期是5
2009÷5=401…4余数是几就是一个周期中的第几个数
所以,第2009个数除以5的余数是2。
小结:
解答周期性问题,需要我们具有较强的观察能力,能从数字变化中找出它的周期性变化规律。
找周期是关键,找周期的方法往往从出发位置开始,看经过多少步以后又回到起始位置。
对于一些较复杂的问题,我们可以借助画示意图或列举部分数字等方法帮助寻找周期。
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