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41焦长与焦比体系
专题1焦长与焦比体系
秒杀秘籍:
第一讲椭圆焦长以及焦比问题
2
4a体:
过椭圆x
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F1的弦AB与右焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是4a;
x2
焦长公式:
A是椭圆a2
+
y2
b2
=1(ab2
>b>
0)上一点,F1、F2是左、右焦点,
b2
∠AF1F2为
2ab2
α,AB过F1,c是
ABh2
2ab2
椭圆半焦距,则
(1)AF1
=a-ccosα;
(2)BF1
=a+ccosα;(3)AB=a2-c2cos2α=b2+c2sin2α.
ABh
12ab2
2ab2csinα
ab2csinα
2
4a体面积:
S△ABF=
2=2⋅a2-c2cos2α⋅2csinα=b2+c2sin2α,S△AOB=
2=b2+c2sin2α.
证明:
(1)如图所示,AF1+AF2
=2a;BF1+BF2
=2a,故AB+AF2+BF2
=4a;
(2)设AF1=m;
BF1=n;
AF2
=2a-m;
BF2
=2a-n;由余弦定理得
222b2
m+(2c)-(2a-m)=2m×(2c)cosa;整理得AF1=a-ccosa①
22b2
同理:
n2+(2c)
-(2a-n)
=2n×(2c)cos(180°-a);整理得BF1
=②
a+ccosa
2ab22ab2
①+②得,则过焦点的弦长:
AB=m+n=a2-c2cos2a=b2+c2sin2a③
x2
焦比定理:
过椭圆
a2
+
y2
b2
b2
=1的左焦点F1的弦AF1=a-ccosα,BF1
b2
=a+ccosα,令AF1=lF1B,即
b2lb2
l-1
(l+1)b2
a-ccosa=a+ccosaÞecosa=l+1④,代入焦长公式①可得AF1=2a⑤.
注意:
焦长和焦比体系当中,一切源于焦长公式的推导,所以掌握焦长公式成为了重中之重,在解答题中要有必要的证明过程,除了本文给到的余弦定理外,还可以用圆锥曲线的极坐标方程快速证明,这个问题大家可以自己去掌握,由于极坐标方程在未来高考中的不确定性,本文不给出详细证明过程.
【例1】过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F的弦AB与另一个焦点F围成的三角形△ABF2的周长
12
是.
x2y211
【例2】过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点F作弦AB,若|AF|=d,|BF|=d,则+
1
2
a2b212dd
()
的数值为
151
A.2b
a2
B.
2a
b2
x2y2
C.
a+b
a2
D.
与a、b斜率有关
【例3】设直线l:
y=x+1与椭圆a2+b2=1(a>b>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点F.
(1)证明:
a2+b2>1;
(2)若F是椭圆的一个焦点,且AF=2FB,求椭圆的方程.
【例4】设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点(2,0),离心率为3.
2
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆左焦点为F1,右焦点F2,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B,求△ABF2的面积.
x2y2
【例5】已知椭圆C:
a2+b2=1的左右顶点为A,B,点P为椭圆C上不同于A,B,的一点,且直线PA,
PB的斜率之积为-1;
2
(1)求椭圆的离心率;
(2)设F(-1,0)为椭圆C的左焦点,直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M,N,且MF=3FN求直线l
的斜率.
y2
b2
【例6】(2014•安徽)设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0
E于A、B两点,若AF1=3F1B,AF2^x轴,则椭圆E的方程为.
x22
【例7】(2011•浙江)设F1,F2分别为椭圆+y
3
的坐标是.
=1的焦点,点A,B在椭圆上,若F1A=5F2B,则点A
x2y2
【例8】(2014•安徽)设F1,F2分别是椭圆E:
a2+b2=1的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,
B两点,AF1=3F1B.
(1)若AB=4,△ABF2的周长为16,求AF2;
(2)若cosÐAFB=3,求椭圆E的离心率.
25
152
x2
1.F1,F2分别是椭圆9
+y2
7
同步训练
=1的左右两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45︒,则△AF1F2的面积为()
75
77
A.7B.C.D.
422
2
2
2.过椭圆x+y=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的
54
面积为.
x2
2
3.已知F1为椭圆C:
2+y
为.
=1的左焦点,直线l:
y=x-1与椭圆C交于A、B两点,那么|F1A|+|F1B|的值
4.
2
过椭圆C:
x
y211
+
AF
BF
=1的左焦点F作倾斜角为60︒的直线l与椭圆交于A,B两点,则+
=()
43
A.4B.3C.3
D.5
3453
x2+y2=>>2
5.已知椭圆a2
1(a
b2
b0)的离心率为
2
.设L为过椭圆右焦点F的直线,交椭圆于M、N两点,
MF
NF
且L的倾斜角为60︒.则=.
6.
3
已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,A、B为过F1的直线与椭圆的交点,且△F2AB的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)
F1A
F1B
判断1+1是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由.
7.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆,左焦点F1(-1,0),一个顶点坐标为(0,1).
(1)求椭圆方程;
(2)直线l过椭圆的右焦点F2交椭圆于A、B两点,当△AOB面积最大时,求直线l方程.
153
8.
2
已知椭圆x
3
+
y2
2
=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭
圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P.
x2y2
(1)设P点的坐标为(x0,y0),证明:
0+0<1.
32
(2)求四边形ABCD的面积的最小值.
秒杀秘籍:
第二讲双曲线的焦点三角形问题
x2y2
周长问题:
双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,弦AB过左焦点F1(A、B都在左支上),AB=l,则△ABF2的周长为4a+2l(如下图左)
焦长公式:
(1)当AB交双曲线于一支时,|AB|=
(2)当AB交双曲线于两支时,|AB|=
双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致:
2ab2
a2-c2cos2a2ab2
c2cos2a-a2
,a2-c2cos2a>0Þ1 cosa ,a2-c2cos2a<0Þe>1(图右) cosa b2lb2 l-1 (l+1)b2 令AF1=lF1B,即a-ccosa=a+ccosaÞecosa=l+1(l>1),代入弦长公式可得AF1=2a. b2lb2 l+1 (l-1)b2 若交于两支时,ccosa-a=a+ccosaÞecosa=l-1(l>1),代入弦长公式可得AF1=2a. x2y2 【例9】已知双曲线- 169 =1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与该双曲线的右支交于A、B两点, 若AB =5,则△ABF1的周长为. 154 2y2π 【例10】过双曲线x-=1的左焦点F1作倾斜角为 36 的直线l交双曲线于A、B两点,则|AB|=. x2y2 【例11】已知双曲线a2-b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2 的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,若PF2=3F2Q,若△PQF1是以Q 为顶角的等腰三角形,则双曲线的离心率e为() A.3B.2 2 C. 9. 2 过双曲线x 4 -y2 3 D. 3 =1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M、N两点,F2为其右焦点,则|MF2|+|NF2|- |MN|的值为() A.6B.8C.10D.16 x2y2 10.如果F1,F2分别是双曲线16-9 则△ABF2的周长是. =1的左、右焦点,AB是双曲线左支上过点F1的弦,且|AB|=6, 11.过双曲线x2-4y2=4的焦点F1且在双曲线一支上的弦AB的长度为5,F2为另一焦点,则△ABF2的周长为. 12.斜率为2的直线l过双曲线x2-y2= (a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲 1 a2b2 线的离心率e的取值范围是( ) A.e<2 B.1 C.1 D.e>5 x2 13.已知双曲线a2 - y2 b2 =1的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且仅有一个交 点,则此双曲线离心率的范围是() A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) -= x2y2 14.过双曲线1的左焦点F1 作倾斜角为α=π的直线与双曲线交于A,B两点,求|AB|. 9 15.经过双曲线x2 (1)AB; 16 -y2 3 4 =1的右焦点F2作倾斜角为30︒的弦AB,求: (2)△F1AB的周长(F1是双曲线的左焦点). 16. 2 过双曲线x 4 - y2 4 =1的F2作倾斜角为 5π的直线,交双曲线于P、Q两点,求FP⋅FQ的值. 6 155 17. 2 直线y=x+1与双曲线C: x 2 - y2 b2 =1(b>0)恒有公共点. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围; (2)若直线l: y=x+m(m∈R)过双曲线C的右焦点F,与双曲线交于P、Q两点,并且满足FP=1FQ,求 5 双曲线C的方程. x2 18.已知双曲线的左右焦点F1、F2与椭圆5 心率. (1)求双曲线的方程; +y2 =1的焦点相同,且以椭圆x+y 2 2 43 =1离心率的倒数为离 (2)若经过焦点F2且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B、C、D.求四边形ACBD的面积的最大值. 秒杀秘籍: 第三讲抛物线焦长公式及性质 156 1.AF=p BF= p.2.AB=x+x +p=2p. 1-cosα p2 1+cosα 12sin2a AF BF λ-1 λ+1 BF PB 3.S△AOB=2sinα.4.设=λ,则cosα=λ+1;AF=2p. AF PA 5.设AB交准线于点P,则 =cosα; =cosα. 证明: 1.AFp p xA-2 pp\AF= p,同理BF=p. =xA+2,cosa= \cosa= p=1- xA+2 p=1-AF xA+2 1-cosa 1+cosα 2. FA1AF AB= AF+BF p =+ 1-cosa p = 1+cosa 2 p 2p. sin2a 112ppp2 3.设O到AB的距离为d,则 d=sinα,故S△AOB=2ABd=2sin2a2sina=2sina. AF BF 4.=λ⇒1+cosα=λ⇒cosα=λ-1, ∴AF= p=λ+1p. 5.AF =xA 1-cosα +p,BF 2 =xB +p, 2 λ+1 AF PA =cosα, 1-cosα2 BF PB =cosα. 关于抛物线x2=2py的焦长公式及定理(A为直线与抛物线右交点,B为左交点,α<90为AB倾斜角) 1.AF=p ;BF=p 2. AB=y+y+p=2p 1-sinα p2 1+sinα 12cos2a AF BF λ-1 λ+1 3.S△AOB=2cosa 4. 设 =λ,则sinα=λ+1;AF=2p 5.设AB交准线于点P, =sinα; =sinα. AF PA BF PB 【例12】已知抛物线C: y2=4x的焦点为F,直线y= AF=mFB,则m的值为() 3(x-1)与C交于A,B(A在x轴上方)两点,若 157 3 A.B.3C.2D.3 2 【例13】已知抛物线的方程为y2=4x,过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,且AF=3,O为坐 标原点,则△AOF的面积和△BOF的面积之比为() A.1B. 2 3C. 3 3 D.2 【例14】过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若BC=2BF, 且AF =3则此抛物线的方程为() A.y2=3x B. y2=3x C. y2=6x D. y2=9x 19.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F且倾斜角为60的直线l交抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则此抛物线方程为() A.y2=3x B. y2=6x C. y2=3x 2 D. y2=2x 20.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则AB的最小值为() A.pB.pC.2p 2 21.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若AF =5,则BF D.无法确定 =() A.1B.1C.5D.2 44 22. AF 设O是坐标原点,F是抛物线y=x2的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为π,则= 6 () 3 A.1B.3C.1D.2+ 3 24 23.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为 A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是() 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 3 A.4B.3 C. 4 D. 8 24. 3 抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60︒的直线与抛物线在x 3 3 轴上方的部分相交于点A,AB⊥l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于() 3 3 A.3B.4 C. 6 D. 8 25.直线l过抛物线y2=x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且点A在x轴上方,若直线l的倾斜角θ≥π, 4 2 则FA的取值范围是() A.⎡1,3⎫ B.⎛132⎤ C.⎛12⎤ D.⎛2⎤ ⎭ ⎢⎣42⎪ ç,+⎥ ⎦ ⎝442 ç,1+⎥ ⎦ ⎝42 ç1- ⎝ 1+⎥ ⎦ 22 26. ç 设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为 60,则OA为() 158 A.21pB.21pC.13pD.13p 42636 27.已知抛物线y2=8x,过点A(2,0)作倾斜角为π的直线l,若l与抛物线交于B、C两点,弦BC的中 3 点P到y轴的距离为() A.10 3 B. 16 3 C. 323 D. 3 8 28.过抛物线y=4x2的焦点F,引倾斜角为π的直线,交抛物线于A,B两点,O是坐标原点,求△ABC 3 的面积为. 29.已知抛物线C: x2=8y的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若PF=2FQ, 则QF =() A.6B.3C.8D.4 33 30.已知抛物线C: y2=4x,那么过抛物线C的焦点,长度为整数且不超过2015的弦的条数是() A.4024B.4023C.2012D.2015 秒杀秘籍: 第四讲关于焦长系列的一些重点关注问题 1.4a体面积最值问题 ABh 12ab2 2ab2csinα 2ab2c 2 S△ABF= 2=2⋅a2-c2cos2α⋅2csinα=b2+c2sin2α= b2 sinα +c2sinα 分母属于一个对勾函数模型,取 得最值得条件在于b与c的大小比较,或者说离心率范围. ①当c≥b,即e≥ b2 2 时, 2sinα +c2 sinα≥2bc,当仅当sinα= b时等号成立,此时S △ABF c2max =2ab2c2bc =ab. ②当c 2时, 2 b2 sinα + c2 sinα≥b2 + c2 =a2 ,当sinα=1时等号成立,此时S △ABF 2max 2b2c = . a 2.4a通径体计算问题 159 b2 如图,若AF2⊥F1F2,易知AF2=a ,若AF1=λF1B(λ>1),则一定有AF1= λ+1⋅b2 λ-1 λ+3 2a ,根据AF1+AF2 =2a 2 可得λ+3⋅b 2a =2a,即 λ+3⋅(1-e2 4 )=1⇒e=; 3.4a等腰体计算问题 如图,若AB=AF2,且AF1=λF1B(λ>1),令AB=AF2=m,则AF1=2a-m,BF1=2m-2a, BF2=4a-2m,根据AF1=2a-m=λBF1=λ(2m-2a)求出m,也可以根据△ABF2的某种特殊三角形属 性来建立另一个方程,从而解出椭圆的方程或者离心率. 4.椭圆和双曲线的直角三角形与离心率问题 I.如左图,若AF2⊥AB,AB过原点,且AF1=λF1B,可得AF1= λ+1⋅b2 2 2a ,AF2 =2a- λ+1b2 ⋅ ,再 2a 1 利用勾股定理AF2 + AF2 =4c2 来搞定离心率,当然也可以根据AB= λ+1⋅b2 2 2a +λ+1⋅b2 2λa =(λ+1)2 2λ b2 ⋅ , a BF2 =2a-BF1=2a- λ+1⋅b2 2λa ,AF2 + AB2 =BF2 来计算离心率. 2 II.若B为已知, 未知,可以根据焦点三角形面积公式 12 tan 1,再利用勾 ∠λλ=S△AFF=b2tan45︒⇒λB= 12 股定理AF2+AF2=4c2来计算离心率. S△BFF b2tanB2 2 12 λ+1b2 1 2 如右图,若BF2⊥AC,AB过原点,且CF2=λF2A,通过补全矩形,可得AF1⊥AC,CF2=2⋅a, AF2 =λ+1⋅b2 2λa ,AF1=2a+ λ+1⋅b2 2λ
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