勾股定理的各类题型.docx
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勾股定理的各类题型
勾股定理各种题型:
一:
勾股定理面积相等法:
方法1:
方法2:
方法3:
二:
方程思想和勾股定理结合的题目
1.(2016春•宜春期末)一旗杆在其的B处折断,量得AC=5米,则旗杆原来的高度为( )
A.米B.2米C.10米D.米
【考点】勾股定理的应用.
【分析】可设AB=x,则BC=2x,进而在△ABC中,利用勾股定理求解x的值即可.
【解答】解:
由题意可得,AC2=BC2﹣AB2,即(2x)2﹣x2=52,解得x=,
所以旗杆原来的高度为3x=5,故选D.
【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形.
2.(2016春•防城区期中)如图,在△ABC中,∠B=40°,EF∥AB,∠1=50°,CE=3,EF比CF大1,则EF的长为( )
A.5B.6C.3D.4
【考点】勾股定理;平行线的性质.
【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°,得出∠C=90°,设CF=x,则EF=x+1,根据勾股定理得出方程,解方程求出x,即可得出EF的长.
【解答】解:
∵EF∥AB,
∴∠A=∠1=50°,
∴∠A+∠B=50°+40°=90°,
∴∠C=90°,
设CF=x,则EF=x+1,
根据勾股定理得:
CE2+CF2=EF2,
即32+x2=(x+1)2,
解得:
x=4,
∴EF=4+1=5,
故选:
A.
【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理;熟练掌握平行线的性质,并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
3.(2015春•蚌埠期中)已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与D重合,折痕为EF,则BE的长为( )
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】根据折叠的性质可得BE=ED,设AE=x,表示出BE=9﹣x,然后在Rt△ABE中,利用勾股定理列式计算即可得解.
【解答】解:
∵长方形折叠点B与点D重合,
∴BE=ED,
设AE=x,则ED=9﹣x,BE=9﹣x,
在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2,
即32+x2=(9﹣x)2,
解得x=4,
∴AE的长是4,
∴BE=9﹣4=5,
故选C.
【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键.
4.(2008秋•奎文区校级期末)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题,这个问题的意思是:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如图所示,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.那么水深多少?
芦苇长为多少?
【考点】勾股定理的应用.
【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答.
【解答】解;设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,
根据勾股定理得:
,
解得:
x=12(尺),
芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺),
答:
水池深12尺,芦苇长13尺.
【点评】此题是一道古代问题,体现了我们的祖先对勾股定理的理解,也体现了我国古代数学的辉煌成就.
三:
勾股定理应用:
求最短距离问题
1.(2014秋•环翠区期中)如图,长方体的底面边长为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用细线最短需要( )
A.12cmB.11cmC.10cmD.9cm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】要求所用细线的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
【解答】解:
将长方体展开,连接A、B′,
则AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6cm,
根据两点之间线段最短,AB′==10cm.
故选C.
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”,用勾股定理解决.
2.(2016春•繁昌县期末)如图,是一长、宽都是3cm,高BC=9cm的长方体纸箱,BC上有一点P,PC=BC,一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是( )
A.6cmB.3cmC.10cmD.12cm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】将图形展开,可得到安排AP较短的展法两种,通过计算,得到较短的即可.
【解答】解:
(1)如图1,AD=3cm,DP=3+6=9cm,在Rt△ADP中,AP==3cm;
(2)如图2,AC=6cm,CP=3+3=6cm,
Rt△ADP中,AP==6cm.
综上,蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm.
故选A.
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题,熟悉平面展开图是解题的关键.
3.(2016•大悟县二模)如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是( )
A.13cmB.4cmC.4cmD.52cm
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.
【解答】解:
由图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐表面切开展开呈长方形,则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,
∵易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,
∴x2=(12×4)2+202,
所以彩带最短是52cm.
故选D
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,本题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决.
4.(2016•游仙区模拟)长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm,在罐内点E处有一小块饼干碎末,此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形ABCD中心的正上方2cm处,则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm.( )
A.7B.C.24D.
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内,在平面内线段最短,根据勾股定理即可计算.
【解答】解:
①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过,
蚂蚁到达饼干的最短距离如图1:
H′E===7,
②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过,
则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2:
H′E==
故选B.
【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题,此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点,然后把立体的长方体放到一个平面内,求出最短的线段.
5.(2015秋•宜兴市校级期中)如图,一圆柱高8cm,底面半径为cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是 10 cm.
【考点】平面展开-最短路径问题.
【分析】此题最直接的解法,就是将圆柱展开,然后利用两点之间线段最短解答.
【解答】解:
底面圆周长为2πr,底面半圆弧长为πr,即半圆弧长为:
×2π×=6(cm),展开得:
∵BC=8cm,AC=6cm,
根据勾股定理得:
AB==10(cm).
故答案为:
10.
【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短,解题的关键是根据题意画出展开图,表示出各线段的长度.
四:
网格问题
(简单)1、在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则△ABC中BC边上的高为
答案:
设△ABC中BC边上的高为h.
∵AB^2=5,AC^2=20,BC^2=25,
∴BC^2=AB^2+AC^2,
∴∠A=90°,
S△ABC=
ABAC=
BC
h,即
=5h.
解得,h=2.
故答案是:
2.
2.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.如图
(一)中四边形ABCD就是一个“格点四边形”.
(1)求图
(一)中四边形ABCD的面积;
(2)在图
(二)方格纸中画一个格点三角形EFG,使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形.
图
(一)图
(二)
答案:
解:
(1)方法一:
S=
×6×4
=12
方法二:
S=4×6-
×2×1-
×4×1-
×3×4-
×2×3=12
(2)(只要画出一种即可)
3、如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.
请按要求完成下列各题:
(1)画AD∥BC(D为格点),连接CD;
(2)试判断△ABC的形状?
请说明理由;
答案:
(1)图象如图所示;
(2)由图象可知AB²=1²+2²=5,
AC²=2²+4²=20,
BC²=3²+4²=25,
∴BC²=AB²+AC²,
△ABC是直角三角形。
4、如图,是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场,一只鸽子落在点A处,它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食,则鸽子至少需要走多远的路程?
答案:
AB=5cm,BC=13cm.所以其最短路程为18cm
(难题)5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?
平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
【答案】
(1)单位正三角形的高为,面积是。
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。
(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示),则在Rt△ACK中,,
,故
五:
方位角问题
1、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了
m到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.
(1)求A、C两点之间的距离;
(2)确定目的地C在营地A的什么方向?
2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:
00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:
00,甲、乙二人相距多远?
还能保持联系吗?
答案:
如图,甲从上午8:
00到上午10:
00一共走了2小时,
走了12千米,即OA=12.
乙从上午9:
00到上午10:
00一共走了1小时,
走了5千米,即OB=5.
在Rt△OAB中,AB2=122十52=169,∴AB=13,
因此,上午10:
00时,甲、乙两人相距13千米.
∵15>13,∴甲、乙两人还能保持联系.
答:
上午10:
00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系.
3、如图,甲乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行,乙船向南偏东50°航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里,问乙船的航速是多少?
答案:
从两船航行的方向看,北偏东40度和南偏东50度的夹角为90
AC⊥AB
甲船速度每小时16海里,所以AC=16×3=48海里
AB²=BC²-AC²=3600-2304=1296
AB=36
所以乙船速度为每小时:
36÷3=12海里
4、如图,北海海面上,一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练,突然接基地命令,要该舰前往C岛,接送一病危渔民到基地医院救治,已知C岛在A的北偏东60
方向,且在B北偏西45
方向,军舰从B处出发,平均每小时走20海里,需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院?
(精确到小时,参考数据:
,
)
解:
作CD⊥AB于D,根据题意,得∠CAB=30°,∠CBD=45°
不妨设CD=x海里,则BD=x海里,AD=
x海里,AC=x海里,
BC=
x海里,
∴
x+x=40
∴x=(20
-20)海里
∴AC+BC=
=20
+40
-20
-40
=
≈(海里)
÷20=≈(小时)
答:
需要大约小时才能把患病渔民送到基地医院。
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- 勾股定理 各类 题型