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5等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等,都等于60度;
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形;
推论:
直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。
在三角形中,大角对大边,大边对大角。
练习试题
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
⑴轴对称图形:
如果_____个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够________,那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫做____________。
⑵轴对称:
对于____个图形,如果沿着一条直线对折后,它们能完全重合,那么称这两个图形成________,这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点叫做__________
1.下列几何图形中,
线段
角
直角三角形
半圆,其中一定是轴对称图形的有【】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.图中,轴对称图形的个数是【】
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.正n边形有___________条对称轴,圆有_____________条对称轴
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样
(2)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于______的对称点.
(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴______________.
考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.
(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形
4.如图,Rt△ABC,∠C=90°
∠B=30°
BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DP,则AP+DP的最小值是
5.已知等边△ABC,E在BC的延长线上,CF平分∠DCE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求证∠APQ是多少度
考点四、线段垂直平分线的性质
⑴线段是轴对称图形,它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等
归类回忆角平分线的性质
⑴角是轴对称图形,其对称轴是_______________
⑵角平分线上的点到______________________________相等
6.如图,△ABC中,∠A=90°
,BD为∠ABC平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数。
7.如图,△ABC中,AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于D,求证:
AD垂直平分BC
8.如图,DE是
ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则
EBC的周长为【】
A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米
9.如图,∠BAC=30°
,P是∠BAC平分线上一点,PM∥AC,PD⊥AC,PD=30,则AM=
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠BAC的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB于G,交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论:
①∠CED=∠CDE;
②
︰
;
③∠ADF=2∠ECD;
④
⑤CE=DF.其中正确结论的序号是【】
A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤
考点五、等腰三角形的特征和识别
⑴等腰三角形的两个_____________相等(简写成“________________”)
⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合(简称为“________________”)
特别的:
(1)等腰三角形是___________图形.
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.
⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的________也相等(简称为“____________________”)
(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.
(2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.
(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.
(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.
11.如图,△ABC中,AB=AC=8,D在BC上,过D作DE∥AB交AC于E,DF∥AC
交AB于F,则四边形AFDE的周长为______。
12.如图,△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB,EF过D且EF∥BC,若AB=7,BC=8,AC=6,则△AEF周长为【】
A.15B.14C.13D.18
13.如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=________度.
14.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°
,则它的一个底角的度数是_______
15.△ABC中,DF是AB的垂直平分线,交BC于D,EG是AC的垂直平分线,交BC于E,若∠DAE=20°
,则∠BAC等于°
16.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于
17.已知,在△ABC中,∠ACB=90°
,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,则∠DCE=度.
18.如图:
在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。
试说明DE=DF。
19.如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:
△ABC是等腰三角形.
20.已知:
如图,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.
21.如图,△ABC中,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G,CE⊥AG于E,CF⊥AB于F.
(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);
(2)选择
(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.
考点六、等边三角形的特征和识别
⑴等边三角形的各____相等,各____相等并且每一个角都等于________
⑵三个角相等的三角形是__________三角形
⑶有一个角是60°
的____________三角形是等边三角形
等边三角形的中线、高线、角平分线__________________________________
22.下列推理中,错误的是【】
A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
C.∵∠A=60°
,∠B=60°
,∴△ABC是等边三角形
D.∵AB=AC,∠B=60°
23.如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。
求证:
M是BE的中点。
24.已知△ABC是等边三角形,分别在AC、BC上取点E、F,且AE=CF,BE、AF
交于点D,则∠BDF=_________度
25.如图,点P是等边△ABC内一点,点P到三边的距离分别为PE、PF、PG,等边△ABC的高为AD,求证:
PE+PF+PG=AD
26.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是【】
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形
27.如图B、C、D在一直线上,ΔABC、ΔADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC=_____,∠ECD=_____.
28.如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下六个结论:
AD=BE;
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
④DE=DP;
⑤∠AOB=60°
;
⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有【】个
A.0B.1C.2D.3
考点七、30°
所对的直角边是斜边的一半
29.如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°
,则DE等于【】
A.1mB.2mC.3mD.4m
30.△ADC中,∠A=15°
,∠D=90°
,B在AC的垂直平分线上,AB=34,则CD=【】
A.15B.17C.16D.以上全不对
31.一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO=BO=40cm,C0=D0=30cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°
,求桌面到地面的距离是多少?
甲
32.如图,AB=AC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∠BAC=120o,BC=6,则DE+DF=
33.在
中,
,
的垂直平分线交
于点
,交
.如果
,求
的长
34.如图,已知:
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AB的垂直平分线交AB于E,
交BC于F.求证:
CF=2BF.
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