抛物线与不等式.docx
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抛物线与不等式.docx
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抛物线与不等式
二次函数图像与不等式
一.选择题(共10小题)
1.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是( )
A.
﹣8
B.
8
C.
±8
D.
6
2.已知函数y=(k﹣3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.
k<4
B.
k≤4
C.
k<4且k≠3
D.
k≤4且k≠3
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
则下列判断中正确的是( )
A.
抛物线开口向上
B.
抛物线与y轴交于负半轴
C.
当x=3时,y<0
D.
方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
4.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1•x2=3,那么二次函数ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=
的图象:
①如果
,那么0<a<1;
②如果
,那么a>1;
③如果
,那么﹣1<a<0;
④如果
时,那么a<﹣1.
则( )
A.
正确的命题是①④
B.
错误的命题是②③④
C.
正确的命题是①②
D.
错误的命题只有③
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.
x>﹣3
B.
x<1
C.
﹣3<x<1
D.
x<﹣3或x>1
7.如图,直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点,点P是抛物线上的一个动点,过点P作直线PQ⊥x轴,交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是( )
A.
x<﹣1或x>
B.
x<﹣1或
<x<3
C.
x<﹣1或x>3
D.
x<﹣1或1<x<3
8.如图,一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于两点A(﹣1,5)、B(9,3),请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围( )
A.
﹣1≤x≤9
B.
﹣1≤x<9
C.
﹣1<x≤9
D.
x≤﹣1或x≥9
9.对于整式x2和2x+3,请你判断下列说法正确的是( )
A.
对于任意实数x,不等式x2>2x+3都成立
B.
对于任意实数x,不等式x2<2x+3都成立
C.
x<3时,不等式x2<2x+3成立
D.
x>3时,不等式x2>2x+3成立
10.如图,已知函数
与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的不等式ax2+bx
>0的解为( )
A.
﹣3<x<0
B.
x<﹣3
C.
x>0
D.
x<﹣3或x>0
二.填空题(共5小题)
11.已知y=x2+mx﹣6,当1≤m≤3时,y<0恒成立,那么实数x的取值范围是 _________ .
12.抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为(1,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 _________ .
13.把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位,再向右平移100个单位,那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是 _________ .
14.如图,已知函数
与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的不等式ax2+bx
>0的解为 _________ .
15.若x为任意实数时,二次三项式x2﹣6x+c的值都不小于0,则常数c满足的条件是 _________ .
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2013•株洲)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是( )
A.
﹣8
B.
8
C.
±8
D.
6
考点:
抛物线与x轴的交点.4494262
专题:
压轴题.
分析:
根据抛物线与x轴只有一个交点,△=0,列式求出m的值,再根据对称轴在y轴的左边求出m的取值范围,从而得解.
解答:
解:
由图可知,抛物线与x轴只有一个交点,
所以,△=m2﹣4×2×8=0,
解得m=±8,
∵对称轴为直线x=﹣
<0,
∴m>0,
∴m的值为8.
故选B.
点评:
本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题,本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数.
2.(2011•襄阳)已知函数y=(k﹣3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A.
k<4
B.
k≤4
C.
k<4且k≠3
D.
k≤4且k≠3
考点:
抛物线与x轴的交点;根的判别式;一次函数的性质.4494262
专题:
计算题;压轴题.
分析:
分为两种情况:
①当k﹣3≠0时,(k﹣3)x2+2x+1=0,求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可;②当k﹣3=0时,得到一次函数y=2x+1,与X轴有交点;即可得到答案.
解答:
解:
①当k﹣3≠0时,(k﹣3)x2+2x+1=0,
△=b2﹣4ac=22﹣4(k﹣3)×1=﹣4k+16≥0,
k≤4;
②当k﹣3=0时,y=2x+1,与X轴有交点.
故选B.
点评:
本题主要考查对抛物线与X轴的交点,根的判别式,一次函数的性质等知识点的理解和掌握,能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键.
3.(2010•徐汇区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
则下列判断中正确的是( )
A.
抛物线开口向上
B.
抛物线与y轴交于负半轴
C.
当x=3时,y<0
D.
方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4494262
专题:
计算题.
分析:
结合图表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,3),借助(0,1)两点可求出二次函数解析式,从而得出抛物线的性质.
解答:
解:
∵由图表可以得出当x=0或2时,y=1,可以求出此函数的对称轴是x=1,顶点坐标为(1,3),
∴二次函数解析式为:
y=a(x﹣1)2+3,
再将(0,1)点代入得:
1=a(﹣1)2+3,
解得:
a=﹣2,
∴y=﹣2(x﹣1)2+3,
∵a<0
∴A,抛物线开口向上错误,故:
A错误;
∵y=﹣2(x﹣1)2+3=﹣2x2+4x+1,
与y轴交点坐标为(0,1),故与y轴交于正半轴,
故:
B错误;
∵x=3时,y=﹣5<0,
故:
C正确;
∵方程ax2+bx+c=0,△=16+4×2×1=22>0,
此方程有两个不相等的实数根,
故:
D.方程有两个相等实数根错误;
故选:
C.
点评:
此题主要考查了二次函数解析式的求法,以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用.
4.(2011•潍坊)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1•x2=3,那么二次函数ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
抛物线与x轴的交点;二次函数的图象.4494262
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,利用两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1•x2=3,求得两个实数根,作出判断即可.
解答:
解:
∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1•x2=3,
∴x1,x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根,
∴(x﹣1)(x﹣3)=0,
解得:
x1=1,x2=3
∴二次函数ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)
故选C.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象,解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标.
5.(2013•杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=
的图象:
①如果
,那么0<a<1;
②如果
,那么a>1;
③如果
,那么﹣1<a<0;
④如果
时,那么a<﹣1.
则( )
A.
正确的命题是①④
B.
错误的命题是②③④
C.
正确的命题是①②
D.
错误的命题只有③
考点:
二次函数与不等式(组);命题与定理.4494262
专题:
压轴题.
分析:
先确定出三函数图象的交点坐标为(1,1),再根据二次函数与不等式组的关系求解即可.
解答:
解:
易求x=1时,三个函数的函数值都是1,
所以,交点坐标为(1,1),
根据对称性,y=x和y=
在第三象限的交点坐标为(﹣1,﹣1),
①如果
,那么0<a<1正确;
②如果
,那么a>1或﹣1<a<0,故本小题错误;
③如果
,那么a值不存在,故本小题错误;
④如果
时,那么a<﹣1正确.
综上所述,正确的命题是①④.
故选A.
点评:
本题考查了二次函数与不等式组的关系,命题与定理,求出两交点的坐标,并准确识图是解题的关键.
6.(2011•黔西南州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.
x>﹣3
B.
x<1
C.
﹣3<x<1
D.
x<﹣3或x>1
考点:
二次函数与不等式(组).4494262
专题:
压轴题.
分析:
根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式ax2+bx+c<0的解集.
解答:
解:
根据图象得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点坐标为(﹣3,0)、(1,0),
而ax2+bx+c<0,即y<0,
故﹣3<x<1.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系:
根据当y<0时,利用图象得出不等式解集是解题关键.
7.(2013•槐荫区二模)如图,直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点,点P是抛物线上的一个动点,过点P作直线PQ⊥x轴,交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是( )
A.
x<﹣1或x>
B.
x<﹣1或
<x<3
C.
x<﹣1或x>3
D.
x<﹣1或1<x<3
考点:
二次函数与不等式(组).4494262
分析:
联立两函数解析式求出交点A、B的坐标,再求出抛物线的对称轴,然后根据图象,点A左边的x的取值和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围.
解答:
解:
联立
,
解得
,
,
所以,A(﹣1,﹣1),B(3,3),
抛物线的对称轴为直线x=﹣
=
,
∴当﹣1<x<3时,PQ=x﹣(x2﹣x﹣3)=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
当x<﹣1或x>3时,PQ=x2﹣x﹣3﹣x=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是x<﹣1或1<x<3.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数与不等式,主要利用了联立两函数解析式求交点的方法,以及数形结合的思想.
8.(2012•石家庄二模)如图,一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于两点A(﹣1,5)、B(9,3),请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围( )
A.
﹣1≤x≤9
B.
﹣1≤x<9
C.
﹣1<x≤9
D.
x≤﹣1或x≥9
考点:
二次函数与不等式(组).4494262
分析:
根据A、B的坐标,及两个函数的图象即可求出y1≥y2时,即直线下面部分,进而得出自变量x的取值范围.
解答:
解:
由两个函数的图象知:
当y1≥y2时,﹣1≤x≤9.
故选:
A.
点评:
此题主要考查了二次函数与不等式,根据图象得出y1≥y2时,即直线下面部分对应的x的值是解题关键.
9.(2007•花都区一模)对于整式x2和2x+3,请你判断下列说法正确的是( )
A.
对于任意实数x,不等式x2>2x+3都成立
B.
对于任意实数x,不等式x2<2x+3都成立
C.
x<3时,不等式x2<2x+3成立
D.
x>3时,不等式x2>2x+3成立
考点:
二次函数与不等式(组).4494262
专题:
证明题.
分析:
根据x2﹣2x﹣3,可化为(x﹣1)2﹣4,当(x﹣1)2﹣4=0时,可得出x=﹣1或3,根据x的范围,可得出x2与2x+3的大小关系.
解答:
解:
∵x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴当(x﹣1)2﹣4=0时,x=﹣1或3,
∴x<3时假设x=2,则不等式x2<2x+3不成立.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数与不等式组,解决问题的关键是将二次三项式配方.
10.如图,已知函数
与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的不等式ax2+bx
>0的解为( )
A.
﹣3<x<0
B.
x<﹣3
C.
x>0
D.
x<﹣3或x>0
考点:
二次函数与不等式(组).4494262
专题:
数形结合.
分析:
利用反比例函数的解析式求出点P的坐标,再根据图形写出抛物线在反比例函数图象上方的部分的x的取值范围即可.
解答:
解:
∵点P的纵坐标为1,
∴﹣
=1,
∴x=﹣3,
∴点P(﹣3,1),
由图可知,ax2+bx+
>0时,即ax2+bx>﹣
时,x的取值范围是x<﹣3或x>0.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数与不等式组,求出点P的坐标是解题的关键,此类题目利用数形结合确定x的范围是常用的方法.
二.填空题(共5小题)
11.已知y=x2+mx﹣6,当1≤m≤3时,y<0恒成立,那么实数x的取值范围是 ﹣3<x<
.
考点:
图象法求一元二次方程的近似根.4494262
专题:
计算题.
分析:
根据1≤m≤3,得出两个不等式:
当m=3时,x2+3x﹣6<0;当m=1时,x2+x﹣6=0;根据y<0,分别解不等式x2+3x﹣6<0,x2+x﹣6<0,可求实数x的取值范围.
解答:
解:
∵1≤m≤3,y<0,
∴当m=3时,x2+3x﹣6<0,
由y=x2+3x﹣6<0,
得
<x<
;
当m=1时,x2+x﹣6<0,
由y=x2+x﹣6<0,得﹣3<x<2.
∴实数x的取值范围为:
﹣3<x<
.
故本题答案为:
﹣3<x<
.
点评:
本题考查了用二次函数的方法求自变量x的取值范围.关键是分类列不等式,分别解不等式.
12.(2010•双鸭山)抛物线y=x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为(1,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 (3,0) .
考点:
抛物线与x轴的交点.4494262
专题:
方程思想.
分析:
把交点坐标代入抛物线解析式求m的值,再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标.
解答:
解:
把点(1,0)代入抛物线y=x2﹣4x+m中,得m=3,
所以,原方程为y=x2﹣4x+3,
令y=0,解方程x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0).
故答案为:
(3,0).
点评:
本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系,抛物线与x轴交点坐标的求法.本题也可以用根与系数关系直接求解.
13.(2010•本溪)把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位,再向右平移100个单位,那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是
.
考点:
二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.4494262
分析:
先由平移规律求出新抛物线的解析式,然后求出抛物线与x轴的两个交点横坐标,利用坐标轴上两点间距离公式即可求得距离是|﹣
﹣
|=
.
解答:
解:
所得抛物线为y=﹣(x﹣100)2+2,当y=0时,﹣(x﹣100)2+2=0,解得x=100±
,∴两个交点之间的距离是|100+
﹣100+
|=
.
点评:
主要考查了函数图象的平移,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:
左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点.
14.(2012•梁子湖区模拟)如图,已知函数
与y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象交于点P,点P的纵坐标为1,则关于x的不等式ax2+bx
>0的解为 x<﹣3或x>0 .
考点:
二次函数与不等式(组).4494262
专题:
数形结合.
分析:
所求不等式变形后,可以看做求二次函数的函数值大于反比例函数值时x的范围,由二次函数与反比例函数图象的交点,利用图象即可得到满足题意的x的范围,即为所求不等式的解集.
解答:
解:
∵反比例函数与二次函数图象交于点P,且P的纵坐标为1,
∴将y=1代入反比例函数y=﹣
得:
x=﹣3,
∴P的坐标为(﹣3,1),
将所求的不等式变形得:
ax2+bx>﹣
,
由图象可得:
x<﹣3或x>0,
则关于x的不等式ax2+bx
>0的解为x<﹣3或x>0.
故答案为:
x<﹣3或x>0
点评:
此题考查了二次函数与不等式(组),利用了数形结合的数学思想,数形结合是数学中的重要思想之一,解决函数问题更是如此,同学们要引起重视.
15.若x为任意实数时,二次三项式x2﹣6x+c的值都不小于0,则常数c满足的条件是 c≥9 .
考点:
完全平方式;二次函数与不等式(组).4494262
专题:
计算题.
分析:
根据完全平方公式得出(x﹣3)2+c﹣9≥0,根据完全平方的非负性得出c﹣9≥0即可.
解答:
解:
x2﹣6x+c=x2﹣6x+9+c﹣9,
=(x﹣3)2+c﹣9≥0,
∵若x为任意实数时,二次三项式x2﹣6x+c的值都不小于0,
∴c﹣9≥0,
∴c≥9.
故答案为:
c≥9.
点评:
本题考查了对完全平方公式和二次函数与不等式的应用,解此题的关键是根据题意得出c﹣9≥0.
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- 关 键 词:
- 抛物线 不等式