几种常用数值积分方法的比较汇总.docx
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几种常用数值积分方法的比较汇总
学科分类号110.3420
本科毕业论文
题目—几种常用数值积分方法的比较
姓名潘晓祥学号1006020540200
院(系)数学与计算机科学学院
专业数学与应用数学年级2010级
指导教师雍进军职称讲师
二O—四年五月
本人郑重声明:
所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文作者签名:
年月曰
毕业设计题目
几种常用数值积分方法的比较
作者姓名
潘晓祥
学号
1006020540200
年级
2010级
所属学院
数学与计算机科学学院
专业
数学与应用数学
班级
四班
指导教师签名
雍进军讲师
职称
讲师
开题日期
2013年7月10日
主要目标
1•了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法;
2•对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析;
3•对各积分方法进行比较总结出优缺点。
主
要要求
通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析,并用这几种方法对被积函数是普通函数做
了数值积分,并在计算机上进行实验。
数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容,数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法,对几种常用数值积分方法的分析很必要。
主要内容
本文通过对复化求积公式,Newton—Cotes求积公式,Romberg求积公式,咼斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析
比较,并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。
论文题目
几种常用数值积分方法的比较
作者姓名
潘晓祥
学号
1006020540200
年级
2010级
所属学院
数学与计算机科学学院
专业
数学与应用数学
班级
数本(4)班
指导教师姓名
雍进军
职称
讲师
预计字数
5000.00字
题印性质
应用研究
日期
2013年7月05日
选题的原由:
研究意义:
数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点•并在实际问题及应用中有着广泛的应用•常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计
算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的
意义•
数值积分是研究如何求出一个积分的数值•这一课题的起源可追溯到古代,其中一个突出的例
子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法•也正是此法使阿基米德得以求出n值得上
界与下界,若干世纪以来,尤其是十六世纪后,已提出了多种数值积分方法,其中有矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,复化求积公式,龙贝格求积公式,高斯型求积公式•但各种方法都有特点,在不冋的情况下试用程度不冋,我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较•
研究动态:
这些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,历史上,阿基米德,牛顿,欧
拉,高斯,切比雪夫等人都对此有过贡献•研究出各种各样的数值求积公式,但一个好的数值求积公
式应该满足:
计算简单,误差小,代数精度高•我们将对矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,
化求积公式,贝格求积公式,斯型求积公式进行比较•对数值求积公式能有进一步的了解和学习•
主要内容:
1数值积分方法的基本思想
2几类常用数值积分方法的基本分析
2.1Newton—Cotes求积公式
2.2复化求积公式
2.3Romberg求积公式
24高斯型求积公式
3几类数值积分方法的简单比较评述
4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较
研究方法:
本论文主要通过对相关文献和书籍的参考,合自己的见解,复化求积公式,Newton—Cotes求积
公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验,从代数精度,求积公式误差等
角度对这些方法进行分析比较完成期限和采取的主要措施:
本论文计划用6个月的时间完成,阶段的任务如下:
(1)7月份查阅相关书籍和文献;
(2)8月份完成开题报告并交老师批阅;
(3)9月份完成论文初稿并交老师批阅;
(4)10月份完成论文二搞并交老师批阅;
(5)11月份完成论文三搞;
(6)12月份定稿.
主要措施:
考相关书籍和文献,合自己的见解,老师的指导下和同学的帮助下完成
主要参考文献及资料名称:
[1]关治•陆金甫•数学分析基础(第二版)[M].北京:
等教育出版社.2010.7
[2]胡祖炽.林源渠.数值分析[M]北京:
等教育出版社.1986.3
[3]薛毅.数学分析与实验[M]北京:
业大学出版社2005.3
[4]徐士良.数值分析与算法[M].北京:
械工业出版社2007.1
[5]王开荣.杨大地.应用数值分析[M]北京:
等教育出版社2010.7
[6]杨一都.数值计算方法[M].北京:
等教育出版社.2008.4
[7]韩明.王家宝.李林.数学实验(MATLAB版[M].上海:
济大学出版社2012.1
[8]圣宝建.关于数值积分若干问题的研究[J].南京信息工程大学.2009.05.01.:
42
[9]刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南京职业技术学院.2009.
[10]史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M].北京理工大学出版社.2010.4.
指导教师意见:
签名:
年月日
开题报告会纪要
时间
2013年8月26日
地点宁静楼229教师办公室
与会人员
姓名
职务(职称)
姓名
职务(职称)
姓名
职务(职称)
雍进军
导师(讲师)
邓喜才
副教授
李晟
副教授
龙林林
组长
会议记录摘要:
指导小组针对课题《二次函数性质的应用》提问了以下问题以及报告人的回答:
雍老师问:
选择此题目的目的?
潘晓祥答:
随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化,计算数学
中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
邓老师冋:
对这个冋题进行研究有什么实际的意义?
潘晓祥答:
计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性,又有实用性和实验性的技术特
征,计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科•在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方
法.例如,在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字字样设计中都有计算方法
的踪影。
李老师冋:
对这个冋题你有什么自己的看法?
潘晓祥答:
随着计算机技术的迅速发展和普及,现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的
必修课程•我们知道,计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积,提高计算方法的效率与提高计
算机硬件的效率冋样重要•科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中•所以,研究数值计算
方法可以让数学的应用更大更广。
会议主持人签名:
记录人签名:
年月日
指导小组
意见
负责人签名:
年月日
学院意见
负责人签名:
年月日
贵州师范学院
数学与计算机科学学院指导教师指导本科毕业论文情况登记表
论文(设计)题目
几种常用数值积分方法的比较用
学生姓名
潘晓祥
学号
1006020540200
年级
2010级
所属学院
数计学院
专
业
数学与应用数学
班级
四班
指导教师姓名
雍进军
职称
讲师
学历
硕士
指导时间
指导地点
指导内容
指导教师签名
备注
2013年06月10日
致远楼416
论文选题,资料准备
面授
2013年06月22日
网上
确定毕业论文选题
电子邮件
2013年06月26日
网上
怎样撰写毕业论文开题报告
电子邮件
2013年06月28日
网上
指导学生撰写开题报告
电子邮件
2013年07月14日
网上
帮助学生查找有关参考文献
电子邮件
2013年07月17日
手机
女M可构思自己的毕业论文
手机飞信
2013年08月21日
手机
听取学生毕业论文写作进展情况汇报
手机飞信
2013年08月28日
网上
解答学生在论文写作中遇到的疑惑
电子邮件
2013年9月09日
网上
帮助学生查找有关参考文献
电子邮件
2013年11月28日
网上
女M可规划自己的论文
电子邮件
2013年12月04日
手机
怎样写好论文引言
手机飞信
2013年12月08日
网上
怎样写好论文引言
电子邮件
2013年12月12日
网上
怎样写论文摘要
电子邮件
2013年12月16日
网上
怎样选取论文关键词
电子邮件
2013年12月20日
网上
怎样编辑论文中的公式
电子邮件
2014年01月05日
手机
督促学生在寒假中写好论文的初稿
电子邮件
2014年02月27日
宁静楼219
检查学生论文完成情况
面授
2014年03月03日
宁静楼219
对学生的论文初稿提出修改时意见
面授
2014年03月07日
宁静楼219
解答学生在修改时的困惑
面授
2014年03月11日
宁静楼219
指导学生修改论文
面授
贵州师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文(设计)
交叉评阅表
学号1006020540200
姓名潘晓祥专业数学与应用数学
论文(设计)题目
几种常用数值积分方法的比较班级四班
指导教师
意见
评语:
该冋学在论文撰写过程中对相关文献阅读范围广泛,方法正确,内容完整,能综合运用所学知
识分析和解决实际冋题。
毕业论文撰与过程中态度端正,勤奋刻苦。
论文研究了Newton—Cotes求
积公式、复化求积公式、Romberg积分、高斯积分方法,通过算例分析,得出几种常用数值积分方
法是解决头际计算冋题的重要方法。
论文结构合理,符合逻辑,文章层次分明,语言准确,文字通顺,达到规范性要求,建议作为学士论文答辩。
成绩:
(满分100分)指导教师(签名):
年月日
评阅教师
意见
评语:
该冋学具备较好的基础理论与专业知识,学习态度认真,阅读教师指定的参考资料、文献,较好的完成了任务书规定的工作量。
论文研究了Newton—Cotes求积公式、复化求积公式、Romberg积分、咼斯积分方法,通过算
例分析,得出几种常用数值积分方法是解决实际计算问题的重要方法。
论文结构合理,符合逻辑,文章层次分明,语言准确,文字通顺,达到本科毕业论文相关要求。
同意参加答辩。
成绩:
(满分100分)评阅教师(签名):
年月日
论文题目
几种常用的多项式插值方法
作者姓名
潘晓祥
学号
1006020540200
年级
2010级
所属学院
数计
专业
数学与应用数学
班级
本科(四)班
指导教师姓名、职称
雍进军讲师
答辩会纪要
时间
2014年5月11日
地点致远楼406
答辩
小组
成员
姓名
职务(职称)
姓名
职务(职称)
姓名
职务(职称)
左羽
教授
崔忠伟
副教授
廖玉梅
讲师
答辩中提出的主要问题及回答的简要情况记录:
1自己做的有哪些?
答:
第11页至第12页,总结进行比较。
2.程序运行过没有?
答:
运行过。
3.20页程序代码中,if后的是什么符号?
答:
连接作用的符号。
4•解释一下什么时候用分号,什么时候不用?
答:
回答不清。
5.摘要中央文拼与有错
答辩后修改
答辩小组负责人签名:
左羽
记录人签名:
梅林林
2014年5月11日
答
亠、丄
辩
小
组
意
见
评语:
该生能在规定时间叙述论文的主要内容,对提出的问题一般能回答,无原则错误。
答辩小组经过充分讨论,根据该生论文质量和答辩中的表现,冋意评定论文成绩为“中等”。
评定成绩:
77负责人(签名):
左羽2014年5月11日
摘要1
Abstract2
1前言3
2数值积分方法的基本思想3
3几类常用数值积分方法的简单分析5
3.1Newton—Cotes求积公式5
3.2复化求积公式6
3.3Romberg求积公式7
3.4高斯型求积公式8
4几类数值积分方法的简单比较评述9
5利用MATLAB®程应用对几类求积算法的分析比较10
结束语错误!
未定义书签。
致谢14
附录16
我们在求函数的积分时,往往因为原函数非常复杂以至于难以求出或用初等函数表示,这让我们计算起来非常困难,所以我们只能想办法求它的近似值,因此直接借助牛顿--莱布尼兹公式计算定积分的情况是非常少见的。
这时候数值积分就是解决这种问题的一种很好很有效的方法。
本文从数值积分问题的产生出发,详细介绍了一些数值积分的常用方法(Newton—Cotes求积公式,复化求积公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式)并对其进行了简要的分析,在探讨了这些数值积分算法的优缺点的理论之外,我们还将这些数值积分算法在计算机上通过matlab软件编程实现应用,并分别用各自求积公式进行运算,以此来分析比较各种求积公式的代数精度和计算误差。
关键词:
数值积分;求积公式;代数精度
Abstract
functionisverycomplexthatitisdifficulttofindtheelementaryfunctions,whichmakesuWeinthefunctionfortheintegration,oftenbecausetheoriginalsverydifficulttocalculate,sowecanonlythinkofawaytofindtheapproximatevalue,thusdirectlywithNewton-Leibnizformulacalculatingdefiniteintegralsituationisveryrare.Whennumericalintegrationistosolvethisprobleminaveryeffectivemethod.Fromthenumericalintegrationproblem,introducessomemethodsofnumericalintegration(Newton-Cotesquadratureformula,compositequadratureformulas,Longbeilatticequadratureformula,Gausstypequadratureformulas)andhascarriedonbriefanalysis,discussestheadvantagesanddisadvantagesofthesenumericalintegrationalgorithmtheory,wewillthesenumericalintegrationalgorithminthecomputerbyMATLABsoftwareprogrammingapplication,andseparatelywiththeirrespectivequadratureformulaforcomputing,inordertoanalyzethealgebraiccalculationprecisionanderrorcomparisonofvariousquadratureformulas.
Keywords:
Numericalintegration;Calculationmeth;numericalanalysis
丄、八、亠
1冃I」言
微积分的发明是世界数学史上一项辉煌的成就。
但在实际求积问题的时
候,求解积分却有着非常多局限性。
比如对于定积分Ff(x)dx在求某函数的定
积分时,在一定条件下,虽然有牛顿-莱布里茨公式1=bf(x)dx二F(b)—F(a)可弋a
以计算定积分的值,但在很多情况下f(x)的原函数不易求出或非常复杂。
被
积函数f(x)的原函数很难用初等函数表达出来,例如()=沁(,等;有的
x
函数f(x)的原函数F(x)存在,但其表达式太复杂,计算量太大,有的甚至无法有解析表达式。
因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多
的。
另外,许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数对这类函数的定积分,也不能用不定积分方法求解,只能设法求其近似值。
因此,探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的即有必要研究定积分的数值计算方法,以解决定积分的近似计算。
而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法,它的特点是利用被积函数f(x)在一些节点上的
信息求出定积分的近似值。
在很多实际应用中,只能知道积分函数在某些特定点的取值比如天气测量中的气温、湿度、气压等,医学测量中的血压、浓度等等。
通过研究,我们将会更熟练掌握一些数值积分方法去计算一些特定条件的数值计算,以便我们得到自己想要的结果。
2数值积分方法的基本思想
在数学分析中,计算连续函数f(x)在区间[a,b]上的积分是通过f(x)的原函数
F(x),由下列定积分公式
b
af(x)dx二F(b)-F(a)
得到的。
但由于大量被积函数的原函数不能用初等函数表示,因此,很难用
求原函数的公式bf(x)dx=F(b)—F(a)得到积分;有些被积函数f(x)不是明显知
道的,例如由数值表给出它的离散值,或者是它被定义为某个微分方程的解,而这个微分方程是不能显示解出的。
这说明,按bf(x)dx=F(b)—F(a)公式计算
La
定积分是有很大局限性的。
因而常常采用在电子计算机上很有效的数值积分方法。
我们从定积分的定义
n
f(x)dx:
•(b-a)'C(n,k)f(xk)
k=0
就是把整块曲线梯形的面积积分成若干个小曲边梯形面积的和,当无限细分时这个和取极限就是真正曲边梯形面积。
去掉取极限这一步,用有限个小曲边梯形面积的和,代替整块的曲边梯形面积,从而求得一个近似值,这就是数值积分的基本思想。
根据小区间的不同分割方法和各分点f(Z)值的不同选
择,就得到不同的数值积分公式。
数值求积公式是取l.a,b1上若干个点Xk处的高度f(Xk),通过加权A后,再
求和
n
、Akf(Xk)
k=0
从而得到积分的近似值。
数值求积公式写成一般形式
n
f(x)dx八AJ(Xk)
k=0
式中Xk称求积节点,Ak称求积系数,也称伴随节点Xk的权。
当积分区间〔a,bl确
定后,求积系数A仅仅与节点Xk的选取有关,而不依赖被积函数f(x)的具体
形式。
记
bn
R〔ff(x)dx-'A.f(xk)
ak=0
把RIf1称为求积公式的截断误差或余项。
数值求积方法的特点是直接利用积分区间l.a,b1上一些离散节点的函数值进行线性组合来近似计算定积分的值,从而将定积分的计算归结为函数值的计算,这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难,并为计算机求积分提供了可行性。
3几类常用数值积分方法的简单分析3.1Newton—Cotes求积公式
常用的梯形公式和Simpsor公式是低阶的牛顿-柯特斯公式,牛顿-柯特斯
公式是积分区间上等距节点的插值求积公式。
插值求积公式在积分区间上,
所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式,即
n
f(x)dx:
(b-a)二C(n,k)f(xk)
k=0
其中C(n,k)为Cotes求积公式的系数,是n和k的函数。
当n=1时,为梯形公式:
:
f(x)dx©9[f(a)f(b)]
a2
梯形公式的代数精度为1,有两个积分节点。
当n=2时,为Simpson公式:
Simpson公式的代数精度为3,有三个积分节点
由于只增加一个节点,其代数精度增加2,由此可知,Simpson公式比梯形公式代数精度高。
当n=4时,Newton—Cotes求积公式为Cotes公式:
:
f(x)dx烤[7f(a)32f(专)12f(宁)32f(宁)7f(b)]
Newton-Cotes公式的代数精度为5,有5个积分节点。
所以对于Newton-Cotes积分公式,n为偶数时的代数精度要比n为奇数时的积分公式效果比较优越。
但并不是n的值越大越好,当n过大时(n=8),求积公式的数值稳定性不好。
3.2复化求积公式
由于Newton-Cotes的节点n越大对应的精度就越高,但是n=8时公式的数值是不稳定的,因此就不能用增加求积节点的方法来提高精度,因此,我们常常将求积区间[a,b]分成若干小区间,然后在每个小区间上采用数值稳定的Cotes公式求小区间上的积分,然后把每个小区间上的结果加起来作为原定积分的近视值,这种方法构造的求积公式就叫做复化求积公式。
常用的复化求积公式有:
复化梯形公式:
b—,a1n」1
Mn二宁'f(X2jj)
2nj#
复化Simpson公式:
b-a
人盲“心))rg)f(X2k)]
变步长复化Simpson公式:
nb_an心
S2n八Ik[f(X。
)fgn)4、f(X2」2'f(X2k)]
k:
i6nkdkT
3.3Romberg求积公式
Romberg积分方法也叫做逐次分半加速法,它是在复化梯形公式误差估计的基础上,应用线性外推的方法构造出的一种加速算法。
将积分区间分成n等分和2n等分时,求得积分近似值Tn和T2n,并没有误差估计式
1
I•"T2n■3(T2n_Tn)
3
积分近似值T2n的误差大致等于3仃2「人),当用-「)对T?
.进行修正时,
33
-(T2n-Tn)与T2n之和比T?
n更接近于真值I,故^Bn-「)是对T?
n误差的一种补偿,
33
因此可以期望下式是一个更好的结果,即
T二T2n-(J-「)二今n2—;Tn
333
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 关 键 词:
- 常用 数值 积分 方法 比较 汇总