河北省衡水中学一模(理科数学).doc
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绝密★启用前试卷类型:
A
衡水中学2009—2010学年度第二学期第一次模拟考试
高三年级数学(理科)试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第II卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
考生注意:
1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.[来源:
学*科*网]
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径[来源:
学科网]
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
第I卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如果复数为纯虚数,则
A.B.0C.1D.2
2.设全集,集合,集合,则下列关系中正确的是()
A. B. C. D.
3.已知函数如果,则实数等于()
A.B.C.D.
4.设函数,把的图象向右平移个单位后,图象恰好为函数
的图象,则的值可以为()
A.B.C.D.
5.正四棱锥P—ABCD的底面积为3,体积为E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为()
A. B. C. D.
6.直线与双曲线的左右支分别交于点,与双曲线的右准线相交于P点,F为右焦点,若又,则实数的值为()
A.B.2C.D.3
7.设a,b,m为正整数,若a和b除以m的余数相同,则称a和b对m同余.
记作,已知,
则b的值可以是().
A.2007 B.2008 C.2009 D.2010
8.已知函数在点处的切线经过椭圆的右焦点,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
9.如图,设P、Q为△ABC内的两点,且,=+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A.B.C.D.[来源:
Zxxk.Com]
10.已知实数满足,则下列不等式成立的是()
A.B.C.D.
11.现有7件互不相同的产品,其中有4件次品,3件正品,每次从中任取一件测试,直到4件次品全被测出为止,则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有()种
A.216B.360C.432D.1080
12.定义在R上的函数满足,且当时,,则等于()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.已知数列.
14.平面、、两两互相垂直,点A∈,点A到、的距离都是3,P是上的动点,P到的距离是到点A距离的2倍,则点P的轨迹上的点到的距离的最小值为
15.设,则在以为圆心,为半径的圆中,面积最小的圆的标准方程是.
16.设,已知函数的定义域是,值域是,若关于的方程有唯一的实数解,则=.
三、解答题(共6个小题,第17题10分,其余12分,共70分)[来源:
Zxxk.Com]
17.已知△ABC的三个内角分别为A、B、C,所对的边分别为a、b、c,向量与向量的夹角为;
(1)求角B的大小.
(2)求的取值范围.
18.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖.盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案;抽奖规则是:
参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行.
(1)活动开始后,一位参加者问:
盒中有几张“海宝”卡?
主持人答:
我只知道,从盒中抽取两张都是“世博会会徽“卡的概率是,求抽奖者获奖的概率;
(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用表示获奖的人数,求的分布列及期望.
[来源:
学科网ZXXK]
19.直四棱柱中,底面为菱形,且为延长线上的一点,面.
(Ⅰ)求二面角的大小;
(Ⅱ)在上是否存在一点,使面?
若存在,求的值;不存在,说明理由.
20.设对于任意的实数,函数,满足,且,,,
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和;
(Ⅲ)设,存在整数和,使得对任意正整数不等式恒成立,求的最小值.
A
O
M
N
K
P
Q
yA
x
F
21.如图,已知椭圆的右焦点为F,过F的直线(非x轴)交椭圆于M、N两点,右准线交x轴于点K,左顶点为A.
(Ⅰ)求证:
KF平分∠MKN;
(Ⅱ)直线AM、AN分别交准线于点P、Q,设直线
MN的倾斜角为,试用表示线段PQ的长度|PQ|,
并求|PQ|的最小值.
22.己知.
(Ⅰ)若,函数在其定义域内是增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,证明函数只有一个零点;
(Ⅲ)的图象与轴交于两点,中点为,求证:
.
[来源:
Zxxk.Com]
第一次模拟考试数学(理科)答案
A卷:
1—12DCABCACBBDDA
13.14.15.16.1
17.解
(1)
cos<>=cos==cos-------4分
(2)
---------------------6分[来源:
学.科.网Z.X.X.K]
-------------------------10分
18.解:
(1)设“世博会会徽”卡有张,由--------------2分[来源:
学科网]
故“海宝”卡有6张,抽奖者获奖的概率为----------4分
(2)可能取的值为0,1,2,3,4,则-------------------------------------5分
(每个1分10分)
所以的分布列为
0
1
2
3
4
P
[来源:
学#科#网]
-----------------12分
19.解:
(Ⅰ)设与交于,如图所示建立空间直角坐标系,设,
则设
则
平面
即……………………2分
设平面的法向量为
则由得令
平面的一个法向量为
又平面的法向量为
二面角大小为………………………………………………………………6分
(Ⅱ)设得
…………10分
面
存在点使面此时……………………………………12分
20.解:
(Ⅰ)取,得,取,
故数列是首项是1,公比为的等比数列,所以
取,,得,即,故数列是公差为的等差数列,又,所以----------4分
(Ⅱ)
,两式相减得
所以---------------8分
(Ⅲ),
所以是增函数,那么
由于,则,由于,则,所以
因此当且时,恒成立,所以存在正数,使得对任意的正整数,不等式恒成立.此时,--------12分
21.解:
(1)法一:
作MM1⊥于M1,NN1⊥于N1,则,
又由椭圆的第二定义有∴∴∠KMM1=∠KNN1,即∠MKF=∠NKF,∴KF平分∠MKN………………………………5分[来源:
Zxxk.Com]
法二:
设直线MN的方程为.
设M、N的坐标分别为,由
∴设KM和KN的斜率分别为,显然只需证即可.∵∴
而
即得证.……5分
(2)由A,M,P三点共线可求出P点的坐标为
由A,N,Q三点共线可求出Q点坐标为,……………………6分
设直线MN的方程为.由
∴…………………………………………8分
则:
……………………………………10分
又直线MN的倾斜角为,则,∴
∴时,………………………………………………………………12分
22.解:
(Ⅰ)依题意:
在上递增,对恒成立[来源:
学&科&网]
即对恒成立,只需……………………………2分
当且仅当时取,
的取值范围为……………………………………………………………4分[来源:
Z,xx,k.Com]
(Ⅱ)当时,,其定义域是
……………………………………6分
时,当时,
函数在区间上单调递增,在区间上单调递减
当时,函数取得最大值,其值为
当时,即
函数只有一个零点………………………………………………………8分
(Ⅲ)由已知得两式相减,得
由及,得
…………………………………10分
令且
在上递减,
…………………………………………………………………12分
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