希望杯第14及答案.doc
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希望杯第14及答案.doc
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2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试)
一、选择题:
(50分)
1.y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一个因式,则k的值是()
(A)0;(B)-1;(C)1;(D)4
2.不等式0≤ax+5≤4的整数解是1、2、3、4,则a的取值范围是()
(A)a≤-;(B)a<-1;(C)-≤a<-1;(D)a≥-
3.整数x、y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,则x+y的值有()
(A)1个;(B)2个;(C)3个;(D)4个
4.如图1,在矩形ABCD中,AE,AF三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,则最接近矩形面积的是()
(A)13;(B)14;(C)15;(D)16
5.如图2,RtΔABC中,∠C=900,∠DAF=∠DAB,∠EBG=∠EBA,则射线AF与BG()
(A)平行;(B)延长后相交;(C)反向延长后相交;(D)可能平行也可能相交
6.Iftheradius(半径)ofcircleⅢinthefigure3(图3)isoftheradiusofcircleⅡ,andtheradiusofcircleⅡisoftheradiusofcircleⅠ,thentheareaoftheshadedregioniswhatpartoftheareaofcircleⅠ?
()
(A);(B);(C);(D)
7.凸n边形(n≥4)中,不算两个最大的内角,其余内角的和为1100,则n等于()
(A)12;(B)11;(C)10或9;(D)10
8.将长为12的线段截成长为整数的三段,使它们成为一个三角形的三边,则构成的三角形()
(A)不可能是等腰三角形;(B)不可能是等腰三角形;
(C)不可能是等边三角形;(D)不可能是钝角三角形;
9.数轴上的点A、B、P分别对应数:
-1、-4、x,并且P与A的距离大于P与B的距离,则()
(A)x>-3;(B)x>-2;(C)x<-2;(D)x<-
10.如图4,啤酒瓶高为h瓶内酒面高为a,若将瓶
盖盖好后倒置,酒面高为a,(a,+b=h),则酒瓶
的容积与瓶内酒的体积的比为()
(A)1+;(B)1+;(C)1+;(D)1+
二、填空题:
(50分)
11.方程丨x+3丨+丨3-x丨=丨x丨+5的解是___________.
12.有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:
“现在,有一半学生学数学,四分之一的学生学音乐,七分之一的学生在休息,还剩三个女同学┉┉.”那么毕达哥拉斯的学校中有____________学生.
13.方程x+=4的一个根是4,则另一个根是_____________.
14.已知:
对于正整数n,有,若某个正整数k满足
则k=___________。
15.已知,那么=________________.
16.小明到商场购买某个牌子的铅笔x支,用了y元(y为整数).后来他又去商场时,发现这种牌子的铅笔降阶20%,于是他比上一次多买了10支铅笔,用了4元钱,那么小明两次共买了铅笔_______支.
17.Ifa,bandcaresieds(边)oftheΔABC,anda2-bc=a(b-c),thenthefigure(形状)ofthetriangle(三角形)is_________.(用汉语填写)
18.如图5,是一个圆形花坛,中间的鲜花构成一个菱形图案
(单位:
米),若每平方米种植鲜花20株,那么这个菱形图
案中共有鲜花______株.
19.如图6,ΔABC中,AC=BC=5,∠ACB=800,O为ΔABC中一点,
∠OAB=100,∠OBA=300,则线段AO的长是_______.
20.已知x、y、z均为正整数,且7x+2y-5z是11的倍数,那么
3x+4y+12z除以11,得到的余数是_____.
三、解答题:
(要求写出推算过程,21题20分,22,23题各15分)
21.有一批影碟机(VCD)原售价:
800元/台.甲商场用如下办法促销:
购买台数
1~5台
6~10台
11~15台
16~20台
20台以上
每台价格
760元
720元
680元
640元
600元
乙商场用如下办法促销:
每次购买1~8台,每台打九折;每次购买9~16台,每台打八五折;每次购买17~24台,每台打八折;每次购买24台以上,每台打七五折.
(1)请仿照甲商场的促销列表,列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表.
(2)现在有A、B、C三个单位,A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD,问他们到哪家商场购买花费较少?
22.如图7,在锐角ΔABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点,P、Q、R分别是ΔADF、ΔBDE、ΔCEF的三余中线的交点.
(1)求ΔDEF与ΔABC的面积比;
(2)求ΔPDF与ΔADF的面积比;(3)求多边形PDQERF与ΔABC的面积比.
23.两条直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连结线段:
①同直线上的点不连结;
②连结的任意两条线段可以有共同的端点,但不得有其它的端点;
(1)画图说明当n=1、2、3时,连结的线段最多各有多少条?
(2)由
(1)猜想n(n为正整数)对点之间连结的线段最多有多少条,证明你的结论.
(3)当n=2003时,所连结的线段最多有多少条?
参考答案:
一.BCCCA,ADDDC.
二.
11.;
12.28;
13.;
14.8;
15.;
16.40或90;
17.等腰三角形;
18.480;
19.5;
20.0.
三.
21.
(1)乙商场的促销办法列表如下:
购买台数
1~8台
9~16台
17~24台
24台以上
每台价格
720元
680元
640元
600元
(2)比较两商场的促销办法可知:
购买台数
1~5台
6~8台
9~10台
11~15台
16台
17~19台
20~24台
24台以上
选择商场
乙
甲,乙
乙
甲,乙
甲
甲,乙
甲
甲,乙
因为到甲商场买21台VCD时共需
600×21=12600元,
而到乙商场买20台VCD时共需640×20=12800元,
12800>12600,
所以购买20台VCD时应去甲商场购买.
所以甲单位应到乙商场购买,B单位应到甲商场购买,C单位应到甲商场购买.
22.
(1)如图1,过点D作DG⊥BC于G,过点A作AH⊥BC于H,则DG∥AH,所以ΔBDG∽ΔBAH,又,BE=BC,
所以DG=AH,SΔBDE=SΔABC,
同理SΔADF=SΔCEF=SΔABC
所以SΔDEF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF=SΔABC.
(2)分别延长DP,FP交AF,AD于M,N,因为点P是ΔADF的三条中线的交点,
所以M,N分别是AF,AD的中点,且DP=DM,
过点P,M分别作DF的垂线,垂足分别为K,S,则ΔDKP∽ΔDSM,相似比为2∶3,所以KP=SM,
SΔPDF=SΔMDF,
又SΔMDF=SΔADF,得
SΔPDF=SΔADF.
(3)由
(2)知,
SΔQDE=SΔBDE,SΔREF=SΔCEF,
所以SΔPDF=SΔQDE=SΔREF=SΔABC.
所以SPDQERF=SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=SΔABC.
23.
(1)由图2可以看出,n=1时,最多可以连结1条线段,n=2时,最多可以连结3条线段,n=3时,最多可以连结5条线段.
(2)猜想:
对于正整数n,这n对点之间连结的直线段最多有2n-1条.
证明:
将直线标记为l1,l2,它们上面的点从左到右排列为A1,A2A3,┉,An和B1,B2,B3,┉,Bn,设这n对点之间连结的直线段最多有Pn条,显然,其中必有AnBn这一条,否则,Pn就不是最多的数.
当在l1,l2分别加上笫n+1个点时,不妨设这两个点在An与Bn的右侧,那么除了原来已经有的Pn条直线段外,还可以连结An+1Bn,An+1Bn+1这两条线段,或连结AnBn+1,An+1Bn+1,这两条线段.
所以Pn+1≥Pn+2.
另一方面,设对于n+1对点有另一种连法:
考虑图3中以An+1为端点的线段,若以An+1为端点的线段的条数大于1,则一定可以找到一个i≤n,使得对于任意的j
去掉An+1Bi,连结AnBi+1,得到新的连结图,而新的连结图满足要求且线段总数不变,将此操作一直续断下去,直到与An+1连结的线段只有一条An+1Bn+1为止.最后图中,与点Bn+1相关的线段只剩两条,即AnBn+1,An+1Bn+1,去掉这两条线段,则剩余Pn+2-2条线段,而图形恰是n对点的连结图,所以Pn+1-2≤Pn.
由此,我们得到Pn+1=Pn+2,而P1=1,P2=3,所以Pn=1+2×(n-1)=2n-1.
(3)当n=2003时,P2003=4005(条).
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