(4)A€F(U),d(A)=d(Ac),
称映射d为F(U)上的一个模糊度,d(A)称为F集A的模糊度。
该定义给出了关于模糊度的4条公里,它们所反映的现实是:
条件
(1)表明普通集是不模糊的;
条件
(2)和条件(3)表明,越靠近0.5就越模糊,尤其是当A(u)三0.5寸,是最模糊的,这时
c
Ac(u)=1-A(u)=0.5
这种模棱两可的情况是最难决策的;
条件(4)表明F集A与其补集Ac具有相同的模糊度。
二、F模式识别
1、典型模式识别系统
1未知类别模式的分类
I-
2、F集的贴近度定义
设A,B,C€F(U),若映射
N:
FUXFUt[0,1]
满足条件:
(1)N(A,B)=N(B,A),
⑵N(A,A)=1,NU,?
=0,
⑶若ABC,则N(A,C)乞N(A,B)N(B,C),
则称N(A,B)为F集A与B的贴近度。
N称为F(U)上的贴近度函数。
贴近度是对两个F集接近程度的一种度量。
3、F模式识别原则
F模式识别大致有两种方法,一种是直接方法,按最大隶属原则”归类,主要应用于个
体的识别;另一种是间接方法,按择近原则”归类,一般应用于群体模型的识别。
3.1最大隶属原则
设Ai€F(U)(i=1,2,…问对Uo€U,若存在i°,使
Aio(uo)=max{Ai(uo),A2(uo),…,A(uo)}
则认为u。
相对地隶属于Ai,这就是最大隶属原则。
适用于F集A只含有单一因素。
3.2择近原则
设Ai,B€F(U)(i=1,2,••对n,u0€U,若存在io,使
N(Aio,B)=max{N(Ai,B),N(A2,B),…,N(An,B)}则认为B与Ai最贴近,即判定B与Ai为一类。
该原则称为择近原则。
适用于F集A含有多个因素。
4、隶属函数的确定方法
直觉法、推理法、F统计法、三分法、二元对比排序法、F分布、人工神经网络法等;
若将隶属函数的确定转换成一系列参数或系数的最优化过程,则目前已有的许多经典优化算
法和群智能算法(如遗传算法、粒子群算法、蚁群算法、鱼群算法、免疫算法等)都可以运用。
4.1二元对比排序法
通过两两比较(二元对比)确定U中各元素关于F集A的相对隶属度值或优先级,进而确定F集A的隶属函数,具体方法包括:
相对比较法、择优比较法、对比平均法等。
4.2F分布
在客观事物中,最常见的是以实数R作论域的情形。
把实数R上F集的隶属函数称为F
分布,常见的F分布包括:
矩形分布与半矩形分布、梯形分布与半梯形分布、抛物型分布、正态分布、哥西分布、岭形分布等。
三、F关系与聚类分析
1、F关系的定义
设R是UXV上的一个F子集(简称F集),它的隶属函数
R:
UV>[0,1]
(u,v)—R(u,v)
确定了U中的元素u和V中的元素的关系程度,则称R为从U到V的一个F关系,记
UR>V
可见,F关系R由隶属函数R:
UV>[0,1]所刻画,即UXV上的F集确定了U到V的F
关系。
反之,F关系也是UXV上的一个F集。
因此,所有从U到V的F关系的集,可记为F(UXV),而F(UXU)表示从U到U的F关系,即表示U中的二元关系。
2、F矩阵定义
设矩阵
R=r“r“[0,1]
「j£「jl」
则称R为F矩阵,为F矩阵的元素。
「j
特别的,若满足「jj•{0,1},则称R为布尔矩阵。
由此可见,F矩阵与普通矩阵形状一样,不同的是F矩阵的元素都是[0,1]中的数。
对有限论域U={u1,U2,…,im},V={v1,V2,…,V},若「ij=Rui,Vj,贝UF矩阵
R=「表示从U到V的一个F关系,或者说一个F矩阵确定一个F关系。
ijm>n
3、入截矩阵
设R=「,,>0,11,记
ijm>n
|1Iij工丸rj=0rj:
:
.
则称R入为R的入截矩阵。
若记
R=「jmn
plrj>人rj=0"
其中
R广rij'mn
入截矩阵R入表示入截关系,即
一(u,v)UV,有
则称R入为R的入强截矩阵。
R,(u,v)R(u,v):
:
:
.三[0,1]
扎'
截矩阵必是布尔矩阵。
4、F关系的对称性和自反性
4.1F关系的对称性
定义1设R=(ry)■
(i=1,…,m,j=1,--),n
定义2设R=(r.)
vIij
mn,则称RT=(「ji)」nm为R的转置矩阵。
其中「广「
mn,若R=Z,则称R为对称矩阵。
T
ji
定义3设RF(UV),而RT•F(VU),则称Rt为R的转置关系,即
一(v,u)VU,
RT(v,u)二R(u,v)
定义4设-(u,v)・UU,RT(u,v)=R(u,v),则称R具有对称性(即是对称关系)。
可见
R是对称关系二R(v,u)=R(u,v)
4.2F关系的自反性
定义1若—(u,u)•UU,R(u,u),则称R为U上的自反关系;若
R^Gnn,且Iii=1,则称R为自反矩阵。
定义2若-(u,v)UU,有
1(叮0u“
R是自反关系=R二I
1u=v
则称I为恒等关系。
显然,
5、F关系的合成
设QF(UV),RF(VW)。
所谓Q对R的合成,就是从U到W的一个F关系,记
作QR。
它的关系程度是
(Q°R)(u,w)=篇(Q(u,v)aR(v,w))
v*V
当RF(UU),记
R2=RR,Rn=Rn』R
6、F关系的传递性
定义1设RF(UU)^[0,1],如果
R(u,v)_,且R(v,w)_\则R(u,w)-'
那么称R是传递F关系。
可见,R是传递的F关系二-,R.是传递的普通关系。
定理1R是传递的F关系的充要条件是R二R2
定义2设RF(UU),如果
(1)R是传递F关系且R二R;
⑵Q是任意传递F关系且Q二R和Q二R。
则称R为R的传递闭包,记t(R)=R。
可见传递闭包是所有包含R的最小的传递关系。
□0
定理2设RF(UU),总有t(R)二Rk。
k』
、nn
定理3R=Rk的充要条件为Rk二Rn1
k4k=1
Ank
定理4设U只有n个元素,R是U上的二元F关系,则R=Rk。
这个定理简化了
k」
传递闭包的计算。
An
定理5设R•叫n是自反矩阵,贝UR=Ro
7、F等价关系定义
设R•F(UU),如果满足:
(1)自反性R=l或R(u,u)=1;
⑵对称性RT=R或R(u,v)=R(v,u);
(3)传递性R=R2或按传递定义。
则称R为U上的F等价关系。
若U为有限论域,则U上的F等价关系R可用F矩阵来表示,并称R为F等价矩阵。
8F相似关系定义
定义1设RF(UU),如果具有自反和对称关系,则称R为U上的一个F相似关
系。
当论域U为有限时,F相似关系可以用F矩阵表示。
具有F相似关系的矩阵,称为F相似矩阵。
A
定理1相似矩阵RJnn的传递闭包是等价矩阵,且R=Rn
定理2设R^nn是自反矩阵,则任意自然数m—n,都有
R=R
9、聚类分析
9.1聚类算法的分类
、划分式聚类算法和基于网
目前聚类算法主要可分为三大类:
层次聚类算法(树聚类算法)格和密度的聚类算法。
9.2基于F等价矩阵模糊聚类分析的一般步骤
(1)数据标准化
1)建立数据矩阵
2)数据标准化
(2)建立F相似关系
(3)改造相似关系为等价关系
(4)聚类并画动态聚类图
除以上聚类法外,还有:
直接聚类法、编网法、最大数法等。
9.3模糊C均值聚类算法
⑴初始化。
设总样本集X={Xj|j=1,2,…,N聚类数为C(2(i=1,2,…,N)°k=1
现在要将样本集X划分为C类,记为X!
X2,…,X>
⑵选择C个初始聚类中心,记为V={vi(k),V2(k),…,cVk)}o
(3)计算所有样本与各聚类中心的欧氏距离dji。
按最小距离原则将样本集X进行聚类。
样本
xj对第i类的隶属度定义为:
ujio
(4)重新计算聚类中心Vi(k+1)
(5)若存在i€{1,2,…,C,}有Vi(k+1)称),则k=k+1,转⑶;否则聚类结束。
四、F映射与综合评判
1、F映射定义
f:
U>F(V)
是从U到V的F映射。
或表示为
u—f(u)=BF(V)
可见,F映射是这样的一种对应关系:
U上的任一元素u与V上的唯一确定F集B对应。
2、F变换定义
称映射
T:
F(U)>F(V)
为从U到V的一个F变换
可见,U上的F集A经变换T后,得到V上的F集B,记
T(A)=B
称B是A在F变换下的像,而A是B的原像。
当U,V均为有限时,这是F变换T就是映射
T:
U1m>U1n
如果给定RUmn,对任意AU1m,都可得到(按F关系的合成运算)
这时R既是一个变换,又确定一个映射Tr。
3、F线性变换定义
设A,B€F(U),若F变换T:
F(U)>F(V)满足
⑴T(AB)=TA-TB
(2)T(二A)=:
TA,a€[0,1],
则称T是F线性变换。
4、综合评判
4.1F综合评判介绍
F综合评判的基本思想是利用F线性变换原理和最大隶属原则,考虑与被评判事物相关的各
个因素,对其作出合理的综合评价。
综合评判有三要素:
(1)因素集:
U={ui,U2,…,mi},设与被评判对象相关的因素有m个;
⑵评语集:
V={vi,V2,…,"},设所有可能出现的评语有n个;
⑶单因素判断,即对单个因素ui(i=1,…,m)评判,,得到V上的F集(ni,ri2,…,m),所以
它是从U到V的一个F映射
f:
U>F(V)
5—(5』2,…,扁)
F映射f可以确定一个F关系RUmn,称为评判矩阵。
rn「12...r*1n
「21
「22..
a
.「2n
Jm1
「m2・
..rmn工
4.2一级综合评判模型
用U上的F集A=(a1,a2,…,m)表示各因素的权数分配,它与评判矩阵R的合成。
得出综合
评判集B=(b1,b2,…n)
AR=B=(b1,b2,,0)
ANaw,am)
R=(rij)mn,rij[0,1]
m
6=」am),j=12n
(2)综合评判模型n(或记为模型M(^•))
m
A=(ai,a2,…,am),'ai=1,a^0
i=4
R~(rij)mn,fij'[0,1]
m
bj=為ai®,j=1,2,n
i4
4.3多级综合评判模型
(1)二级综合评判模型
综合评判模型川
承沪订_Bj
C=AB=A-•-A_(bij)nxm
An^Rn一.Bn一
Bi为第i类属性评判的结果,而C是类之间的综合评判结果。
(2)进行二级评判时,如果各类包括的因素仍太多,又可将每一类按其某一属性再分为若干类,进行三级或更多级的综合评判。
4.4进行多层次F综合评判的步骤
(1)因素分类
(2)建立评判集
(3)建立权重集
1)因素类权重集
2)因素权重集
(4)一层综合评判
(5)二层综合评判