高中数学向量板块一向量的概念与线性运算完整讲义学生版.docx
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高中数学向量板块一向量的概念与线性运算完整讲义学生版
2019-2020年高中数学向量板块一向量的概念与线性运算完整讲义(学生版)
典例分析
题型一:
向量及与向量相关的基本概念
【例1】判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1)共线向量一定在同一条直线上。
()
(2)所有的单位向量都相等。
()
(3)向量共线,共线,则共线。
()
(4)向量共线,则()
(5)向量,则。
()
(6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。
()
【例2】给出命题
⑴零向量的长度为零,方向是任意的.
⑵若,都是单位向量,则=.
⑶向量与向量相等.
⑷若非零向量与是共线向量,则,,,四点共线.
以上命题中,正确命题序号是()
A.⑴B.⑵C.⑴⑶D.⑴⑷
【例3】如图,在正方形中,下列描述中正确的是()
A.B.
C.D.
【例4】下列命题正确的是()
A.与共线,与共线,则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量与不共线,则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【例5】设为单位向量,①若为平面内的某个向量,则;②若与平行,则;③若与平行且,则.上述命题中,假命题个数是()
A.B.C.D.
【例6】下列命题中正确的有:
()
⑴四边形是平行四边形当且仅当;
⑵向量与是两平行向量;
⑶向量与是共线向量,则,,,四点必在同一直线上;
⑷单位向量不一定都相等;
⑸与共线,与共线,则与也共线;
⑹平行向量的方向一定相同;
【例7】判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向
(2)若,则
(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若,,则;
(7)若,,则
(8)若四边形ABCD是平行四边形,则
(9)的充要条件是且;
【例8】在四边形ABCD中,“
”是“四边形ABCD为梯形”的
A、充分不必要条件B、必要不充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
【例9】判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;
②单位向量都相等;
③任一向量与它的相反向量不相等;
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件;
⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
【例10】平面向量,共线的充要条件是()
A.,方向相同B.,两向量中至少有一个为零向量
C.,D.存在不全为零的实数,,
【例11】给出下列命题:
①若,则;
②若是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;
③若,,则;
④的充要条件是且;
⑤若,,则;
其中正确的序号是.
题型二:
向量的加、减法
【例12】化简
【例13】化简下列各式:
⑴;⑵
【例14】若,,其中,是已知向量,求,.
【例15】设是所在平面内的一点,,则( )
A.B.
C.D.
【例16】如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是()
A. B.
C.D.
【例17】是的边上的中点,则向量()A.B.C.D..
【例18】根据图示填空:
⑴;⑵.
【例19】已知是平面上的三个点,直线上有一点,满足,则()
A.B.C.D.
【例20】设,,,分别是的三边、、上的点,且则与()
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
【例21】如图,,,分别是的边,,的中点,则()
A.B.
C.D.
【例22】如图所示,是四边形的对角线的中点,已知,求向量.
【例23】如图,在ΔABC中,D、E为边AB的两个三等分点,,,求,.
【例24】已知任意四边形中,分别是的中点,求证:
.
【例25】若则向量的关系是()
A.平行B.重合C.垂直D.不确定
【例26】若非零向量,满足,则()
A. B.C.D.
【例27】在所在的平面上有一点,满足,则与的面积之比是()
A.B.C.D.
题型三:
向量数乘运算及其几何意义
【例28】已知、是两个不共线的向量,若它们起点相同,、、t(+)三向量的终点在一直线上,则实数t=_________.
【例29】设,,为非零向量,其中任意两个向量不共线,已知与共线,且与共线,则.
【例30】已知是不共线的向量,,,,则四点中共线的三点是___________
【例31】设是不共线的两个向量,已知,,,若三点共线,求的值.
【例32】设是不共线的向量,已知向量
,若三点共线,求的值.
【例33】已知A、B、C、P为平面内四点,求证:
A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使,且m+n=1.
【例34】已知向量
,若向量和共线,则下列关系一定成立的是()
A、B、C、D、或
【例35】D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点,且,,给出下列命题,其中正确命题的个数是()
①②
③④
A、1B、2C、3D、4
【例36】已知:
,则下列关系一定成立的是()
A、A,B,C三点共线B、A,B,D三点共线
C、C,A,D三点共线D、B,C,D三点共线
【例37】如图,在中,、、分别是、、上的中线,它们交于点,则下列各等式中不正确的是()
A.B.
C.D.
【例38】如图,已知
,用表示,则()
A.B.
C.D.
【例39】已知
,且,试求t关于k的函数。
【例40】证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【例41】向量方法证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知四边形ABCD,AC与BD交于O,AO=OC,DO=OB,求证:
ABCD是平行四边形。
【例42】已知的两条对角线与交,是任意一点.
求证:
+++=
【例43】如图所示,,,,…,是的个等分点,以,,…,及这个点中任意两个为起始点和终点的向量中,模等于半径倍的向量有多少个?
【例44】已知五边形,、、、分别是边、、、的中点,、分别是和的中点,求证:
平行且等于.
【例45】如图,、分别是平行四边形的边、的中点,、与对角线分别交于点和点.求证.(向量法)
【例46】四边形中,,,,分别为,,,的中点,为的中点,试用向量的方法证明:
也是的中点.
【例47】在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则()
A.B.
C.D.
【例48】如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若,则 ,=.
【例49】若等边的边长为,平面内一点满足,则,.(用,向量表示)
【例50】如图,在△OAB中,,,AD与BC交于M点,设,,
(1)试用和表示向量
(2)在线段AC上取一点E,线段BD上取一点F,使EF过M点,设,。
求证:
。
2019-2020年高中数学向量板块三平面向量的数量积完整讲义(学生版)
典例分析
题型一:
数量积运算
【例51】已知向量,,若,则()
A.B.C.D.
【例52】已知,,与的夹角为,求;
【例53】已知向量与的夹角为,且,那么的值为.
【例54】若、、为任意向量,,则下列等式不一定成立的是()
A.B.
C.D.
【例55】等边的边长为,则
【例56】设是单位向量,且,则的最小值为()
A.B.C.D.
【例57】如图,在中,
,是边上一点,,则等于()
A.B.C.D.
【例58】在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是()
A.B.
C.D.
【例59】若向量,满足,与的夹角为,则( )
A.B.C.D.2
【例60】直角坐标平面上三点、、,若为线段的三等分点,则.
题型二:
向量求模
【例61】已知,,且.
⑴求的值;⑵求的值.
【例62】在中,已知,,,求.
【例63】已知,,与的夹角为120°,求:
⑴;⑵⑶;⑷
【例64】已知向量,若与垂直,则.
【例65】已知向量,若与垂直,则()
A.B.C.D.
【例66】已知向量
,则()
A.B.C.D.
【例67】已知与的夹角为,那么等于()
A.2B.C.6D.12
【例68】设是边长为1的正三角形,则=.
【例69】已知,,和的夹角为,则为()
A.B.C.D.
【例70】已知平面向量,.若,则_____________.
【例71】已知,是非零向量,且,夹角为,则向量的模为.
【例72】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是()
A.B.C.D.
【例73】在△ABC中,已知.
(1) 求AB边的长度;
(2)证明:
;
(3)若,求.
题型三:
向量求夹角与向量垂直
【例74】已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角.
【例75】,,,且,则向量与的夹角为()
A.B.C.D.
【例76】设非零向量=,=,且,的夹角为钝角,求的取值范围
【例77】已知,,如果与的夹角为锐角,则的取值范围。
【例78】给出命题:
⑴在平行四边形中,.
⑵在中,若,则是钝角三角形.
⑶,则
以上命题中,正确的命题序号是.
【例79】已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角.
【例80】已知,,且,则
【例81】在中,,,求值.
【例82】(xx重庆)与向量,的夹角相等,且模长为的向量是()
A.B.或
C.D.或
【例83】已知,则与垂直的单位向量的坐标为;
【例84】已知,,且与垂直,求与的夹角。
【例85】若非零向量、满足,证明:
【例86】在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k值
【例87】已知为的三个内角的对边,向量
.若,且
,则角的大小分别为()
A.B.C.D,
【例88】已知向量a=(x,1),b=(3,6),ab,则实数的值为
A.B.C.D.
【例89】在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量,,若,则角A的大小为()
A.B.C.D.
【例90】已知=(-1,3),=(2,-1),若(k+)⊥(-2),则k=.
【例91】内有一点,满足,且.则一定是()
A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形
【例92】已知点和,试推断能否在轴上找到一点,使?
若能,求点的坐标;若不能,说明理由.
【例93】设,,,点上线段上的一个动点,.若,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
【例94】设平面内的向量,,,点是直线上的一个动点,且,求的坐标及的余弦值.
【例95】设平面上向量
与不共线,
(1)证明向量与垂直
(2)当两个向量与的模相等,求角.
【例96】已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()
A.[0,]B.C.D.
【例97】为非零向量,当的长度取最小值时.
⑴求的值;
⑵求证:
与垂直.
【例98】己知向量
,与的夹角为60°,直线与圆
的位置关系是()
A.相切B.相交C.相离D.随的值而定
【例99】设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点,求·的最大值和最小值;
【例100】
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