勾股定理经典例题详解.docx

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勾股定理经典例题详解

勾股定理经典例题详解

知识点一：

勾股定理

　　如果直角三角形的两直角边长分别为：

a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

　　要点诠释：

（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

　　　　　　　（3）理解勾股定理的一些变式：

　　　　　　　　　　c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，　　c2=（a+b）2-2ab

知识点二：

用面积证明勾股定理

　　方法一：

将四个全等的直角三角形拼成如图

（1）所示的正方形。

　　　　　　图

（1）中

，所以

。

　　方法二：

将四个全等的直角三角形拼成如图

（2）所示的正方形。

　　　　　　图

（2）中

，所以

。

　　方法三：

将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

　　　　　　在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

　　　　　　在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

　　　　　　所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：

.

　　方法四：

如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以

。

知识点三：

勾股定理的作用

　　1．已知直角三角形的两条边长求第三边；　2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；

　　3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为

的线段。

2.在理解的基础上熟悉下列勾股数

　　满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

　　熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

　　①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．

　　如果（a,b,c）是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

经典例题透析类型一：

勾股定理的直接用法

　　1、在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b，　

（2）已知a=40，b=9，求c；　（3）已知c=25，b=15，求a.

　　思路点拨:

写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

　　解析：

（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

　　　　　（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

　　总结升华：

有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。

如：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

　　举一反三

　　【变式】:

如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

　　【答案】∵∠ACD=90°

　　　　　　AD=13,CD=12

　　　　　　∴AC2=AD2－CD2

　　　　　　　　　=132－122

　　　　　　　　　=25

　　　　　　∴AC=5

　　　　　　又∵∠ABC=90°且BC=3

　　　　　　∴由勾股定理可得

　　　　　　AB2=AC2－BC2

　　　　　　　=52－32

　　　　　　　=16

　　　　　　∴AB=4

　　　　　　∴AB的长是4.

类型二：

勾股定理的构造应用

　　2、如图，已知：

在

中，

，

，

.求：

BC的长.

　　思路点拨：

由条件

，想到构造含

角的直角三角形，为此作

于D，则有

，

，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.

　　解析：

作

于D，则因

，

　　　　　∴

（

的两个锐角互余）

　　　　　∴

（在

中，如果一个锐角等于

，

　　　　　那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

　　　　　根据勾股定理，在

中，

.

　　　　　根据勾股定理，在

中，

.

　　　　　∴

.

　　总结升华：

利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

　　举一反三【变式1】如图，已知：

，

，

于P.求证：

.

　　思路点拨:

图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平

方之间的关系.

　　解析：

连结BM，根据勾股定理，在

中，

.

　　　　　而在

中，则根据勾股定理有

.

　　　　　∴

　　　　　又∵

（已知），

　　　　　∴

.

　　　　　在

中，根据勾股定理有

，

　　　　　∴

.

　　【变式2】已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

　　分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

　　解析：

延长AD、BC交于E。

　　　　　∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

　　　　　∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

　　　　　∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=

=

。

　　　　　∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=

=

。

　　　　　∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

AB·BE-

CD·DE=

类型三：

勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

　　3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了

到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

　　思路点拨：

把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。

　　解析：

（1）过B点作BE

米，

　　　　CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

　　　　因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．

（二）用勾股定理求最短问题

　　4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

　　思路点拨：

解答本题的思路是：

最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．

　　解析：

设正方形的边长为1，则图

（1）、图

（2）中的总线路长分别为

　　　　　AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3

　　　　　图（3）中，在Rt△ABC中

　　　　　同理

　　　　　∴图（3）中的路线长为

　　　　　图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH

　　　　　由∠FBH＝

　及勾股定理得：

　　　　　EA＝ED＝FB＝FC＝

　　　　　∴EF＝1－2FH＝1－

　　　　　∴此图中总线路的长为4EA+EF＝

3＞>

　　　　　∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．

　　总结升华：

在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．

　　举一反三

　　【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

　　解：

　　如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，　根据勾股定理得　

　　（提问：

勾股定理）

　　∴AC＝

＝

＝

≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

　　答：

最短路程约为１０．７７cm．

类型四：

利用勾股定理作长为

的线段

　　5、作长为

、

、

的线段。

　　思路点拨：

由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于

，直角边为

和1的直角三角形斜边长就是

，类似地可作

。

　　作法：

如图所示

（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；

（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角

。

斜边为

；

　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形

，这样斜边

、

、

、

的长度就是

、

、

、

。

　　总结升华：

（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；

（2）取单位长时可自定。

一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。

　　举一反三【变式】在数轴上表示

的点。

　　解析：

可以把

看作是直角三角形的斜边，

，

　　　　　为了有利于画图让其他两边的长为整数，

　　　　　而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

　　作法：

如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，

　　　　　以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为

。

类型五：

逆命题与勾股定理逆定理

　　6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

　　1．原命题：

猫有四只脚．（正确）

　　2．原命题：

对顶角相等（正确）

　　3．原命题：

线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

　　4．原命题：

角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

　　思路点拨：

掌握原命题与逆命题的关系。

　　解析：

1.逆命题：

有四只脚的是猫（不正确）

　　　　　2.逆命题：

相等的角是对顶角（不正确）

　　　　　3.逆命题：

到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）

　　　　　4.逆命题：

到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）

　　总结升华：

本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

　7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

　　思路点拨：

要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。

　　解析：

由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

　　　　　a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

　　　　　∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。

　　　　　∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。

　　　　　∴a=3，b=4，c=5。

　　　　　∵32+42=52,

　　　　　∴a2+b2=c2。

　　由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

　　总结升华：

勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

　　举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

　　【答案】：

连结AC

　　　　　　　∵∠B=90°，AB=3，BC=4

　　　　　　　∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

　　　　　　　∴AC=5

　　　　　　　∵AC2+CD2=169，AD2=169

　　　　　　　∴AC2+CD2=AD2

　　　　　　　∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

　　【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.

　　分析:

本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:

a2+b2=c2即可

　　证明：

　　　　　所以△ABC是直角三角形.

　　【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=

AB。

　　　　　　请问FE与DE是否垂直?

请说明。

　　【答案】答：

DE⊥EF。

　　证明：

设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,

　　　　　∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

　　　　　DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

　　　　　连接DF（如图）

　　　　　DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

　　　　　∴DF2=EF2+DE2,

　　　　　∴FE⊥DE。

经典例题精析

类型一：

勾股定理及其逆定理的基本用法

　　1、若直角三角形两直角边的比是3：

4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

　　思路点拨：

在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

　　解析：

设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

　　　　　（3x）2+（4x）2＝202

　　　　　化简得x2＝16；

　　　　　∴直角三角形的面积＝

×3x×4x＝6x2＝96

　总结升华：

直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

　　举一反三　【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

　　【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D

　　　　　　则：

BD＝

BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

　　　　　　∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）

　　　　　　∴BD＝1

　　　　　　在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：

AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3

　　　　　　∴AD＝

　　　　　　S△ABC＝

BC·AD＝

　　注：

等边三角形面积公式：

若等边三角形边长为a，则其面积为

a。

　　【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

　　【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：

　　　　　　由

（1）得：

x+y＝7，

　　　　　　（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49（3）

　　　　　　（3）－

（2），得：

xy＝12

　　　　　　∴直角三角形的面积是

xy＝

×12＝6（cm2）

　　【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

　　思路点拨：

首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。

　　解：

此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：

　　　　（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2

　　　　化简得：

n2＝4

　　　　∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2

　　总结升华：

注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

　　【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

　　A、8，15，17　　　B、4，5，6　　　C、5，8，10　　　D、8，39，40

　　解析：

此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

　　　　　对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：

b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。

　　　　　例如：

对于选择D，

　　　　　∵82≠（40+39）×（40－39），

　　　　　∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

　　　　　同理可以判断其它选项。

　【答案】：

A

　　【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

　　解：

连结AC

　　　　∵∠B=90°，AB=3，BC=4

　　　　∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

　　　　∴AC=5

　　　　∵AC2+CD2=169，AD2=169

　　　　∴AC2+CD2=AD2

　　　　∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

　　　　∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=

AB·BC+

AC·CD=36

类型二：

勾股定理的应用

　　2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

　　思路点拨：

（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。

（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

　　解析：

作AB⊥MN，垂足为B。

　　　　　在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

　　　　　∴AB＝

AP＝80。

（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

　　　　　∵点A到直线MN的距离小于100m,

　　　　　∴这所中学会受到噪声的影响。

　　　　　如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100（m），

　　　　　由勾股定理得：

BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

　　　　　同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,

　　　　　∴CD＝120（m）。

　　　　　拖拉机行驶的速度为:

18km/h＝5m/s

　　　　　t＝120m÷5m/s＝24s。

　　答：

拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

　　总结升华:

勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

　　举一反三　【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

　　解析：

他们原来走的路为3+4＝7（m）

　　　　　设走“捷径”的路长为xm，则

　　　　　故少走的路长为7－5＝2（m）

　　　　　又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。

【答案】4

　　【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？

平行四边形ABCD的面积是多少？

　　（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

　　【答案】

（1）单位正三角形的高为

，面积是

。

（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积

。

　　　　　　（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，

，

，故

类型三：

数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

　　3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

　　思路点拨：

现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．

　　解：

连接AD．

　　　　因为∠BAC=90°，AB=AC．　又因为AD为△ABC的中线，

　　　　所以AD=DC=DB．AD⊥BC．

　　　　且∠BAD=∠C=45°．

　　　　因为∠EDA+∠ADF=90°．　又因为∠CDF+∠ADF=90°．

　　　　所以∠EDA=∠CDF．　所以△AED≌△CFD（ASA）．

　　　　所以AE=FC=5．

　　　　同理：

AF=BE=12．

　　　　在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

　　总结升华：

此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题，我们可以了解：

当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

（二）方程的思想方法

　　4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

，求

、

、

的值。

　　思路点拨：

由

，再找出

、

的关系即可求出

和

的值。

　　解：

在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，

　　　　则

，由勾股定理，得

。

　　　　因为

，所以

，

，

，

。

　　总结升华：

在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

　　举一反三：

【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

　　解：

因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

　　　　因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，

　　　　在Rt△ABF中，　AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

　　　　所以

。

　所以

。

　　　　设

，则

。

　　　　在Rt△ECF中，

，即

，解得

。

　即EF的长为5cm。