排列组合应用题解题策略.docx
- 文档编号:15948520
- 上传时间:2023-07-09
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:117.08KB
排列组合应用题解题策略.docx
《排列组合应用题解题策略.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《排列组合应用题解题策略.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
排列组合应用题解题策略
第一讲:
排列组合应用题的类型及解题策略
排列组合问题,通常都是出现在选择题或填空题中,或结合概率统计综合出题,它联系实际,生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握。
实践证明,解决问题的有效方法是:
题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一.处理排列组合应用题的一般步骤为:
①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
二.处理排列组合应用题的规律
(1)两种思路:
直接法,间接法。
(2)两种途径:
元素分析法,位置分析法。
解决问题的入手点是:
特殊元素优先考虑;特殊位置优先考虑。
特殊优先法:
对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。
例1.(06上海春)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
解:
分二步:
首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=48.从而应填48.
对排列组合的混合题,一般先选再排,即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有____264_____种(用数字作答).
三.基本题型及方法:
1.相邻问题
(1)、全相邻问题,捆邦法
例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有(C)种。
A)720B)360C)240D)120
说明:
从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
(2)、全不相邻问题,插空法
例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法,
解:
先将6个歌唱节目排好,其中不同的排法有6!
,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有
种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为
种
例4(06重庆卷)高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
(A)1800(B)3600(C)4320(D)5040
解:
不同排法的种数为
=3600,故选B
说明:
从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此类问题可以先将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。
(3).不全相邻排除法,排除处理
例5.五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法?
解:
例6.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是
解法一:
①前后各一个,有8×12×2=192种方法
②前排左、右各一人:
共有4×4×2=32种方法
③两人都在前排:
两人都在前排左边的四个位置:
乙可坐2个位置
乙可坐1个位置
2+2=4
1+1=2
此种情况共有4+2=6种方法
因为两边都是4个位置,都坐右边亦有6种方法,所以坐在第一排总共有6+6=12种方法
④两人都坐在第二排位置,先规定甲左乙右
∴ 甲左乙右总共有
种方法.同样甲、乙可互换位置,乙左甲右也同样有55种方法,所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2=110种方法。
综上所述,按要求两人不同排法有192+32+12+110=346种
解法二:
考虑20个位置中安排两个人就坐,并且这两人左右不相邻,4号座位与5号座位不算相邻(坐在前排相邻的情况有12种。
),7号座位与8号座位不算相邻(坐在后排相邻的情况有22种。
),共有
种
2、顺序一定,除法处理或分类法。
例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有3面红旗、2面白旗,把5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是()(用数字作答)。
解:
5面旗全排列有
种挂,由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法,故有
说明:
在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷
例8.(06湖北卷)某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是。
(用数字作答)
解一:
依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中(插一个或二个),可得有
=30种不同排法。
解二:
=30
例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位的数字的共有()
A)210个B)300个C)464个D)600个
解:
故选(B)
4、多元问题,分类法
例10.(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种
解析:
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,①甲、丙同去,则乙不去,有
=240种选法;②甲、丙同不去,乙去,有
=240种选法;③甲、乙、丙都不去,有
种选法,共有600种不同的选派方案.
例11:
(06全国卷I)设集合
。
选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
A.
B.
C.
D.
解析:
若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有
=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有
=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有
=5种;若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有
=1种;若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有
=10种;若集合A中有两个元素,集合B中有两个个元素,则选法种数有
=5种;若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有
=1种;若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有
=5种;若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有
=1种;若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有
=1种;总计有
,选B.
解法二:
集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,
从5个元素中选出2个元素,有
=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;
从5个元素中选出3个元素,有
=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;
从5个元素中选出4个元素,有
=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;
从5个元素中选出5个元素,有
=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;
总计为10+20+15+4=49种方法。
选B.
例12(06天津卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
解析:
将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:
①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有
种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有
种方法;则不同的放球方法有10种,选A.
说明:
元素多,取出的情况也多种,可按要求分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。
5、交叉问题,集合法(二元否定问题,依次分类)。
例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?
解:
设全集U={6人中任选4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有:
card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252
例14、同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()
A)6种B)9种C)11种D)23种
解:
此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一数,且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。
所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法;第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格,又有3种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法,故共有3×3×1=9种填法。
故选B
说明:
求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依此即可完成。
说明:
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素的个数的公式来求解。
6、多排问题,单排法
例15、两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一座位),则不同的座法为
A)
B)
C)
D)
解:
此题分两排座可以看成是一排座,故有
种座法。
∴选(D)
说明:
把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。
7、至少问题,分类法或间接法(排除处理)
例16.(06福建卷)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有
(A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种
解析:
从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有
=186种,选B.
例17.(06辽宁卷)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
【解析】两老一新时,有
种排法;两新一老时,有
种排法,即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
例18.(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有
(A)30种 (B)90种(C)180种 (D)270种
解析:
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有
种方法,再将3组分到3个班,共有
种不同的分配方案,选B.
说明:
含“至多”或“至少”的排列组合问题,是需要分类问题,或排除法。
排除法,适用于反面情况明确且易于计算的情况。
8、部分符合条件淘汰法
例19.四面体的顶点各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()A)150种B)147种C)144种D)141种
解:
10个点取4个点共有
种取法,其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面,这样的面共有6个,又各棱中点共6个点,有四点共面的平面有3个,故符合条件不共面的平面有
选D
说明:
在选取总数中,只有一部分符合条件,可从总数中减去不符合条件数,即为所求。
9.分组问题与分配问题
①分组问题:
均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理
例20。
有9个不同的文具盒:
(1)将其平均分成三组;
(2)将其分成三组,每组个数2,3,4。
上述问题各有多少种不同的分法?
分析:
(1)此题属于分组问题:
先取3个为第一组,有
种分法,再取3个不第二组,有
种分法,剩下3个为第三组,有
种分法,由于三组之间没有顺序,故有
种分法。
(2)同
(1),共有
种分法,因三组个数各不相同,故不必再除以
。
练习:
12个学生平均分成3组,参加制作航空模型活动,3个教师各参加一组进行指导,问有多少种分组方法?
②分配问题:
定额分配,组合处理;随机分配,先组后排。
例21.有9本不同的书:
(1)分给甲2本,乙3本,丙4本;
(2)分给三个人,分别得2本,3本,4本。
上述问题各有多少种不同的分法?
(1)此题是定额分配问题,先让甲选,有
种;再让乙选,有
种;剩下的给丙,有
种,共有
种不同的分法
(2)此题是随机分配问题:
先将9本书分成2本,3本,4本共有三堆,再将三堆分给三个人,共有
种不同的分法。
例22:
对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能?
解:
第5次必测出一次品,余下3件次品在前4次被测出,从4件中确定最后一件次品有
种方法,前4次中应有1件正品、3件次品,有
种,前4次测试中的顺序有
种,由分步计数原理即得:
(
)
=576。
【评述】本题涉及一类重要问题:
问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后排列
例23(06湖南卷)某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()
A.16种B.36种C.42种D.60种
解析:
有两种情况,一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目,此时有
,
二是在在两个城市分别投资1,1,1个项目,此时有
,
共有
=60,故选(D)
10.隔板法:
隔板法及其应用技巧
在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中,每盒至少一个,求方法数的问题,常用隔板法。
见下例:
例24.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。
(即:
10个相同的小球分给三人,每人至少1个,有多少种方法?
)
分析:
将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x.y.z之值(如图)
○○○○○○○○○○
则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为
个。
实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。
下面举例说明:
技巧一:
添加球数用隔板法。
例25.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。
分析:
注意到x、y、z可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。
怎么办呢?
只要添加三个球,给x、y、z各一个球。
这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了,故解的个数为
=66个。
【小结】本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。
技巧二:
减少球数用隔板法。
例26.将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数。
分析1:
先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,有1种方法;再把剩下的14个球,分成4组,每组至少1个,由例25知有
=286种方法。
分析2:
第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例26知有
=286种方法。
【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。
11.数字问题(组成无重复数字的整数)
①能被2整除的数的特征:
末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:
末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征:
各位数字之和是3的倍数;能被9整除的数的特征:
各位数字之和是9的倍数。
③能被4整除的数的特征:
末两位是4的倍数。
④能被5整除的数的特征:
末位数是0或5。
5能被25整除的数的特征:
末两位数是25,50,75。
6能被6整除的数的特征:
各位数字之和是3的倍数的偶数。
例27(06北京卷)在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有
(A)36个(B)24个(C)18个(D)6个
解:
依题意,所选的三位数字有两种情况:
(1)3个数字都是奇数,有
种方法
(2)3个数字中有一个是奇数,有
,故共有
+
=24种方法,故选B
例28。
(06天津卷)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 24 个(用数字作答).
12.涂色问题:
(1)用计数原理处理的问题,需要关注图形的特征:
多少块?
多少色?
(2)以涂色先后分步,以色的种类分类。
例29、(03全国)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图)。
现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花,则不同的栽种方法有120种?
例30、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,若只有五种颜色可供使用,则不同的染色种数为420
应该指出的是,上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的,对于同一问题有时会有多种方法,这时要认真思考和分析,灵活选取最佳方法。
例31、如果把一个圆分成
个不同的扇形,用
种不同的颜色进行染色,且要求相邻的扇形染不同的颜色,试问共有多少种不同的染色方法?
第一讲:
排列组合应用题的类型及解题策略
排列组合问题,通常都是出现在选择题或填空题中,或结合概率统计综合出题,它联系实际,生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握。
实践证明,解决问题的有效方法是:
题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一.处理排列组合应用题的一般步骤为:
①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
二.处理排列组合应用题的规律
(3)两种思路:
直接法,间接法。
(4)两种途径:
元素分析法,位置分析法。
解决问题的入手点是:
特殊元素优先考虑;特殊位置优先考虑。
特殊优先法:
对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。
例1.(06上海)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
练习:
有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种(用数字作答).
三.基本题型及方法:
1.相邻问题
(1)、全相邻问题:
捆邦法
例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有()种。
A)720B)360C)240D)120
(2)、全不相邻问题:
插空法
例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少不同的排法,
例4(06重庆卷)高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
(A)1800(B)3600(C)4320(D)5040
(3).不全相邻排除法,排除处理
例5.五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法?
例6.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是
2、顺序一定,除法处理或分类法。
例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有3面红旗、2面白旗,把5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是()(用数字作答)。
例8.(06湖北卷)某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是。
(用数字作答)
例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位的数字的共有()
A)210个B)300个C)464个D)600个
4、多元问题,分类法
例10.(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种
例11:
(06全国卷I)设集合
。
选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有
A.
B.
C.
D.
例12(06天津卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
5、交叉问题,集合法(二元否定问题,依次分类)。
例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?
例14、同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有()
A)6种B)9种C)11种D)23种
6、多排问题,单排法
例15、两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一座位),则不同的座法为
A)
B)
C)
D)
7、至少问题,分类法或间接法(排除处理)
例16.(06福建卷)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有
(A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种
例17.(06辽宁卷)5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
例18.(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有
(A)30种 (B)90种(C)180种 (D)270种
8、部分符合条件淘汰法
例19.四面体的顶点各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有()A)150种B)147种C)144种D)141种
9.分组问题与分配问题
①分组问题:
均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理
例20.有9个不同的文具盒:
(1)将其平均分成三组;
(2)将其分成三组,每组个数2,3,4.上述问题各有多少种不同的分法?
例21.有9本不同的书:
(1)分给甲2本,乙3本,丙4本;
(2)分给三个人,分别得2本,3本,4本。
上述问题各有多少种不同的分法?
例22.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能?
例23(06湖南卷)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 排列组合 应用题 解题 策略