小学奥数教程鸡兔同笼问题一115含答案.docx
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小学奥数教程鸡兔同笼问题一115含答案
小学奥数教程:
鸡兔同笼问题
(一)
教学目标
1.熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.
2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.
知识精讲
一、鸡兔同笼
这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:
“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
这四句话的意思是:
有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?
你会解答这个问题吗?
你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗?
二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的:
假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47−35=12(只).显然,鸡的只数就是35−12=23(只)了.
这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.
假设法顺口溜:
鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是:
如果假设全是兔,那么则有:
鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡,那么就有:
兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
鸡数=鸡兔总数-兔数
当头数一样时,脚的关系:
兔子是鸡的2倍当脚数一样时,头的关系:
鸡是兔子的2倍
在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法
例题精讲
模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题
【例1】鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】假设46只都是兔,一共应有4×46=184只脚,这和已知的128只脚相比多了184−128=56只脚,这是因为我们把鸡当成了兔子,如果把1只鸡当成1只兔,就要比实际多4−2=2(只)脚,那么56只脚是我们把56÷2=28只鸡当成了兔子,所以鸡的只数就是28,兔的只数是46−28=18(只).当然,这里我们也可以假设46只全是鸡!
鼓励学生从两个方面假设解题,更深一步理解假设法.
【答案】鸡28只,兔18只
【巩固】点点家养了一些鸡和兔子,同时养在一个笼子里,点点数了数,它们共有35个头,94只脚.问:
点点家养的鸡和兔各有多少只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】方法一:
我们假设,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着;而每只兔子都是两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现的脚是总数的一半,也就是94÷2=47(只).在47这个数中,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次,因此从47减去总头数35,剩下的就是兔子头数,
47−35=12(只),所以有12只兔子,有35−12=23(只)鸡.
方法二:
假设35只都是兔子,那么就有35×4=140(只)脚,比94只脚多了140−94=46(只).每只鸡比兔子少4−2=2(只)脚,那么共有鸡46÷2=23(只)
方法三:
还可以假设35只都是鸡,那么共有脚2×35=70(只),比94只脚少了94−70=24(只)脚,每只鸡比兔子少4−2=2(只)脚,那么共有兔子24÷2=12(只).
方法一可以归结为:
总脚数÷2−总头数=兔子数.能够这样算,主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2,而且4是2的2倍.
方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子,而是鸡.由此可以列出公式:
鸡数=(兔脚数×总头数总脚数)÷(兔脚数鸡脚数)方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔.由此可以列出公式:
兔数=(总脚数鸡脚数×总头数)÷(兔脚数鸡脚数)【答案】鸡23只,兔12只
【巩固】鸡兔共有45只,关在同一个笼子中.每只鸡有两条腿,每只兔子有四条腿,笼中共有100条腿.试计算,笼中有鸡多少只?
兔子多少只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】⑴假设法:
若假设所有的45只动物都是兔子,那么一共应该有4×45=180(条)腿,比实际多算180−100=80(条)腿.而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿,所以有80÷2=40(只)鸡被当作了兔子,所以共有40只鸡,有45−40=5(只)兔子.
注意:
假设为兔子时,按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目;假设为鸡时,按照“少算的腿数”计算出的是兔子的数目.同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法.
⑵“金鸡独立”法(砍足法):
假设所有的动物都只用一半的腿站立,这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”,而兔子们都只用两条腿站立的“奇观”.这样就有一个好处:
鸡的腿数和头数一样多了;而每只兔子的腿数则会比头数
多1.因此,在腿的数目都变成原来的一半的时候,腿数比头数多多少,就有多少只兔子.原来有
100只腿,让兔子都抬起两只腿,鸡抬起一只腿,则此时笼中有100÷2=50(条)腿,比头数多50−45=5,所以有5只兔子,另外40只是鸡.
【答案】鸡40只,兔5只
【巩固】老虎和鸡共l0只,脚共26只.鸡()只.
【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】这属于鸡兔同笼问题,每只老虎有4只腿,每只鸡有2只腿。
假设10只都是鸡,那么老虎的只数是:
(26-2×10)÷(4-2)=3只,鸡有10-3=7(只)。
【答案】鸡7只
【例2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚,问:
鸵鸟和大象各有多少?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】假设思想方法【解析】由于每只动物有两只眼睛,由题意知:
动物园里鸵鸟和大象的总数为:
36÷2=18,假设鸵鸟和大象一样也有4只脚,则应该有(4×18=)72只脚,多了(72−52=)20只脚,由假设引起的差值:
4−2=2,则鸵鸟数为20÷2=10(只),大象数为18−10=8(头).
【答案】鸵鸟10只,大象8头
【例3】一队猎手一队狗,两队并着一起走。
数头一共一百六,数脚一共三百九,则有几名猎手,几只狗?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,1试
【解析】如果全是猎手则有脚320个,多出的390-320=70个脚是狗多出来的,所以狗有70÷2=35条,猎手有160-35=125个.
【答案】125个
【例4】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟,共有脚208只,鸵鸟比梅花鹿多20只,梅花鹿和鸵鸟各有多少只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法,整体思想【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同,则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得:
208−20×2=168(只).这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和,一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是:
2+4=6(只),所以梅花鹿的只数是:
168÷6=28(只),从而鸵鸟的只数是:
28+20=48(只)(本题也可给学生讲成“捆绑法”,一鸡一兔一组,这个怎么分组时有倍数
关系得到的)
【答案】梅花鹿28只,鸵鸟48只
【巩固】一个养殖园内,鸡比兔多36只,共有脚792只,鸡兔各几只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法,整体思想
【解析】已知鸡比兔多36只,如果把多的36只鸡拿走,剩下的鸡兔只数就相等了,拿走的36只鸡有2×36=72(只)脚,可知现在剩下792−72=720(只)脚,一只鸡与一只兔有6只脚,那么兔有720÷6=120(只),鸡有120+36=156(只).
【答案】兔有120只,鸡有156只。
【巩固】鸡、兔同笼,鸡比兔多26只,足数共274只,问鸡、兔各几只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法,整体思想【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和,鸡比兔多的只数,求鸡、兔各几只.我们假设鸡与兔只数一样多,
那么现在它们的足数一共有:
274−2×26=222(只),每一对鸡、兔共有足:
2+4=6(只),鸡兔共有对数(也就是兔子的只数):
222÷6=37(只),则鸡有37+26=63(只).
【答案】兔子37只,鸡有63只
【例5】鸡兔同笼,鸡、兔共有107只,兔的脚数比鸡的脚数多56只,问鸡、兔各多少只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法,整体思想【解析】这道例题和前面的例题有所不同,前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只,而这道题是已知头数之和和脚数之差,这样就比前面的例题增加了一点难度.我们用两种方法来解这道题.
(方法一)考虑如果补上鸡脚少的56只的话,那么就要增加56÷2=28(只)鸡.这样一来,鸡、兔共有107+28=135(只),这时鸡脚、兔脚一样多.
已知一只鸡的脚数是一只兔的一半,而现在鸡脚、兔脚相同,可知鸡的只数是兔的2倍,根据和倍问题有:
兔有:
135÷(2+1)=45(只),鸡有:
135−45−28=62(只)或者107−45=62(只)
(方法二)不妨假设107只都是兔,没有鸡,那么就有兔脚:
107×4=428(只),而鸡的脚数为零.这样兔脚比鸡脚多428只,而实际上只多56只,这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多:
428−56=372(只).现在以鸡换兔,每换一只,兔脚减少4只,鸡脚增加2只,即兔脚与鸡脚的总数差就会减少4+2=6(只).鸡的只数:
372÷6=62(只)兔的只数:
107−62=45(只)
【答案】兔有45只,鸡有62只。
【巩固】鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只.问:
鸡、兔各多少只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法,整体思想
【解析】假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200−20=180(只).现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只),而180÷6=30,因此有兔子30只,鸡100−30=70(只).
【答案】兔子30只,鸡70只.
【巩固】鸡、兔共60只,鸡脚比兔脚多60只.问:
鸡、兔各多少只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法,整体思想
【解析】假设60只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚120只,而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多120只,而实际上只多60只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120−60=60(只).现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只),而60÷6=10,因此有兔子10只,鸡60−10=50(只).
【答案】兔子10只,鸡50只.
【巩固】鸡、兔共有27只,兔的脚比鸡的脚多18只。
兔有只。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】填空【关键词】假设思想方法,整体思想,2004年,第2届,走美杯,3年级,决赛
【解析】如果27只都是兔,那么有108只脚,兔脚比鸡脚多108只,每用1只兔换1只鸡,兔脚与鸡脚的差将减少6只,所以有鸡90÷6=15只,兔子12只。
【答案】12只
【例6】鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法,整体思想
【解析】解一:
假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).鸡是100-38=62(只).当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).也可以用任意假设一个数的办法.
解二:
假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是4×50-2×50=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12(只).兔只数是50-12=38(只).
【答案】鸡是62只,兔是38只.
【例7】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。
现有一批螃蟹,共有25只鳌,120只脚。
其中可能有多少缺鳌
少脚的,但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。
这批螃蟹最多有只,至少有只。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯,3年级,初赛
【解析】若要螃蟹尽量多,那么螃蟹的鳌和脚要尽量少,光看鳌的话,鳌最少为1,螃蟹最多为25只,只看脚的话,脚最少为4,螃蟹最多为120÷4=30只,所以螃蟹最多为25只,同理若要螃蟹尽量少,那么螃蟹的鳌和脚要尽量多,光看鳌的话,鳌最多为2,螃蟹最少为12+1=13只,只看脚的话,脚最多为8,螃蟹最少为120÷8=15只,所以螃蟹最少为13只。
【答案】螃蟹最少13只,最多25只
模块二、两个量的“鸡兔同笼”问题——变例
【例8】在一个停车场上,现有车辆41辆,其中汽车有4个轮子,摩托车有3个轮子,这些车共有127个轮子,那么三轮摩托车有多少辆?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】假设都是三轮摩托车,应有3×41=123(个)轮子,少了127−123=4(个)轮子.每把一辆汽车假设为三轮摩托车,会减少4−3=1(个)轮子.汽车有4÷1=4(辆);从而求出三轮摩托车有41−4=37(辆).或者假设都是汽车,应有4×41=164(个)轮子,多了164−127=37(个)轮子;
所以摩托车有37÷(4−3)=37(辆).
【答案】37辆
【巩固】某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个,其中飞机模型每个有3个轮子,汽车模型每个有4个轮子,这些玩具模型共有110个轮子。
则新购进的飞机模型有________个。
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第17题
【解析】假设30个模型都是汽车,那么就有30×4=120个轮子,少了120-110=10(个),每个飞机比汽车少1个轮子,那么有飞机模型:
10÷1=10(个)
【答案】10个
【例9】体育老师买了运动服上衣和裤子共21件,共用了439元,其中上衣每件24元、裤子每件19元,问老师买上衣和裤子各多少件?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】假设买的都是上衣,那么裤子的件数为:
(24×21−439)÷(24−19)=13(件),上衣:
21−13=8(件).
【答案】裤子13件,上衣8件.
【例10】100名学生参加社会实践,高年级学生两人一组,低年级学生三人一组,共有41组。
问:
高、低年级学生各多少人?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】华杯赛,初赛,第8题
【解析】如全为高年级学生,则只需41×2=82(人),实际100人,100-82=18(人),所以有18组低年级学生,41-18=23组高年级学生,高年级学生为23×2=46(人),低年级学生为18×3=54(人)。
【答案】高年级46人,低年级54人
【巩固】三
(1)班有象棋、飞行棋共14副,恰好可供全班40名同学同时进行活动.象棋要2人下一副,飞行棋要4人下一副,则飞行棋和象棋各有几副?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】假设只有飞行棋,那么一共有14×4=56(名)同学参与活动,多出56−40=16(名)同学,多一副象棋,就会少4−2=2(名)同学,可知一共有16÷2=8(副)象棋,14−8=6(副)飞行棋.
【答案】飞行棋6副,象棋8副
【例11】某学校有30间宿舍,大宿舍每间住6人,小宿舍每间住4人.已知这些宿舍中共住了168人,
那么其中有多少间大宿舍?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】如果30间都是小宿舍,那么只能住4×30=120(人),而实际上住了168人.大宿舍比小宿舍每间多住6−4=2(人),所以大宿舍有(168−120)÷2=24(间).
【答案】24间
【巩固】王老师带了41名同学去北海公园划船,共租了10条船.每条大船坐6人,每条小船坐4人,问大船、小船各租几条?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法【解析】我们分步来考虑:
①假设租的10条船都是大船,那么船上应该坐6×10=60(人).
②假设后的总人数比实际人数多了60−(41+1)=18(人),多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人.
③一条小船当成大船多出2人,多出的18人是把18÷2=9(条)小船当成大船.所以有9条小船,1条大船.
列式为:
[6×10−(41+1)]÷(6−4)=18÷2=9(条)10−9=1(条)
【答案】1条大船,9条小船
【例12】李明和张亮轮流打一份稿件,李明每天打15页,张亮每天打10页,他们一连打了25天,平均
每天打12页,问李明、张亮各打了多少天?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法
【解析】从总数入手,由题意可知他们一共打了25×12=300(页).假设25天都是李明打的,那么打的页数是:
15×25=375(页),比实际打的多375−300=75(页),而李明每天比张亮多打:
15−10=5(页),所以张亮打的天数是:
75÷5=15(天),李明打的天数是:
25−15=10(天)
【答案】李明10天,张亮15天
【巩固】小伟和小丽计划用50天假期练习书法:
将3755个一级常用汉字练习一遍。
小伟每天练73个汉字,小丽每天练80个汉字,每天只有一人练习,每人每天练习的字各不相同,这样,他们正好在假期结束时完成计划。
他们各练习了多少天?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯,五年级,二试,第18题
【解析】假如50天全是小丽练字,那么能练80×50=4000个字,多了4000-3755=245个,(2分)而小伟每多一天就少80-73=7个字,所以小伟练了245÷7=35天。
(6分)小丽练了50-35=15天。
(10分)
【答案】小伟35天,小丽15天
【例13】松鼠妈妈采松果,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采14个.它一连几天采了112个松果,平均每天采14个.问这几天中有几个雨天?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】首先要根据已知条件计算一共采了多少天,再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算.
因松鼠妈妈共采松果112个,平均每天采14个,所以实际用了112÷14=8(天).假设这8天全是晴天,松鼠妈妈应采松果20×8=160(个),比实际采的多了160−112=48(个),因雨天比晴天少采20−14=6(个),所以共有雨天48÷6=8(天).
【答案】8天
【巩固】小松鼠采松果,晴天每天可以采10个,雨天每天只能采6个.它一连几天采了80个松果,平均每天采8个.那么其中有几天是雨天呢?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】小松鼠一共采了80÷8=10(天),假设每天都是晴天,那么一共可以采10×10=100(个),而实际上少采了100−80=20(个),少1天晴天,就少采10−6=4(个),所以一共有雨天:
20÷4=5(天).
【答案】5天
【巩固】松鼠妈妈采松子,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。
它一连几天采了112个松子,平均每天采14个。
问这几天当中有几天有雨?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】华杯赛,初赛,第6题
【解析】松鼠采了:
112÷14=8(天),假设这8天都是晴天,可以采到的松籽是:
20×8=160(个),实际只采到112个,共少采松籽:
160-112=48(个),每个下雨天就要少采:
20-12=8(个),所以有48÷8=6(个)雨天。
【答案】6个雨天
【例14】使用甲种农药每千克要兑水20千克,使用乙种农药每千克要兑水40千克.根据农科院专家的意见,把两种农药混起来用可以提高药效,现有两种农药共50千克,要配药水1400千克,那么,其中甲种农药用了多少千克?
【考点】鸡兔同笼问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】迎春杯,高年级,初试,6题,假设思想方法
【解析】方法一:
设甲种农药x千克,则乙种农药(5−x)千克。
x(1
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