高考数学理真题分类汇编选修4系列.docx
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高考数学理真题分类汇编选修4系列
2021年高考数学(理)真题分类汇编:
选修4系列
2021年高考数学(理)真题分类汇编:
选修4系列
选修4-1:
几何证明选讲
15.[2021・广东卷])如图1-1所示,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交△CDF的面积于点F,则=________9.
△AEF的面积
图1-1
15.[2021・湖北卷]如图1-2,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交
⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=_____4___.图1-2图1-3
12.[2021・湖南卷]如图1-3所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=3,BC=22,则
3
⊙O的半径等于________.
2
22.[2021・辽宁卷]如图1-7所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上―点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:
AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,求证:
AB=ED.
证明:
(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,
又因为∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.
又AF⊥EP,所以∠PFA=90°,所以∠BDA=90°,故AB为圆的直径.
(2)连接BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而得Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,
所以ED为直径,又由
(1)知AB为圆的直径,所以ED=AB.
22.[2021・新课标全国卷Ⅰ]选修4-1:
几何证明选讲
如图1-6,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.图1-6
(1)证明:
∠D=∠E;
(2)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:
△ADE为等边三角形.
证明:
(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD,所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,由
(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.
22.[2021・新课标全国卷Ⅱ]
如图1-4,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为
PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)AD・DE=2PB2.
图1-4
证明:
(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB・PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD・DE=BD・DC,
2
所以AD・DE=2PB.
15.[2021・陕西卷]
如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=________.3
6.[2021・天津卷]
的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;②FB2=FD・FA;③AE・CE=BE・DE;④AF・BD=AB・BF.则所有正确结论的序号是(D)
A.①②B.③④C.①②③D.①②④
图1-2
14.[2021・重庆卷]过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.4
如图1-2所示,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆
选修4-4:
坐标系与参数方程
13.[2021・天津卷]在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为________.3
4.[2021・安徽卷]以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系?
x=t+1,中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是?
(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,
?
y=t-3则直线l被圆C截得的弦长为(D)
A.14B.214C.2D.22
?
x=-1+cosθ,
3.[2021・北京卷]曲线?
(θ为参数)的对称中心(B)
?
y=2+sinθ
A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上21.[2021・福建卷]
?
x=a-2t,?
x=4cosθ,已知直线l的参数方程为?
(t为参数),圆C的参数方程为?
(θ为参数).
?
y=-4t?
y=4sinθ
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解:
(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.
(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=
≤4,解得-25≤a≤25.
14.[2021・广东卷]在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为________.(1,1)
?
?
x=
16.[2021・湖北卷]已知曲线C1的参数方程是?
?
y=?
t,
3t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为
3
极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为________.(3,1)
?
x=2+cosα,π
11.[2021・湖南卷]在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:
?
(α为参数)
4?
y=1+sinα交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方
程是________.ρcosθ-ρsinθ=1
11.[2021・江西卷]
(2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(A)
A.ρ=
π1
,0≤θ≤
2cosθ+sinθ
π1
B.ρ=,0≤θ≤4cosθ+sinθC.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
π2π4
D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
23.[2021・辽宁卷]将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
?
x=x1,2
23.解:
(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得?
由x21+y1=1
?
y=2y1,
2yy222
得x+2=1,即曲线C的方程为x+=1.
4
?
x=cost,
故C的参数方程为?
(t为参数).
?
y=2sint
y22?
x+=1,?
x=1,?
x=0,4
(2)由?
解得?
或?
y=0y=2.?
?
?
2x+y-2=0,
11
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为2,1,所求直线的斜率k=,于是所求直线2
11
方程为y-1=x-2,
2
化为极坐标方程,并整理得
3
2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.4sinθ-2cosθ
()
()
()23.[2021・新课标全国卷Ⅰ]选修4-4:
坐标系与参数方程?
x=2+t,x2y2
已知曲线C:
+=1,直线l:
?
(t为参数).
49?
y=2-2t
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.?
x=2cosθ,
23.解:
(1)曲线C的参数方程为?
(θ为参数),
?
y=3sinθ直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离d=
5
|4cosθ+3sinθ-6|,5
d25
=|5sin(θ+α)-6|,
5sin30°
则|PA|=
4
其中α为锐角,且tanα=.3
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为
225
.5
25
.5
23.[2021・新课标全国卷Ⅱ]选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为
π
ρ=2cosθ,θ∈?
0,?
.
?
2?
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:
y=3x+2垂直,根据
(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
23.解:
(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为?
x=1+cost,?
(t为参数,0≤t≤π).?
y=sint,
(2)设D(1+cost,sint).由
(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线
π.3
与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tant=3,t=
ππ33
故D的直角坐标为?
1+cos,sin?
,即?
,?
.
33?
?
?
22?
ππ
15.[2021・陕西卷]C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点?
2,?
到直线ρsin?
θ-?
=1
6?
?
6?
?
的距离是________.
15.C.1
自选模块2.[2021・浙江卷]
(1)在极坐标系Ox中,设集合A={(ρ,θ)|0≤θ≤集合A所表示区域的面积;
(2)在直角坐标系xOy中,
?
x=-4+tcosπ,?
4
直线l:
?
(t为参数),
π
?
?
y=tsin4
?
x=acosθ,
曲线C:
?
(θ为参数),其中a>0.
?
y=2sinθ
若曲线C上所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.解:
(1)在ρ=cosθ两边同乘ρ,得
ρ2=ρcosθ.
化成直角坐标方程,得x2+y2=x,
211
即x-2+y2=.
4
π
,0≤ρ≤cosθ},求4
()
1
所以集合A所表示的区域为:
由射线y=x(x≥0),y=0(x≥0),圆x-2
π1
图所示的阴影部分,所求面积为+.168
()
2
1
+y2=所围成的区域,如
4
(2)由题意知,直线l的普通方程为x-y+4=0.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方,故对θ∈R,有acosθ-2sinθ+4>0恒成立,
2
即a2+4cos(θ+φ)>-4其中tanφ=a恒成立,
()
所以a2+4<4.又a>0,得0<a<2
3.
?
x=2+t,
15.[2021・重庆卷]已知直线l的参数方程为?
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴
?
y=3+t
为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________.5
选修4-5:
不等式选讲
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