成人高考高数二专升本真题及答案.docx
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2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学
(二)
一、选择题:
每小题10分,共40分。
在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求。
1.cosx-2x-2=()
A.1B.cos1C.0D.π
答案:
B
解析:
cosx-2x-2=cos3-23-2=cos1
2.设函数y=x2+1,则dydx=()
A.13x3B.x2C.2xD.x2
答案:
C
3.设函数fx=cosx,则f’(π2)=()
A.-1B.-12C.0D.1
答案:
A
解析:
4.下列区间为函数fx=sinx的单调增区间的是()
A.(0,π2)B.π2,πC.π2,32πD.(0,2π)
答案:
A
5.x2dx=()
A.3x3+CB.x3+CC.x33+CD.x2+C
答案:
C
解析:
由基本积分公式可得
6.11+xdx=()
A.e1+x+CB.11+x+CC.x+CD.ln|1+x|+C
答案:
D
解析:
7.设函数z=ln(x+y),则∂z∂x|(1,1)=()
A.0B.12C.ln2D.1
答案:
B
解析:
∂z∂x=1x+y,将代入,∂z∂x|(1,1)=12
8.曲线y=4-x2与x轴所围成的平面图形的面积为()
A.2B.4C.2πD.4π
答案:
C
解析:
画图可知此图形是以坐标原点为圆心,半径为2且位于x轴上方的半圆,也可用定积分的几何意义来做
9.设函数z=ex+y2,则()
A.2yB.ex+2yC.ex+y2D.ex
答案:
D
解析:
,
10.设事件A,B互不相容,P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P(A+B)=()
A.0.44B.0.5C.0.1D.0.06
答案:
B
解析:
因为A,B互不相容,所以P(AB)=0,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5
二、填空题:
每小题4分,共40分.
11.x2+x+2x2-3=.
答案:
解析:
x2+x+2x2-3=12+1+212-3=-2
12.limx→0sin2x3x=.
答案:
解析:
23
13.设函数f(x)=x2+1,x<0a+x,x≥0在x=0处连续,则a=.
答案:
1
解析:
14.曲线y=x3+3x的拐点坐标为.
答案:
(0,0)
解析:
,将代入,,所以拐点为
15.设函数fx=cosx,则f’’(x)=.
答案:
解析:
16.曲线y=sin(x+1)在点(-1,0)处的切线斜率为.
答案:
1
解析:
,
17.2xex2dx=.
答案:
ex2+C
解析:
18.01cosxdx=.
答案:
sin1
解析:
19.0+∞e-xdx=.
答案:
1
解析:
20.设函数z=x3ey,则全微分dz=.
答案:
3x2eydx+x3eydy
解析:
,,
三、解答题:
共70分。
解答应写出推理、演算步骤。
21.计算ex-1x
答案:
ex-1x=ex1=1
22.计算lnxxdx.
答案:
lnxxdx=lnxd(lnx)=12(lnx)2+C
23.计算lnxxdx.
答案:
lnxxdx=lnxd(lnx)=12(lnx)2+C
24.计算xcosxdx.
解析:
xcosxdx=xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C
25.已知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9,记X为他两次独立投篮投中的次数.
(1)求X的概率分布
(2)求X的数学期望EX
解析:
(1)x可能的取值是0,1,2
P(x=0)=0,1×0.1=0.01
P(x=1)=2×0.9×0.1=0.18
P(x=2)=0.9×0.9=0.81
0
1
2
0.01
0.18
0.81
因此x的概率分布为
(2)数学期望EX=0×0.01+1×0.18+2×0.81=1.8
26.求函数f(x)=x3-3x-2的单调区间和极值.
解析:
=3x2-3,令=0,得驻点x1=-1,x2=1
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↑
极大值0
↓
极小值-4
↑
因此f(x)的单调增区间是(-∞,-1),(1,+∞);单调减区间为(-1,1)
f(x)极大值为f(-1)=0,极小值为f
(1)=-4
27.已知函数f(x)=-x2+2x:
(1)求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积S;
(2)求
(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
解析:
(1)由y=-x2+2xy=0得交点坐标为(0,0),(2,0)
S=02(-x2+2x)dx=(-x33+x2)|02=43
(2)V=02π(-x2+2x)2dx=π02(x4-4x3+4x2)dx=π(15x5-x4+43x3)|02=1615π
28.求二元函数f(x,y)=x2+y2+2y的极值.(2012年)
解析:
fx’(x,y)=2xfy'x,y=2y+2,令fx’(x,y)=0fy'x,y=0得驻点(0,-1)
因为fxx''(x,y)=2,fxy''(x,y)=0,fyy''(x,y)=2
所以A=fxx''(0,-1)=2,B=fxy''(0,-1)=0,C=fyy''(0,-1)=2
由于A>0且B2-AC<0,故f(x,y)在点(0,-1)处取得极小值,极小值f(0,-1)=-1
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