3-第1课时.doc
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第二章 2.3 第1课时
一、选择题
1.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
[答案] D
[解析] 方程mx2-my2=n可化为:
-=1,
∵mn<0,∴->0,
∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
2.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )
A.22或2 B.7
C.22 D.2
[答案] A
[解析] ∵a2=25,∴a=5,由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,∴|PF1|-|PF2|=±10,∴|PF2|=22或2.
3.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是( )
A.-3 C.k<-3或k>-2 D.k>-2 [答案] A [分析] 由于方程表示焦点在x轴上的双曲线,故k+3>0,k+2<0. [解析] 由题意可知,,解得-3 4.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是( ) A.±1 B.1 C.-1 D.不存在 [答案] A [解析] 验证法: 当m=±1时,m2=1, 对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3. 对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3, 故当m=±1时,它们有相同的焦点. 直接法: 显然双曲线焦点在x轴上, 故4-m2=m2+2. ∴m2=1,即m=±1. 5.(2015·福建八县一中高二期末测试)△ABC中,A(-5,0)、B(5,0),点C在双曲线-=1上,则=( ) A. B.± C.- D.± [答案] D [解析] 在△ABC中,sinA=,sinB=,sinC==. ∴==. 又∵|BC|-|AC|=±8, ∴=±=±. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是( ) A.16 B.18 C.21 D.26 [答案] D [解析] |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a =8, ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5 =26. 二、填空题 7.双曲线2x2-y2=m的一个焦点是(0,),则m的值是__________________. [答案] -2 [解析] 双曲线的标准方程为-=1, 由题意得a2=-m,b2=-,∴c2=-m=3, ∴m=-2. 8.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,则双曲线的方程为__________________. [答案] -=1 [解析] 椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9. 由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4)、B(-,4), 由点A在双曲线上知,-=1. 解方程组,得. ∴所求曲线的方程为-=1. 三、解答题 9.如图所示,已知定圆F1: x2+y2+10x+24=0,定圆F2: x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1、F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. [解析] 圆F1: (x+5)2+y2=1, ∴圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2: (x-5)2+y2=42,∴圆心F2(5,0),半径r2=4. 设动圆M的半径为R,则有 |MF1|=R+1,|MF2|=R+4, ∴|MF2|-|MF1|=3. ∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支,且a=,c=5.∴b2=c2-a2=. ∴双曲线方程为-=1(x≤-). 10.已知双曲线经过两点M(1,1)、N(-2,5),求双曲线的标准方程. [解析] 设所求双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(mn<0),将点M(1,1)、N(-2,5)代入上述方程,得到 ,解得. 所以所求双曲线的标准方程为-=1. 一、选择题 1.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),曲线C上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线C的方程为( ) A.-=1 B.-=1(y>0) C.-=1或-=1 D.-=1(x>0) [答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点P的轨迹是以F1、F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为: -=1(x>0). 2.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点,O为坐标原点,则|NO|等于( ) A. B.1 C.2 D.4 [答案] D [解析] NO为△MF1F2的中位线,所以|NO|=|MF1|,又由双曲线定义知,|MF2|-|MF1|=10,因为|MF2|=18,所以|MF1|=8,所以|NO|=4,故选D. 3.设F1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( ) A.4 B.8 C.24 D.48 [答案] C [解析] 由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,∴c=5,∴|F1F2|=10, ∴△PF1F2为直角三角形,S△PF1F2=|PF1||PF2|=24. 4.设F为双曲线-=1的左焦点,在x轴上F点的右侧有一点A,以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N,则的值为( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 对点A特殊化,不妨设点A为双曲线的右焦点,依题意得F(-5,0),A(5,0), |FN|-|NA|=8,|FM|=|NA|, 所以|FN|-|FM|=8,==,选D. 二、填空题 5.过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为__________________. [答案] [解析] ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c=, 该直线方程为x=, 由得y2=, ∴|y|=,弦长为. 6.已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1,圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2,动圆与这两圆外切,则动圆圆心的轨迹方程为______________________. [答案] -=1(x≥2) [解析] 设动圆圆心为M,动圆半径为r,根据题意得,|MM1|=5+r,|MM2|=1+r,两式相减得|MM1|-|MM2|=4<8=|M1M2|,故M点在以M1(-4,0)、M2(4,0)为焦点的双曲线的右支上,故圆心M的轨迹方程为-=1(x≥2). 三、解答题 7.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化? [解析] (1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1. (2)当0°<α<90°时,方程为+=1. ①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆. ②当α=45°时,它表示圆x2+y2=. ③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆. (3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1. (4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线. (5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线. 8.在△ABC中,A、B、C所对三边分别为a、b、c,B(-1,0)、C(1,0),求满足sinC-sinB=sinA时,顶点A的轨迹,并画出图形. [解析] ∵sinC-sinB=sinA,∴c-b=a=×2=1, 即|AB|-|AC|=1<|BC|=2. ∴动点A(x,y)的轨迹是以B、C为焦点的双曲线 ∴,∴. ∴A点轨迹方程为-=1. 由于c>b就是|AB|>|AC|,可知A点的轨迹是双曲线的右支,还需除去点(,0)如图所示.
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