全等三角形经典模型总结.docx
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全等三角形经典模型总结.docx
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全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
(一)角平分线的性质模型
辅助线:
过点G作GE1射线AC
A、例题
1、如图,在△ABC中,/C=90°AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是cm.
2、如图,已知,/1=Z2,/3=74,求证:
AP平分/BAC.
B、模型巩固
1、如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分/ABC,求证:
7A+7C=180°
(二)角平分线+垂线,等腰三角形必呈现
A、例题
求证:
BEJ(AC_AB).
2
例2、如图,在△ABC中,/BAC的角平分线AD交BC于点D,且AB=AD,作CM丄AD交
AD的延长线于M.求证:
AM=-(ABAC).
(三)角分线,分两边,对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B=0A,从而使△OAWAOBC.
A、例题
1、如图,在△ABC中,/BAC=60°,Z0=40°,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证:
AB+BP=BQ+AQ.
2、如图,在△ABC中,AD是/BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
B、模型巩固
1、在厶ABC中,AB>AC,AD是/BAC的平分线,P是线段AD上任意一点(不与A重合)求证:
AB-AC>PB—PC.
2、如图,△ABC中,AB=AC,/A=100。
,/B的平分线交AC于D,求证:
AD+BD=BC.
3、如图,△ABC中,BC=AC,/C=90°,/A的平分线交BC于D,求证:
AC+CD=AB.
:
■、等腰直角三角形模型
(一)旋转中心为直角顶点,在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程:
(1)将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形
(2)辅助线作法:
过点C作MC丄BC,使CM=BD,连结AM.
(二)旋转中心为斜边中点,动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程:
连结AD.
(1)使BF=AE(或AF=CE,导出△BDF也△ADE.
(2)使/EDF+ZBAC=180°,导出△BDF也△ADE.
A、例题
1、如图,在等腰直角△ABC中,/BAC=90°,点M、N在斜边BC上滑动,且/MAN=45试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC.
试判断△EMC的形状,并证明你的结论•
B、模型巩固
1、已知,如图所示,RtAABC中,AB=AC,/BAC=90°,O为BC中点,若M、N分别在线段ACAB上移动,且在移动中保持AN=CM.
(1)试判断△OMN的形状,并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段ACAB上移动时,四边形AMON的面积如何变化?
2、在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求/BAE+ZDCF为多少度.
(三)构造等腰直角三角形
(1)禾9用以上
(一)和
(二)都可以构造等腰直角三角形(略)
(2)利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形•
(四)将等腰直角三角形补全为正方形,如下图:
A、例题应用
1、如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,/ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC,求证:
/BCP=15°.
A、例题
已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,/BAC=90°,D为AC中点,AF丄BD于点E,交
BC于F,连接DF.求证:
/ADB=/CDF.
变式1、已知:
如图所示,在△ABC中,AB=AC,AM=CN,AF丄BM于E,交BC于F,连接NF.
求证:
(1)/AMB=/CNF;
(2)BM=AF+FN.
四、手拉手模型
1>△ABE和厶ACF均为等边三角形
结论:
(〔)△ABF^AAEC.
(2)ZBOE=ZBAE=60°
(3)OA平分/EOF•(四点共圆证)
拓展:
△ABC和厶CDE均为等边三角形
结论:
(1)AD=BE;
(2)ZACB=ZAOB;
(3)APCQ为等边三角形;
(4)PQ//AE;
(5)AP=BQ;
(6)CO平分/AOE;(四点共圆证)
(7)OA=OB+OC;
(8)OE=OC+OD.
((7),(8)需构造等边三角形证明)
例、如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AMBMCM以AB为一边向外作等边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN
(1)求证:
△AMB^AENB
(2)若AM+BM+C的值最小,则称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点,
试求此时/AMB/BMC/CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:
如图②,分别以厶ABC的ABAC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF连接CEBF,设交点为M则点M即为△ABC的费尔马点•试说明这种作法的依据.
AS丄BC交FD于T,
2、\ABD和厶ACE均为等腰直角三角形结论:
(1)BE=CD;
(2)BEXCD.
3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形
结论:
(1)BD=CF;
(2)BDXCF.
变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,求证:
(1)T为FD中点;
(2)SIAbc=S;adf
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形,T为FD中点,TA交BC于S,求证:
AS丄BC.
MP、N三点共线
五、半角模型
1
条件:
且:
+二=180,-两边相等.
2
思路:
1、旋转
辅助线:
①延长CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN连AF
②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得厶ABF,注意:
旋转需证F、BM三点共线
结论:
(1)MN=BM+DN;
(2)C、cmn=2AB;
(3)AM、AN分别平分/BMN、/MND.
2、翻折(对称)
辅助线:
①作APIMN交MN于点P
②将△ADN△ABM分别沿ANAM翻折,但一定要证明
A、例题
例1、在正方形ABCD中,若M、N分别在边BCCD上移动,且满足MN=BM+DN,求证:
(1)ZMAN=45°;
(2)C、cmn=2AB;
(3)AM、AN分别平分/BMN和/DNM.
变式:
在正方形ABCD中,已知/MAN=45°,若M、N分别在边CBDC的延长线上移动,
AH丄MN,垂足为H,
(1)试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系;
(2)求证:
AB=AH
例2、在四边形ABCD中,/B+ZD=180°,AB=AD,若E、F分别为边BCCD上的点,
1
且满足EF=BE+DF,求证:
.EAFBAD.
2
变式:
在四边形ABCD中,ZB=90°,ZD=90°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上
1的点,且•EAFBAD,求证:
EF=BE+DF.
2
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