河南省高考全国卷1数学真题理科数学附答案历年历届试题详解.docx
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河南省高考全国卷1数学真题理科数学附答案历年历届试题详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页.考
试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
.........
.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么球的表面积公式
P(AB)P(A)P(B)
2
S4πR
如果事件A,B相互独立,那么其中R表示球的半径
P(AB)P(A)P(B)球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
4
3
VR
3
π
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
一、选择题
(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合u(AIB)中的
元素共有()
(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个
(2)已知
Z
1i
+
=2+i,则复数z=()
(A)-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i
(3)不等式1
X
X1
<1的解集为()
(A){x0x1xx1(B)x0x1
(C)x1x0(D)xx0
1/13
_
(4)设双曲线
22
xy
221
(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x
ab
2+1相切,则该双曲线的离
心率等于()
(A)3(B)2(C)5(D)6
(5)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。
若从甲、乙两组中
各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()
(A)150种(B)180种(C)300种(D)345种
(6)设a、b、c是单位向量,且a·b=0,则acbc的最小值为()
(A)2(B)22(C)1(D)12
(7)已知三棱柱
ABCABC的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC
111
的中点,则异面直线AB与
CC所成的角的余弦值为()
1
(A)
3
4
(B)
5
4
(C)
7
4
(D)
3
4
(8)如果函数y=3cos2x+的图像关于点
4
3
,0中心对称,那么||的最小值为
(A)(B)(C)(D)
6432
(9)已知直线y=x+1与曲线yln(xa)相切,则α的值为()
(A)1(B)2(C)-1(D)-2
(10)已知二面角l为60o,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为3,
Q到α的距离为23,则P、Q两点之间距离的最小值为()
(A)(B)2(C)23(D)4
(11)函数f(x)的定义域为R,若f(x1)与f(x1)都是奇函数,则()
(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)f(x2)(D)f(x3)是奇
函数
12.已知椭圆
2
x
2
C:
y1的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AF交C于点B,
2
2/13
若FA3FB,则|AF|=()
(A).2(B).2(C).3(D).3
第II卷
二、填空题:
13.
10
xy的展开式中,
73
xy的系数与
37
xy的系数之和等于。
14.设等差数列an的前n项和为Sn,若S972,则a2a4a9=。
15.直三棱柱
ABCABC的各顶点都在同一球面上,若ABACA1A2,
111
BAC120,则此球的表面积等于。
16.若
x,则函数
42
3
ytan2xtanx的最大值为。
三、解答题:
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17(本小题满分10分)(注.意.:
.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)
在ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知
222
acb,且
sinAcosC3cosAsinC求,b
18.(本小题满分12分)(注.意.:
.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
如图,四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SD底面
ABCD,AD2,DCSD2,点M在侧棱SC上,
ABM=60°
(I)证明:
M在侧棱SC的中点
(II)求二面角SAMB的大小。
3/13
19.(本小题满分12分)(注.意.:
.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假
设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前
2局中,甲、乙各胜1局。
(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(II)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求得分布列及数学期望。
20.(本小题满分12分)(注.意.:
.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
1n1
在数列{}
a中,a11,a1
(1)a
n
nnn
n2
a
(I)设n
b
n
n
,求数列{bn}的通项公式
(II)求数列{a}的前n项和Sn
n
21(本小题满分12分)(注.意.:
.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
如图,已知抛物线
2
E:
yx与圆
222
M:
(x4)yr(r0)相交
于A、B、C、D四个点。
(I)求r得取值范围;
(II)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD
的交点P坐标
17.本小题满分12分。
(注.意.:
.在.试.题.卷.上.作.答.无.效.).
设函数
3323
fxxbxcx在两个极值点
x、x,且
12
x1[1,0],x2[1,2].
(I)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画
出满足这些条件的点b,c的区域;
(II)证明:
10
fx
2
1
2
4/13
答案详解
一、选择题
1:
A解:
AB{3,4,5,7,8,9},AB{4,7,9}CU(AB){3,5,8}故选A。
也可
用摩根律:
()()()
CABCACB
UUU
2:
B解:
z(1i)(2i)13i,z13i故选B。
3:
D解:
验x=-1即可。
4:
C解:
设切点P(x0,y0),则切线的斜率为
'
y|xx2x.由题意有
0
0
y
0
x
0
2x
0
又
2
y0x01
解得:
bb
22
01,2,1()5
xe
aa
.
5:
D解:
分两类
(1)甲组中选出一名女生有
112
C5C3C6225种选法
(2)乙组中选出一名女生有
211
C5C6C2120种选法.故共有345种选法.选D
6:
D解:
a,b,c是单位向量
2
acbcab(ab)cc
1|ab||c|12cosab,c12故选D.
C
1
7:
D解:
设BC的中点为D,连结A1D,AD,易知A1AB即为异面
A1
B
1
直线AB与
CC所成的角,由三角余弦定理,易知
1
C
D
coscosAADcosDAB
1
ADAD
AAAB
1
3
4
.故选D
A
B
8:
A解:
函数y=3cos2x+的图像关于点
4
3
,0中心对称
2
4
k
32
13
k(kZ)由此易得||min
6
6
.故选A
9:
B解:
设切点P(x0,y0),则y0x01,y0ln(x0a),又
'
y
1
|xx1
0
xa
0
x0a1y00,x01a2.故答案选B
5/13
10:
C解:
如图分别作QA于A,ACl于C,PB于B,
PDl于D,连CQ,BD则ACQPBD60,
AQ23,BP3,ACPD2
又
2212223
PQAQAPAP
当且仅当AP0,即点A与点P重合时取最小值。
故答案选C。
11:
D解:
f(x1)与f(x1)都是奇函数,
f(x1)f(x1),f(x1)f(x1),
函数f(x)关于点(1,0),及点(1,0)对称,函数f(x)是周期T2[1
(1)]4的周期
函数.f(x14)f(x14),f(x3)f(x3),即f(x3)是奇函数。
故
选D
12:
A解:
过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意FA3FB,
故
2
|BM|.又由椭圆的第二定义,得
3
222
|BF||AF|2.故选A
233
二、填空题:
13:
解:
373
C10(C10)2C10240
14:
解:
a是等差数列,由
n
S972,得S99a5,a58
a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.
15:
解:
在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得
ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O,球心为O,在RTOBO中,易得球半径
R5,故此球的表面积为
2
4R20.
16:
解:
令tanxt,1
xt,42
44
2tanx2t2223
ytan2xtanx8
22
111111
2
1tan1()
xt
422
ttt244
三、解答题:
6/13
17:
分析:
此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件
(1)
222
acb,左
侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件
(2)
sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在
已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一:
在ABC中sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理
有:
222222
abcbca
a3c,
2ab2bc
化简并整理得:
222
2(ac)b.又由已知
222
acb
2
4bb.解得b4或b0(舍).
解法二:
由余弦定理得:
2222cos
acbbcA.
又
222
acb,b0。
所以b2ccosA2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
又sinAcosC3cosAsinC,
sinAcosCcosAsinC4cosAsinC
sin(AC)4cosAsinC,
即sinB4cosAsinC
由正弦定理得sinBbsinC
c
,
故b4ccosA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②
由①,②解得b4。
评析:
从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提
高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:
两纲中明确不
再考的知识和方法了解就行,不必强化训练。
18:
解法一:
(I)
7/13
作ME∥CD交SD于点E,则ME∥AB,ME平面SAD
连接AE,则四边形ABME为直角梯形
作MFAB,垂足为F,则AFME为矩形
设MEx,则SEx,
22
(2)22
AEEDADx
2
MFAE(2x)2,FB2x
由
。
得2
MFFBtan60,(2x)23(2x)
解得x1
即ME1,从而
1
MEDC
2
所以M为侧棱SC的中点
(Ⅱ)
222
MBBCMC,又ABM60,AB2,所以ABM为等边三角形,
又由(Ⅰ)知M为SC中点
SM2,SA6,AM2,故
222,90
SASMAMSMA
取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则BGAMGH,AM,由此知BGH
为二面角SAMB的平面角
连接BH,在BGH中,
31222
22
BGAM3,GHSM,BHABAH2222
所以
cosBGH
2226
BGGHBH
2BGGH3
二面角SAMB的大小为
6
arccos()
3
解法二:
以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设A(2,0,0),则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
(Ⅰ)设SMMC(0),则
2222M(0,,),MB(2,,)1111
8/13
又AB(0,2,0),MB,AB60
故MBAB|MB||AB|cos60
即
422
222
(2)()()
111
解得1,即SMMC
所以M为侧棱SC的中点
(II)
由M(0,1,1),A(2,0,0),得AM的中点
G
211
(,,)
222
又
231
GB(,,),MS(0,1,1),AM(2,1,1)
222
GBAM0,MSAM0
所以GBAM,MSAM
因此GB,MS等于二面角SAMB的平面角
cosGB,MS
GBMS
|GB||MS|
6
3
所以二面角SAMB的大小为
6
arccos()
3
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:
传统方法与向量的方法仍处于各自半
壁江山的状况。
命题人在这里一定会照顾双方的利益。
19:
分析:
本题较常规,比08年的概率统计题要容易。
需提醒的是:
认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很
可惜的,主要原因在于没读懂题。
另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。
9/13
解:
记
A表示事件:
第i局甲获胜,i=3,4,5
i
B表示事件:
第j局乙获胜,j=3,4
j
(Ⅰ)记B表示事件:
甲获得这次比赛的胜利
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲
先胜2局,从而
BAABAAABA
34345345
由于各局比赛结果相互独立,故
P(B)P(AA)P(BAA)P(ABA)
34345345
=
P(A)P(A)P(B)P(A)P(A)P(A)P(B)P(A)
34345345
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
(II)的可能取值为2,3
由于各局比赛结果相互独立,所以
P
(2)P(AABB)
3434
=
P(AA)P(BB)
3434
=P(A3)P(A4)P(B3)P(B4)
=0.6×0.6+0.4×0.4
=0.52
P(3)1P
(2)=1.0.52=0.48
的分布列为
23
P0.520.48
E2P
(2)3P(3)
=2×0.52+3×0.48
10/13
=2.48
20:
解:
(I)由已知得b1a11,且
a1a1
nn
n
n1n2
即
1
bb
nnn
1
2
从而
bb
21
1
2
1
bb
322
2
⋯⋯
1
bb(n2)
nn1n1
2
于是
111
bb......
n12n1
222
=
1
2n(n2)
1
2
又
b11
故所求的通项公式
1
b2
nn
2
1
(II)由(I)知
1n
an
(2)2n,
nn1n1
22
S=
n
k
n
1
k
(2k)
k1
2
nn
(2k)
k1k1
k
k
2
1
k
nn
(2k)n(n1),又
1k
k
k
12
而是一个典型的错位相减法模型,
1
k
n
1
kn2
4
k1n1
22
S=n(n1)
n
n
n
2
2
1
易得4
评析:
09年高考理科数学全国
(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求
前n项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。
具有让考生和
一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。
也可看出命题人
在有意识降低难度和求变的良苦用心。
21:
分析:
(I)这一问学生易下手。
将抛物线
22222
E:
yx与圆M:
(x4)yr(r0)的方程联立,消去y,整理得
11/13
271620
xxr.............(*)
抛物线
2
E:
yx与圆
222
M:
(x4)yr(r0)相交于A、B、C、D四个点的
充要条件是:
方程(*)有两个不相等的正根即可.
22
(7)4(16r)0
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