满赠促销活动下的最优网购问题.docx
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满赠促销活动下的最优网购问题
数学建模竞赛论文
论文题目:
满赠促销活动下的最优网购问题
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2014年6月2日
摘要
本文针对满赠促销活动下的最优问题,首先对问题进行系统化的分析,将问题进行若干分解,然后对购买方所需的商品在价格上进行排序及无量纲化处理,接着分析赠品和非赠品与具体问题的相关性,最后针对具体问题,建立了模型I和模型II。
针对问题一,根据附件2,分析易知,甲在A网站所需商品包含赠品2件,非赠品9件,且需求数量各为1件,订单数目必然小于等于2。
建立了模型I,使得每一笔订单花费不低于99。
最终求出结果,下了两个订单,甲总支付金额297元。
模型I如下:
(1)
St.
(2)
=0或1(3)
针对问题二,本文首先将赠品与非赠品进行问题一中的类似排序,得到非赠品与赠品两组有序数组,优先考虑满足优惠条件1(无需单独出金额买赠品),引入相关0-1变量,应用模型I。
接着,若不能全部满足上述条件,则借助模型II,再考虑满足优惠条件2(存在某一订单中含有若干赠品),使得去掉最小的赠品之后,每笔订单仍旧满足总额大于99,则可以去除最小的赠品。
(4)
St.
(5)
(6)
(7)
另外,其一,两种模型,在具体求解中,均是借助Matlab软件进行实施的,相关订单中具体商品名目,主要是根据在程序中对应关系而显示出来的;其二,关于模型间的关系,模型二主要对模型I目标函数及约束条件修改所得到的,即在模型一的基础上增加相关约束;其三,关于所下的总订单数目,主要依托于程序运行所进行的迭代次数,即订单数目=迭代次数;其四,关于订单的总金额问题,上述模型只是算出了每笔订单的相关值,后来又改进不切实际的结果,进一步优化了模型,求和即可得到比较合理的总金额692.6。
针对问题三,主要根据问题一和问题二,在问题二找出甲所需付得的赠品金额,然后用问题一中甲付的总额减去所需付的赠品。
即可得出甲应付297,乙应付395.6。
【关键词】满赠促销,Matlab软件,模型I,模型II
目录
1.问题重述及分析...................................................................................................4
1.1问题背景........................................................................................................4
1.2优惠条件分析.................................................................................................4
1.3要解决的问题.................................................................................................4
1.4具体资料及数据..............................................................................................4
2.模型假设..............................................................................................................4
3.符号说明..............................................................................................................5
4.模型的建立、求解............................................................................。
...................5
4.1问题一的最优下单方案模型的建立与求解........................................................5
4.1.1模型I的建立..............................................................................................5
4.1.2问题一程序的求解思想................................................................................6
4.1.3问题一程序.................................................................................................6
4.1.4实验结果....................................................................................................6
4.1.5结果分析....................................................................................................6
4.2问题二的最优下单方案模型的建立与求解.......................................................6
4.2.1模型II的建立............................................................................................6
4.2.2问题二的求解程序.......................................................................................6
4.2.3实验结果.....................................................................................................6
4.2.4结果分析.....................................................................................................7
4.3问题三的求解..................................................................................................7
5.模型的检验、改进、评价.........................................................................................7
6.模型的推广..........................................................................................................8
7.参考文献.............................................................................................................8
8.附录....................................................................................................................8
8.1问题一的求解程序........................................................................................9
8.2问题一的求解程序.......................................................................................9
1、问题重述及分析
1.1问题背景
随着互联网在中国的普及应用,网上购物逐渐成为人们的网上行为之一。
网购的最大好处是可以方便地选购商品,充分地利用商家的促销活动,从而节省较多的人力、物力和经济支出。
人们可以根据自己喜好随时浏览网上商店,以较低的价格购买同类的商品。
而赠品促销是指网站在一定时期内为扩大销量,迫于市场压力,向购买本企业产品的消费者实施馈赠的促销行为;赠品促销是最古老也是最有效最广泛的促销手段之一。
具体手段有直接赠送、附加赠送等。
赠品若与产品的特性或使用有相关性,则促销的诱因更大,并方便顾客使用产品。
1.2优惠条件分析
在通常情况下,一个订单的应付款主要由该订单的货款和对应的运费组成。
一个订单的货款即该订单中所有商品的售价之和减去对应符合优惠条件的商品售价。
现在考虑的是A网站,根据相关优惠条件,我们可知:
(1)若单张订单应付款满49元,即可免去5元运费。
(2)若单张订单不包含赠品区中的商品,且应付款满(可以超过)99元,即可随意从赠品区中选择一件商品纳入该订单。
(3)若单张订单包含赠品区中的商品,则去掉该订单中售价最小的赠品,若仍满(可以超过)99元,即可自动扣除该订单中最小赠品的金额。
1.3要解决的问题
根据甲、乙的需求,主要要建立数学模型解决如下三个问题。
解决在某一网站满赠促销条件下的购物问题。
问题一主要是寻找相关约束,建立一个赠品较少情况下,为购物者甲提供一个合理的下单方案,使得购物者甲支付金额最小的网购数学模型。
问题二主要寻找相关约束,建立一个赠品较多情况下,充分考虑“满赠”促销具体活动,最终使甲乙总支付金额用最小的问题的网购数学模型。
问题三主要是在问题二下单方案的基础上,具体求解甲乙应分别支付的费用。
1.4具体资料及数据
因为这些数据来源于实际问题,本文附录不再提供,仅作说明。
附件1:
A网站所有商品(赠品和非赠品)的原价、售价。
附件2:
购物者甲所需要的商品类别及数量。
附件3:
购物者乙所需要的商品类别及数量。
2、模型假设
1.假设数据所给真实可靠;
2.假设货源所有商品均可受,且库存充足;
3.一个顾客可以下多个订单,且订单之间保持独立结算关系;
4.顾客所需要的不同种类商品数量值为1(不是1的通过处理变成1)。
5.假设每一笔订单都没有产生运费(即都满足不产生运费的条件)。
3、符号说明
序号
符号
符号说明
1
M
库存量(足够大的数)
2
m
总订单数目
3
第i个非赠品的价格
4
第i个赠品价格
5
第k个订单的总费用
6
甲支付的总金额
7
乙支付的总金额
8
甲乙支付的总金额
9
非赠品中第i个商品在第j个订单中
10
赠品中第i个商品在第j个订单中
4、模型的建立、求解
针对满赠促销最优网购问题,本文对于问题一主要是建立了模型I,对于问题二,又建立了模型二,结合模型一和二即可求解,对于问题三,主要是在前两问的基础上得来的。
4.1问题一的最优下单方案模型的建立与求解
4.1.1模型I的建立
通过对上述问题一的分析,可以看出,对于甲购物最好的结果就是满足优惠条件一,并引入0-1变量用以表示非赠品在不在某个订单中,库存量用比较大的数M表示,表明库存充足。
假设T1表示加甲在A网站购物实际支付的金额,则有
根据问题分析中的优惠条件,我们可以建立模型I
(1)
St.
(2)
=0或1(3)
4.1.2问题一程序求解思想
借助Matlab软件排序函数sort(x),对非赠品处理,得到数组V,通过a1=max(V)命令,接着从小到大依次选取数据,分别与之加和,并与99比较,若之和大于等于99,则停止加和,记录此数据,并将其和最大数据作为第一个订单,并选择价格最高的赠品,同时,若剩余的数据加和小于99,把现有数据直接纳入订单一中。
反之,则选择最小值和a1之和作为新的a1,从剩余有序数据中再次进行上述选取流程,若仍不能大于99,则只能下1个订单,赠品选择其中价格最大的一个。
4.1.3问题一程序(详见附录1问题一的求解程序)
4.1.4实验结果
总价为108.6订单为55.317.635.7:
总价为297.0订单数为2.0:
4.1.5结果分析
本题共有两个订单,总费用为297。
订单一为A21,A35,A45,,A19四个商品,其中前三个为非赠品,最后一个为赠品;
订单二为A36,A26,A11,A05,A31,A98,其中前面五个为非赠品,最后一个为赠品。
4.2问题二的最优下单方案模型的建立与求解
4.2.1模型II的建立
通过对上述问题二的分析,可以看出,单纯的模型I已无法充分解决本题,对于甲购物最好的结果就是满足优惠条件一,并需要再引入0-1变量用以表示赠品在不在某个订单中。
模型二如下:
(4)
St.
(5)
(6)
(7)
4.2.2问题二的求解程序(详见附录2问题二的求解程序)
4.2.3实验结果
订单为115.655.312.813.516.817.2
订单为115.242.717.317.618.619.0
订单为116.439.219.219.319.319.4
订单为119.536.819.720.921.021.1
订单为102.135.722.122.122.2
订单为103.525.623.123.825.00.00.06.0
4.2.4结果分析
本题共有六个订单,总费用为694.4。
订单一为A35,A66,A88,A57,A56,A03,共消费115.6,其中前面五个为非赠品,最后一个为赠品。
订单二为A36,A85,A21,A81,A62,A30,共消费115.2.其中前面五个为非赠品,最后一个为赠品。
订单三为A26,A79,A74,A74,A63,A83,共消费116.4,其中前面五个为非赠品,后面一个为赠品。
订单四为A11,A72,A05,A97,A89,A95,共花费119.5前面五个为非赠品,最后一个为赠品。
订单五为A45,A92,A76,A59,A19,共消费102.1,其中前面四个为非赠品,最后一个为赠品。
订单六为A68,A86,A31,A17,A42,A07,A98,共花费146.6,其中前面3个为非赠品,最后三个为赠品,其中最后一个没有出资。
4.3问题三的求解
根据问题一和问题二的求解,在问题二找出甲所需付得的赠品金额,然后用问题一中甲付的总额减去所需付的赠品,
即T1=297-0=297,T2=694.4-297=397.4
因此甲应付297,乙应付397.4
5、模型的检验、改进、评价
本文在模型建立过程中,主要按照最优性顺序来进行的,分别建立了模型I、模型II。
在信息的把握上,先通过分析,发现很容易满足免运费的下限.
模型在求解初期出了可能没充分理解相关优惠条件,导致最终结果上出现些许瑕疵,导致相不合理的情况。
经检验发现六个订单,每一个订单减去订单中的每一个值,发现订单1减去较大的值13.5之后仍就大于99,则模型需要改进。
改进主要是将这个13.5带入订单二在进行上述,直到后面挑出了一个A11之后前5个订单仍符合大于99,对第六个订单进行相关处理。
最终得到结果为总金额为692.6,具体下7个单,详细如下:
订单一为A35,A66,A57,A56,A03,共消费102.1,其中前面四个为非赠品,最后一个为赠品。
订单二为A36,A85,A21,A81,A88,A30,共消费109.7.其中前面五个为非赠品,最后一个为赠品。
订单三为A26,A79,A74,A74,A62,A83,共消费116,其中前面五个为非赠品,后面一个为赠品。
订单四为A63,A72,A05,A97,A89,A95,共花费99.9前面五个为非赠品,最后一个为赠品。
订单五为A45,A92,A76,A59,A19,共消费102.1,其中前面四个为非赠品,最后一个为赠品。
订单六为A11,A86,A31,A17,A98共花费108.7,其中前面3个为非赠品,最后三个为赠品,其中最后一个没有出资。
订单七为A68,A42,A07共花费54.1,其中后面两个是赠品。
对于问题三结果甲应付297,乙应付395.6
6、模型的推广
本模型可以推广到,对多个网站进行购物的选择,不过要改变相关参数。
7、参考文献
[1]史洁玉,孔玲军.MATLABR2012a超级学习手册[M].北京:
人民邮电出版社,2013.
[2]王栋,李永辉.现代百货业促销利润的测算与分析[J].现代商业学报,2011
[3]赵静,但琦.数学建模与数学实验(第2版),高等教育出版社,2004
8、附录
1、问题一的求解程序
%%
clear,clc,closeall
A=[20.9,36.8,25,17.6,39.2,23.8,55.3,42.7,35.7];
B=[30.1,26.6];
V=sort(A);%将A从小到大排序
a1=max(V);%提取V中最大的数
a2=min(B);%提取B中最小的数
V=setdiff(V,a1);%将a1从V中剔除并把结果赋给V
fori=1:
8
forj=i+1:
9
T1=a1+V(i)+V(j);
ifT1>=99
fprintf('总价为%4.1f订单为%4.1f%4.1f%4.1f:
\n',
T1,a1,V(i),V(j))
break
end
end
break
end
V=setdiff(V,[V(i),V(j)]);
S=sum(V);
ifS>=99
k=2;%当S>=99时,获得两个赠品
P=S+T1;
fprintf('总价为%4.1f订单数为%4.1f:
\n',P,k);
elseT=sum(A)+a2,k=1;
%当S<=99时,因为只有两个赠品,所以可以设为一个订单
fprintf('订单数为%4.1f,所付金额为%4.1f:
\n',k,T);
end
2、问题二的求解程序
%%
clear,clc,closeall
A=[17.216.822.21919.412.825.619.719.319.3...
22.119.218.617.323.113.521.122.12120.9...
36.82517.639.223.855.342.735.7];%非赠品价格
B=[24.222.563.9627.532.830.126.6];%赠品价格
A=[sort(A),[0000]];%将A升序排列,并在后面补上四个0
B=sort(B);%将B升序排列
fori=1:
8
a1=max(A);
index=find(A==a1);
A(index)=[];
fort1=1:
26
T=a1+A(t1);%T为总价,下同
ifT>=99
fprintf('订单为%4.1f%4.1f%4.1f\n',T,a1,A(t1))
else
fort2=t1+1:
27
T=T+A(t2);
ifT>=99
fprintf('订单为%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f\n',T,a1,A(t1),A(t2))
else
fort3=t2+1:
28
T=T+A(t3);
ifT>=99
fprintf('订单为%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f\n',T,a1,A(t1),A(t2),A(t3))
else
fort4=t3+1:
29
T=T+A(t4);
ifT>=99
fprintf('订单为%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f\n',T,a1,A(t1),A(t2),A(t3),A(t4))
else
fort5=t4+1:
30
T=T+A(t5);
ifT>=99
fprintf('订单为%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f\n',T,a1,A(t1),A(t2),A(t3),A(t4),A(t5))
else
forj=1:
8
T=T+B(j);
ifT>=99
fprintf('订单为%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f%4.1f\n',T,a1,A(t1),A(t2),A(t3),A(t4),A(t5),B(j))
break%满足条件时停止该循环,下同
else
T=T-B(j);
end
end
end
A(t5)=[];%删除已经使用过的数据
break
end
end
A(t4)=[];
break
end
end
A(t3)=[];
break
end
end
A(t2)=[];
break
end
end
A(t1)=[];
break
end
end
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