重庆市北碚区届高三数学上学期第一次诊断性考试试题.docx
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重庆市北碚区届高三数学上学期第一次诊断性考试试题
重庆市北碚区2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题
考试时间:
120分钟;分数:
150分
注意:
本试卷包含i、n两卷。
第I卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相
应的位置。
第n卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效,不予记分。
一、选择题
1.
要得到函数器_/淀.切的图象,只需将函数沖''的图象上所有的点
2.
已知集合已一芒丁;-,---<,贝VB的子集个数为
3.
已知角=的终边经过点迹一叔—,则门応二①的值等于
C.D.
7.
已知函数「门为自然对数的底数,若m>仆在上恒成立,贝y实数
8.非零向量满足;_.,—,,则.芒、与「夹角的大小为]
A.一壬B.二LC.匚:
D.
9.
A
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了
分线段的“中末比”问题:
将一线段AB分为两线段AC
CB使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比
例中项,即满足二…一一7>后人把这个数称为
j4JJL2
黄金分割数,把点C称为线段AB的黄金分割点.
在喜匚中,若点P,Q为线段BC的两个黄金分割点,在一.5.内任取一点M则点M
落在二丄=1内的概率为/:
:
■
10.在一一中,二匚二.:
.-.匚二E,、啓卫一•一存,点DE分别是边ABAC上的点,且~-=:
记_..:
7,四边形BCED勺面积分别为-则一的最大值为.篇
11.设是定义在R上的函数,其导函数为,若.17>,.—一一一,
则不等式泊"二F-W(.其中e为自然对数的底数的解集为莎;
12.已知一.肓「是边长为2的正三角形,点p为平面内一点,且|r?
i-,则」;]n汪
的取值范围是.函:
A.|:
;”|
、填空题
13.已知实数bAQ,厲是歹与2〃的等比中项,则1+-的最小值是
£2卽
,飞-十f,则/■■■■■.-'二
B
数解叼也占丹,则X1X2X3X4的取值范围为
15.如图,AB是圆0的直径,CD是圆0上的点,二<:
',
16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B,C的动点,P为平面ABC外一点,且平面’丄
平面ABCBC=玄阳二2妊心码,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为
三、解答题
17.
等比数列:
的各项均为正数,-:
,.,—.「成等差数列,且满足釘=4出-I求数列
18.如图,四棱锥P-ASCD的底面是矩形,已4丄平面ABCDE,F分别是ABPD的中点,
19.
'求证:
平面
—平面PCD
且二-二一-匚.
20.已知直线I的参数方程为耳;;为参数,曲线C的极坐标方程为
■■■'..….「,直线I与曲线C交于A,B两点,点「-/,
.一求直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
-求—一—的值.
21.已知函数『;=.-.:
冷壬总-y护武I求函数.的单调增区间;n将函数.的图象向左平移「个单位,再向下平移1个单位后得到函数一的图象,当「「时,求函
21.在平面直角坐标系
xOy中,已知椭圆-■—--':
'的焦距为
2,离心率为―,
数工C:
:
j的值域.
椭圆的右顶点为A
.一求该椭圆的方程:
.过点一.一--作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:
直线AP,AQ的斜率之和为定值.
22.如图所示,直角梯形ABCD中,亠二_,二..-二,,-.三二匚「二二二二-,四边形EDCF
为矩形,「亍—:
.「,平面m平面ABCD
I求证:
DF打平面ABE□求平面ABE与平面EFB所成锐
DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的诱导公式和函数.-_的图象变换规律,属于基础题.
由甲=⑷畑®—寸|=网说[件+—彳=您刎+可得解.
【解答】
解:
将函数:
二玄厂呃匕-巧的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍,
得到''[j',
再向右平行移动个单位长度,即可得到的图象.
故选B.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的子集个数问题,若集合有n个元素,其子集有丁■个.
先求出集合B中的元素,从而求出其子集的个数.
【解答】
解:
由题意可知,
集合匚一一一一._1,,
则B的子集个数为:
丁-个.
故选D.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.
利用任意角的三角函数的定义,诱导公式,求得-.的值.
【解答】解:
角二的终边经过点
则---■■_-.
故选C.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档
题•由题意可得,本题即求函数—的图象和函数纟叱呂卜I的图象的交点个数,数形结合可得结论.
【解答】
解:
函数-一的零点个数,
即为函数:
二一工的图象和函数,/-的图象的交点个数.
如图所示:
数形结合可得,函数,—的图象和函数的吋叮的图象的交点个数为2,
所以m夢一匚闿制的零点个数为2,
故选C.
5.【答案】A
【解析】解:
令,.,则
配方得-一..-..-_,故对称轴为'二.:
,如图所示:
由图象可知,当对称轴心:
时,,:
-亠:
-:
—I、在区间上单调递减,
又真数-1.,二次函数,;一亠;一■一“在[一-二11上单调递减,
故只需当…二■时,若亦二、一_L…I,
则-__时,真数一:
;••・_,
代入.•二1解得"[,所以a的取值范围是_
故选:
A.
由题意,在区间〔h.i]上,a的取值需令真数-「,,且函数
.-_;在区间『◎1[上应单调递减,这样复合函数才能单调递减.
本题考查复合函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,复合函数单调性遵从同增异减
的原则.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应
的运算能力,属于基础题.
a
注意消除
将欲求式一一中的正切化成正余弦,还要注意条件中的角=与待求式中角的差别,
1-tan-
它们之间的不同.
【解答】
解:
由-,:
-•是第三象限的角,
故选A.
7.【答案】B
【解析】解:
若…「在.上恒成立,
则--一在⑴■!
亘成立,
令W,一,
令..,解得:
:
:
,
令"(=〕<■;),解得:
「二,
故.在递减,在C⑺;递增,
故」-1--,
故选:
B.
问题转化为;H二在[匚:
汇;恒成立,令_-..,根据函数的单调性求出m的范
围即可.
本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算,关键是掌握向量数量积的
计算公式.
根据题意,设”—则「-二三-7T,结合题意分析可得一...2为等腰直角三角形,结合向量夹角的定义分析可得答案.
【解答】
解:
根据题意,设•—…,「—一」,则.—…
若_.,—,,即心]―■:
■■!
,且...-…,
则—二芒为等腰直角三角形,则丄[与:
的夹角为-丁:
一r「二1工\
故选:
A.
CS
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型,属中档题.
先阅读题意,理解“黄金分割”,再结合几何概型中的面积型
:
:
甘一S■■:
L,-…:
.-:
:
:
-,
则在AABC内任取一点M则点M落在hAPQ内的概率为=亦一2,得解.
【解答】
解:
设三「二二,
■.,H
由点P,Q为线段BC的两个黄金分割点,
:
乜心:
由几何概型中的面积型可得:
在AABC内任取一点M则点M落在^APQ内的概率为学竺=虫-戈,故选B.
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积计算,基本不等式的应用,属于中档题.
可设二*,.:
.一:
,利用余弦定理与基本不等式求解.
【解答】
解:
由题意可知,-.二'-.
设U「/二二■:
/:
,上.■■.■-二
由余弦定理得一-_,即:
'---,
从而-_-:
,即.-:
当且仅当m-叫它‘时等号成立.
故选:
C.
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性,属中档题.
构造函数--,通过求导及已知不等式可得出决为递增函数,再将原不等
式化为:
.二一可解得.
【解答】
解:
令:
-一-.一一,则:
.-.一,
在R上为单调递增函数,
75(0)=/[0)-1=2018-1=2017
原不等式可化为一.-■,
根据:
的单调性得:
:
故选D.
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积,辅助角公式,三角函数图像与性质,考查数形结合的数学思想,化
归与转化思想,属于中档题.
根据要求画出草图,以点B为坐标原点建立直角坐标系,写出A,B,C三点的坐标;设出P的坐标,显然P在以C为圆心,半径为•,的圆上,用三角函数表示P点坐标,再写出^壬厂
的坐标,利用坐标运算,借助辅助角公式,三角函数图像与性质写出范围.
【解答】
解:
如图,以点B为坐标原点建立直角坐标系,
B12
—1-
故A.一,」—,
设.'..,因为;,所以•肿用『
\J'2-\
所以二—-77
6+
所以•「1,
即壬二—二的取值范围为」
故选A.
13•【答案】一"
【解析】【分析】
1法与基本不等式的性质,属于中档题.
本题考查了等比数列的性质、指数运算性质、乘
实数—是丁与■的等比中项,EU—7,可得:
_:
、—〔='_、再利用乘I法与基本不等式的性质即可得出.
【解答】
解:
实数.;:
:
「,D,._是丁与.的等比中项,
.-_,
,解得1;-.:
■=_,
则.岛十和C--)
abai
—…——二:
当且仅当.":
-,——时取等号
故答案为:
一一
14•【答案】;
【解析】【分析】本题考查函数零点与方程的根,考查数形结合的思想,属于中档题.
作函数•.的图象,从而可得:
-一,推出二-的范围即可求解结果.
【解答】
的图象如下,
解:
作函数哦=
设直线二「与:
匚丁〕的图象的从左到右的四个交点的横坐标分别为■■--;_,
则Xj<1'1■:
-+•
结合图象可知,-i…],,
所以泳辽一一,
令•匸得,二】或二一:
,
令—.•:
得,•=—-,
所以•.;:
:
=——「」;■-(二I
所以.…一■-,
故一:
:
_「,
故答案为.•
15.【答案】一
【解析】【分析】
本题考查向量在几何中的应用,利用已知向量表示所求向量是解题的难点,考查分析问题解
决问题的能力.
通过过C作二-二于E,用向量=-,求出丽与武的关系,结合而二咒而+y竟,
即可求出的值.
【解答】
过C作「三-二于E,因为AB是圆O的直径,CD是圆O上的点,一二.-•=H
所以E为OB的中点,连接OD则左=乎而,
[•二:
匚打=—•二二一一_.-,
又二二-二,
故答案为:
一•
16.【答案】-■:
二
【解析】【分析】
本题考查了三棱锥的外接球的表面积,将空间问题转化为平面问题,利用正余弦定理是解题
的关键,属于中档题.
由O为AABC外接圆的圆心,且平面FBC丄平面ABC过O作面ABC的垂线l,则垂线I
定在面PBC内,
可得球心一定在面PBC内,即球心:
也是—匚三[外接圆的圆心,在—二中,由余弦定理、正弦定理即可得R
【解答】
解:
因为0为■三「外接圆的圆心,且平面-平面ABC
过0作面ABC勺垂线I,则垂线I一定在面PBC内,
根据球的性质,球心一定在垂线I上,
球心一定在面PBC内,
5rnF二
即球心:
:
也是_「外接圆的圆心,
由正弦定理得:
二—耳,解得元_,
smH2
三棱锥—三匚外接球的表面积为一.-,故答案为二-.
17.【答案】解:
1设等比数列一.的公比为,
.七,
■_二:
_I、,
化为:
■{...Io,..,
解得—,
、Z
又满足.:
.-.:
■-」:
■-£丁「,
化为:
一一…,解得:
•'一,
^-',
2"-1
严一1
数列—的前n项和--(—A“+〒宀』
【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,考查
化为:
n-1
〔二解得.<,可得…;n「_
了推理能力与计算能力,属于中档题.I设等比数列_•:
.的公比为,■■,由一…成等差数列,可得:
化为:
一..-.-一・一,厂0,解得又满足-•,
-,利用“裂项求和”方法即可得出.
18.【答案】证明:
门〕取PC的中点G,连结FGEG
二为_「二匚的中位线,一「:
丁匚进
四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,
:
.AE//CD^^CD.
「=、-、—:
_二,
四边形AEG是平行四边形,
:
.AF//EG.
又丘石匸平面PEC丄P牡平面PEC
…-平面PEC
-F是PD的中点,
.-.5_.<,
■■-PA丄平面ABCD仞匸平面ABCD
_二,
又因为JJ-._,
APnAD=A,AP,百D匸平面APD
-:
-平面APD
■二平面APD
又打一J且m二:
二:
,
PDCD匸平面PDC
■平面PDC
由.得••-,
一平面PDC
又口二平面PEC
平面P匚—平面PCD
【解析】本题主要考查了空间线面平行、面面垂直的判定,考查逻辑推理能力和空间想象能
力,属于中档题.
(1)取PC的中点G,连结FGEG百F"EG又EG匚平面PECAF£平面PEC4F"平面PEC
㈡由〔1)得EG"疳,只需证明AF丄平面PDC即可得到平面卩肌;丄平面PCD
19.【答案】解:
直线l的参数方程为|为参数,
消去参数,可得直线I的普通方程-一一,
曲线C的极坐标方程为.一.一-…,
所以曲线C的直角坐标方程为「一m
设A、B对应的参数分别为,
■.-"r,i'.i
二—山|三Qm十f切‘一4儿®=2/m,
则I
|M|\pbsli1r,r21斷
【解析】本题考查三种方程的转化,考查参数方程的运用,属于中档题.
利用参数的几何意
-直线的参数方程改写为
为参数,代入.•■,
_利用三种方程的转化方法,求直线I的普通方程与曲线c的直角坐标方程即可;
20.【答案】解:
--...
-VJjrnSc+1
•I由■-■-■\--^-,
函数的单调增区间为[.气:
工,匚三匚;n将函数的图象向左平移一个单
位,
得.-:
----,再向下平移1个单位后得到函数:
..一一一,由八—得,71
■■■'■:
\
则函数_的值域为.-一二
【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查*皿*卅:
型函数的图象和性质,
属中档题.
利用倍角公式降幕后再由两角差的正弦公式化简.1由相位在正弦函数的增区间内求得x
的取值范围,可得函数的单调增区间;n由函数的伸缩和平移变换求得_的解析式,
结合x的范围求得相位的范围,进一步求得函数_的值域.
21.【答案】解:
一由题意可知:
椭圆-■-:
-,焦点在x轴上,二二.,「=・,
椭圆的离心率j二一,则“•、_,:
-:
:
_,
则椭圆的标准方程:
一--—.;
(刀证明:
设一一,:
汎叱4,.•」「,
当斜率不存在时,一与椭圆只有一个交点,不合题意.
由题意PQ的方程:
;•—.■—_—,_,
则联立方程
整理得:
厶.—一.—.一.—「_—一—_i,
由韦达定理可知:
「一,―一-一,
yi_丹碗+比利-逵伽卜巾〉~+2
由…--一-一.1
<^:
■<;<v.-:
;:
-.',■,
JLI5卜比旳-沟5+"阳)
刊至一¥耳01+¥}42
*亠1
直线AP,AQ的斜率之和为定值1.
【解析】本题考查椭圆的简单几何性质,直线与椭圆位置关系,韦达定理及直线的斜率公式,
考查计算能力,属于中档题.
-由题意可知-:
=_,:
=-,离心率^-'-,求得\;:
;,则:
—厂J-,即可求得椭圆的方程;
•则直线PQ的方程:
..--代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,
分别求得直线AP,AQ的斜率,即可证明直线APAQ的斜率之和为定值.
22.【答案】解:
1证明:
四边形EDCI为矩形,
DE-CD,
•-呼面EPCF丄平面ABCD平面^DCFr平面ABCD=CD,
f■平面ABCD
由题意,以D为原点,DA所在直线为x轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
二-一-_,工-2,,
设平面ABE勺法向量为■--y,,
.f-2>*4-V32=0
"i即三0*
■.:
•_』),令二二一,贝V.
所以平面ABE勺法向量为半:
.-C,一,
又符'-12,一,
-..-I-、一■.!
…-.;又’.平面ABE
化DF〃平面ABEn}丫貶=(_1,-2,⑵,亦={-20,冉),
设平面BEF的法向量为•.一b,,
(―a—2b+疗c=0
!
■—2a+\f3c—0
令■=-,则:
厂•一,则平面BEF的法向量为「-「八一皿具⑺设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为-,
‘心3八商丽一巨疋_a'
平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是;川设二T--_2,一:
3l1
-(-m•一_.一_;
三J,
又平面ABE的法向量为•:
一0,一,设直线BP与平面ABE所成角为:
7,
---■■■'',---
1)+冋
J(—入—1严+(乱一2尸+(血”x2
=T,
化简得_「—;」,亠I一;)
解得-或-;
上电
当h-:
时,丁一-_,二_;
当—]时,十—:
「—,「;
综上,二一.
【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题确定平面的法向量是解题的关
键,属于较难题.1取D为原点,DA所在直线为x轴,DE所在直线为z轴建立空间直角坐
标系,求出平面ABE的法向量一与向量根据蒼二下_&证明,从而证明平面
ABEn求平面BEF的法向量眾,再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值;川设
『卞汀二:
二求向量_「与平面ABE的法向量•所成角的余弦值,列出方程解方程得
I的值,从而求出_浴的值.
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