初中全等三角形专题复习docx.docx

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全等三角形

1、知识点复习

全等三角形定义：

三角形全等的条件：

边边边公理：

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS。

简称为“三边”

边角边公理：

如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS。

简称为“边夹角”

角边角公理：

如果两个三角形的两个角及•其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等,简记为ASA。

简称为“角夹边”

角角边公理：

有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS。

简称为“角角边”

斜边直角边定理：

两个直角三角形的直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等，简记为：

HLo

三角形全等的应用：

证明全等测量距离证明平行

判定三角形全等的方法：

（1）已知两边对应相等

1证第三边相等，再用SSS证全等

2证已知边的夹角相等，再用SAS证全等

3找直角，再用HL证全等

（2）已知一角及其邻边相等

1证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等

2证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等

3证已知边的对角相等，再用AAS证全等

（3）已知一角及其对边相等

证另一角相等，再用AAS证全等

（4）已知两角对应相等

1证其夹边相等，再用ASA证全等

2证一已知角的对边相等，再用AAS证全等

（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长屮线）

（3）利用加氏（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）

2、典型例题

例题1、如图，在ZA（）B的两边C）A,OB上分别取C）M=ON,OD=OE,

DN和EM相交于点C.

求证：

点C在ZAOB的平分线上.

例I题2、•如图，在/XABC中，AB=AC,ZBAC=40°,分别以AB,AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE,使ZEAD=Z.CAE=90°.

（1）求ZDBC的度数；

（2）求证：

BD=CE.

例题3、如图，四边形ABCD的对角线AC与相交于。

点，Zl=Z2,Z3=Z4.求证：

（1）/\ABC^/\ADC；

（2）BO=DO.

例题4、

（1）如图1,以厶ABC的边AB.AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形

ACFG,连结EG,试判断△ABC与厶AEG而积Z间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有止方形的面积Z和是。

平方米，内圈的所有三角形的面积Z和

是b平方米，这条小路-共占地多少平方米?

E

外

（因2）

例题5、

一、直角三角形的全等问题：

宜角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！

宜角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一纟艮肓角相等；而多个直角，多个垂总的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。

图1

例一：

图1,已知D0丄BC,OC=OA,OB=OD,

［分析］:

［变形1］：

请说明ABCE是直角三角形。

［变形2」：

（2008威海）把两个含有45。

角的直角三角板如图1放置，点D在BC上

B

C

A

连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证：

AF丄BE.

［分析］:

D

图1图2

C

［变形3］：

两个人小不同的等腰点角三角形三角板如图1所示放賢，图2是山它抽象出的儿何

图形，B,C,E在同一条直线上，连结CD.

（1）请找出图2中的全等三角形,并给予证明（说明:

结论中不得含有未标识的字母）;

（2）证明：

CD1BE

［变形4］、如图2,在AABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，问△BHD^AACD,

为什么？

［分析］:

［变形5］：

如图3,已知ED丄AB,EF丄BC,BD=EF，问BM=ME吗？

说明理山。

D

图3

例二：

如图1,已知，AC丄CE,AC=CE,ZABC=ZCDE=90°,问BD=AB+ED吗?

［分析］:

（1）凡是题中的垂直往往意味着会冇一组90°角，得到一组等量关系；

（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；

（3）由全等得到边相等Z后，还要继续往下面想，这儿组相等的边能否组合在一起：

［变形1］：

如图7,如果△ABC^ACDE,请说明AC与CE的关系。

C

［注意］:

两条线段的关系包括：

大小关系（相等，一半，两倍之类）

［变形2］：

（2008泸州）如图，E是正方形ABCD的边DC±的一点，过点A作FA丄AE

交CB的延长线丁•点F,

FBC

求证：

DE=BF

［分析］:

［变形3］：

如图8,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是过点A的直线，BD丄AE,

CE丄AE,

如果CE=3,BD=7,请你求出DE的长度。

［分析］:

D

［变形4］：

在Z\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD丄MN于D,

BE丄MN于E。

（1）当直线MN绕点（2旋转到图9的位置时，△ADC9ACEB,口DE=AD+BE。

你能说

出具屮的道理吗？

二、等腰三角形、等边三角形的全等问题：

［必备知识］:

如右图，由Z1=Z2,可得ZCBE=ZDBA；反之，也成立。

例三：

已知在△AB",AB=AC,在AADE中，AD=AE,且Z1=Z2,请问BD二CE吗？

［分析］

［变形1］：

如图13,已知ZBAC二ZDAE,Z1=Z2,BD=CE,

请说明△ABD^AACE.吗？

为什么？

［分析］:

［变形2］：

过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD,CE,请说明它们相等。

［分析］:

图15

CE,请说明它们相等

C

图17

4

图18

［变形3］：

如图16—⑻还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位迸稍加变化”连接BD,

［变形4］：

（2008怀化）如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG,AE与

CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证：

AE=CG；［分析］:

例四：

如图，AABC中，ZC=90°,AB=2AC,M是AB的中点，点N在BC上，MN丄AB.

求证：

AN平分ZBAC.

［分析］: