河南省南阳市学年高二上学期期末考试数学理试题.docx
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河南省南阳市学年高二上学期期末考试数学理试题
D.
A.焦点在)'轴上的椭圆
c.焦点在)‘轴上的双曲线
14.
8.若两个正实数满足一+—=1,xy
值范围()
A.(-1,4)
c.(T1)
9-4
B.
7.点P(x0,yo)在圆d+y2=l上运动,则点M(2x0,yo)的轨迹是()
B.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的双曲线
且不等式X+2vm?
-3m有解,则实数〃,的取4
B.(f
D.(一8,0)=(3,+s)9.直线4辰一4),一%=0与抛物线)3=x交于a,b两点,若|AB|=4,则弦A3的中点到直线x+!
=0的距离等于()
2
C.4D.2
10.已知数列{4}的首项4=0,=4+2M+1+1,则%,=()
A.99B.101C.399D.401
11.给出以下命题,其中真命题的个数是()
①若“「p或q”是假命题,则“〃且f”是真命题
②命题“若a+bw5,则a,2或b#3”为真命题
③已知空间任意一点。
和不共线的三点43,C,若OP=—OA+—OB+—OC,则632
P,A民C四点共而;
22
④直线y=k(x-3)与双曲线亍号=1交于A8两点,若|AB|=5,则这样的直线有3条:
A.1B.2C.3D.4
22
12.设F是双曲线。
:
二一:
二1卜/>0力>0)的右焦点,过点F向。
的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,若2而=FB,则双曲线C的离心率是()
A.V2B.2C.2D.―
33
二、填空题
13.已知数列2008,2009,1,-2008,…若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2019项之和S2019=.
14.在正三棱柱ABC—A4G中,若A8=AA=4,点。
是A4的中点,求点儿到平而Q8G的距离.
15.已知空间三点40,2,3),8(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为.
22
16.已知点尸在离心率为6的双曲线二一二=1(。
>0/〉0)上,",A为双曲线
cr/?
-
的两个焦点,且PF;,PF;=0,则鸟的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为
1X
三、解答题
22
17.已知命题P:
方程/+V-2mx+2m2-2m=0表示圆:
命题0双曲线上一L=1
5m
的离心率ee(l,2),若命题“P人4”为假命题,“pv夕”为真命题,求实数小的取值范围.
18.如图,四棱锥P—ABCD底面为正方形,已知PD_L平面438,PD=AD,点M为线段PA上任意一点(不含端点),点N在线段BD上,且
PM=DN.
(1)求证:
直线MN||平面PC。
;
(2)若M为线段PA中点,求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值.
19.在锐角中,角A8,C所对的边分别为瓦c,已知/?
(1+2cosc)=lacosC+ccosA.
(1)证明:
a=2b;
(2)若的而积S=4s加C,且SBC的周长为10,。
为8c的中点,求线段AD的长.
20.直三棱柱A8C—4与G中,AAi=AB=AC=\9£/分别是CG,8C的中点,
AE±A.B},。
为棱4用上的点.
(2)证明:
DFLAEx
(3)是否存在一点。
,使得平面以方与平而ABC所成镜二面角的余弦值为*?
若
存在,说明点。
的位置,若不存在,说明理由.
21.已知数列{q}的前〃项和为S”(〃eN),S.=W4,且%=1,{〃}为等比
数列,4=%-4,b4=a5+1.
(1)求{qj和色}的通项公式:
⑵设%=
,刀tN,数列{cn}的前〃项和为7;,若对VneN*均满足Tn>品,求整数机的最大值.
22
22.已知椭圆G:
1_+*=13>0)的左、右焦点分别为巴,尼,点F?
也为抛物线
C?
:
)3=8x的焦点.
(1)若M,N为椭圆G上两点,且线段A/N的中点为(U),求直线MN的斜率:
(2)若过椭圆G的右焦点F?
作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A,3和C,D,设线段AB,CO的长分别为〃?
,〃,证明L+L是定值.
mn
参考答案
1.B
【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题,
所以,命题p:
Vx〉O,总有(x+l)e、>l,
则'为:
皿。
>°,使得(Xo+l)e*VL
故选B.
【点睛】
本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.
2.B
【解析】
方程「一十—二=1的曲线是椭圆,故应该满足条件:
7一mm一3
7一mH〃?
一3
<5或5 7-m>0 故3Vm<7”是“方程「一+」一=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 7-mm-3 故答案为: B. 3.C 【分析】 根据所给的图形和一组基底,从起点。 出发,把不是基底中的向量,用是基底的向量来表示,就可以得到结论. 【详解】 解: •;oG=oM+m6=oM"mN 3 o =OA/+二(MO+OC+西) 3 12—►1——► =-OM+^OC+^(OB-OC) 333 =-OA+-OB+-OC 633 【点睛】 本题考查向量的基本定理及其意义,解题时注意方法,即从要表示的向量的起点出发,沿着空间图形的棱走到终点,若出现不是基底中的向量的情况,再重复这个过程,属于基础题. 4.D 【解析】 作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示, 由z=x+y+3得y=-x+z-3. 平移直线丫=-工+2-3,结合图形可得,当直线经过可行域内的点C时,直线在y轴上的 截距最大,此时z取得最大值. x-y+1=0 c,c,解得 [2x+y-4=0,Zm”=l+2+3=6.选D. 5.A 【解析】 【分析】 ।q23a2 由题意可得c=7a,b2=a2-c2=—,代入b? +l丁十]a,1,利用基本不等 24=-=—+— 3a3a43a 式可求最小值. 【详解】 由题意可得,-=-a2 即c=—a, 2 .2->>>3a工 /.b-=—c-=, 当且仅当&=-L即a=无时取等号 43a2 .•・F■的最小值为正 3a3 故选A. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的性质的应用及利用基本不等式求解最值的应用,属于知识的简单综 A口・ 6.A 【详解】 设CA=2,则C(0.0,0),A(2.0Q),3(0,0]),G(020),&(021),可得4耳=(-2,21),BC; ”,・,,,•-11 =(0,2,-1),由向量的夹角公式得cos〈4片,BC'=-^=L;===二. 1'74+4+1x5/0+4+1/5 7.B 【解析】 【分析】 根据x: +y;=l变形巨叱+y;=l,得出结论. 4 【详解】 •.•点P(x(),y°)在圆x^+y? =1±, .・x()+y()=1, ,苧+y;=l,,点M(2xo,y0)是椭圆£+y2=i上的点. 故选B. 【点睛】 本题考查了轨迹方程求解,椭圆的性质,属于基础题. 8.B 【详解】 分析: 不等式1+2〈"/一3"7有解,即为62一3加大于x+三的最小值,运用乘1法和基44 本不等式,计算即可得到所求最小值,解不等式可得m的范围. 14 详解: 正实数X,y满足一+—=1则xy 当且仅当丁=4x=8,x+三取得最小值4. 4 由xx+: v〃,-3帆有解,可得"/一36>4,解得〃1>4或/"<一1. 4 故选B. 点睛: 本题考查不等式成立的条件,注意运用转化思想,求最值,同时考查乘1法和基本不等式的运用,注意满足的条件: 一正二定三等,考查运算能力,属中档题. 9.B 【解析】直线4kx-4y-k=0可化为k(4x7)-4y=0,故可知直线恒过定点(: 0) 4 17 •: 抛物线yJx的焦点坐标为(上,0),准线方程为x=- 44 ・•・直线AB为过焦点的直线 AAB的中点到准线的距离网士1竺1=陋=2 22 119 •••弦AB的中点到直线x+-=0的距离等于2+-=-. 244 故选B. 点睛: 本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛物线的定义.一般和抛物线有关的小题,很多时可以应用结论来处理的: 平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目,一般都和定义有关,实现点点距和点线距的转化. 10.C 【详解】 由q+i=4+2"凡+1+1,可得4—+1=(忖+1+1',〃_;+1-&“+1=1, {百M}是以1为公差,以1为首项的等差数列. /.+1=n,ait=? ? 2-1,即a20=202-1=399. 故选C. 11.C 【解析】 ⑴若”(「P)或9”是假命题,则T是假命题P是真命题,夕是假命题F是真命题,故〃且 (」q)真命题,选项正确. ⑵命题“若。 +〃工5,则。 工2或的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题,故原命题也是真•命题. (3)・.・! +! +! =1,.,.P,A,B,C四点共而,故(3)正确, 632 (4)由双曲线方程得a=2,c=3,即直线1: y=k(x-3)过双曲线的右焦点, •••双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4,a+c=2+3=5, ,当直线与双曲线左右两支各有一个交点时,当k=0时2a=4, 则满足IABI=5的直线有2条,当直线与实轴垂直时, 当x=c=3时,得二一2_=1,即2_=二,即则户±二,45542 此时通径长为5,若IABI=5,则此时直线AB的斜率不存在,故不满足条件.综上可知有2 条直线满足IABI=5,故(4)错误, 故答案为C. 12.C 【分析】 设一渐近线。 4的方程为y=,设B5,-g),由2而=而,求得点A的 a44 坐标,再由E4_LQ4,斜率之积等于一1,求出/=3〃,代入e=£=WZ运进行运算.aa 【详解】 故选: C. 【点睛】 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得点A的坐标是解题的关键,属于中档题. 13.4018 【解析】 【分析】 由题意写出数列的前几项,可得数列的最小正周期为6,求得一个周期的和,计算可得所求和. 【详解】 数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和, 可得2008,2009,1,-2008--2009,-1,2008,2009,1,…, 即有数列的最小正周期为6. 可得一个周期的和为0, 由2019+6=336…3,nJW^2019=336x0+2008+2009+1=4018. 故答案为: 4018. 【点睛】 本题考查数列的求和,注意运用数列的周期,考查运算能力,属于基础题. 14.V2 【分析】 以A为原点,在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,从4为z轴,建立空间 直角坐标系,利用向量法能求出点A到平面的距离. 【详解】 以A为原点,在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,人儿为z釉,建立空间 直角坐标系, 4(0,0,4),。 (0,0,2),BQ®2,0),C](0,4,4), D\=(0,0,2),DB=(26,2,—2),DC;=(0,4,2), 设平面DBQ的法向量1=a,y,z), ,点A到平而DBC]的距离: 故答案为四. 【点睛】 本题考查点到平而的距离的求法,考查空间中线线、线而、面而间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 15.6>/5 【解析】 分析: 利用终点坐标减去起点坐标,求得对应的向量的坐标,进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值,应用平方关系求得正弦值,由此可以求得以A3,AC为邻边的平行四边形的面积. 详解: 由题意可得初=(2,3,7),痣=(-2,1,3), 西=J4+9+1=后,国=j4+l+9=g,所以 na—2x(―2)+3x1+(―1)x32一3\/5” cosABAC=--=====一三,所以sinNBAC=*,所以以A3,AC 714x71477 为邻边的平行四边形的面积为S=JiZxJiZx孚=6",故答案是6#. 点睛: 该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式,在解题的过程中,需要对相关公式非常熟悉,再者就是要明确平行四边形的面积公式,以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值. 【解析】 【分析】 设P为双曲线的右支上一点,|P£卜〃? ,|P周=〃,怩周=2c,运用双曲线的定义和直角三角形的外接圆的外心为斜边的中点,运用等积法求得内切圆的半径,结合离心率公式,化简即可得到所求比值. 【详解】 设P为双曲线的右支上一点,I尸用=〃7,|P引=〃,I"用=2c, 由双曲线的定义可得加—〃=2, 由加两=0即PF]±PF2,可得病+〃2=牝2, 可得〃〃? =2c2-2。 2=方, 则m+n=+4〃〃? =,4/+8〃, 由直角三角形尸"鸟可得外接圆的半径为R=c, 内切圆的半径设为r, 可得! =gr(〃? +〃+2c), 则b=\jc2—a2=^-c, 可得r= 2x# 则则居的内切圆的半径与外接圆的半径的比值为二二-13 故答案为: Y13—1. 3 【点睛】 本题考查双曲线的定义和性质,以及三角形的外接圆和内切圆的半径,考查等积法求内切圆的半径,以及化简整理的运算能力,属于中档题. 17.2 【解析】 试题分析: 先化简命题,得到相应的数集: 再根据真值表得到的真假性,再分类进行求解. 试题解析: 若命题〃为真命题,则。 2+炉一4/>0,即(一2〃? 尸—4(2〃/一2〃? )>0 整理得解得0cm<24分 若命题4为真命题,则/二二竺6(1,4),解得0<〃? <158分 因为命题〃人9为假命题,为真命题,所以〃、夕中一真一假,io分 若p真q假,则〃? W0;若〃假/真,则24团〈15, 所以实数力的取值范围为2<加<15.12分 考点: 1.圆的一般方程;2.双曲线的结合性质: 3.复合命题的真值表. 18. (1)详见解析 (2)逆 【解析】 试题分析: (1)延长AN,交CD于点G,只需证明岷〃PG,通过aGON〜可证明 △AMN〜^APG,从而证明MN//PG。 (2)由于DA_LDC_LDP,以DA,DC,DP为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,利用线而角的向量公式解题。 试题解析: (I)延长AN,交CO于点G,由相似知£=绘=桨,NGNDMP MN (II)由于以。 A。 。 ,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系, /、/、/、、11 设4(1,0,0),则C(0,l,0),P(0,0J),M5,0,5 1N乙 则方=(1』,一1),平面AMN的法向量为汾=(1,1/), 则向量方与成的夹角为8,则cos〃=l,则P8与平面AMN夹角的余弦值为里. 3 19. (1)见解析 (2)而 【分析】 (1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果; (2)利用题中所给的条件,结合三角形的面积公式求得两条边长,根据三角形的周长求得 第三边,之后根据cosC=! ,利用余弦定理得到相应的等量关系式,求得结果.4 【详解】 (1)证明: •••Z? (l+2cosC)=2rzcosC+ccosA, /.sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC, sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC, 2sinBcosC=sinAcosC, 乂0 /.2siiiB=sinA,即。 =2/? . (2)解: S=-x2bxhxsinC=4sinC2 .\b=2,a=4 又a+〃+c=10,「.c=4. /.cosC=—,AD=J22+22-2x2x2x—=Jb- 4V4 点睛: 该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理,在解题的过程中,需要对题的条件灵活应用,即可求得结果. 20. (1)证明见解析: (2)证明见解析: (3)当D为44中点. 【解析】 【分析】 (1)根据线而垂直的性质定理证明AB_L而A即可. (2)建立空间坐标系,求出直线对应的向量,利用向量垂直的关系进行证明. (3)求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【详解】 (1)证明: •••AE_LA81,A.BJ/AB,..AEYAB^ 又丁AA^LAB,AA{c=A,AB_1_而AACC】. 又・・・4Cu而4ACG, 1 (2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-9,z, 设。 (x,y,z),而=彳病且几£(01), 即(x,y, z—1)=丸(1,0,。 ),则。 (几,0,1)。 /|1 122 ...df.ae=1_1=o,所以o/_lae: (3)结论: 存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二而角的余弦值为普,理由如 T: 由题可知面ABC的法向量万=(0,0,1),设而DEF的法向量为n=(X,y,z), n-FE=0 则〈一, n-DF=0 3 2(1-2)4 1+22, 2(1-2)" 令z=2(l—/l),则万=(3,1+242(1—/)). ・•・平面DEF与平而ABC所成锐二面角的余弦值为巫, 14 "㈤上揣吟 |2(1-刈_V14 21. (1)a="〃+♦,4=2": (2)1345.〃2〃 【分析】 (1)运用数列的递推式和恒等式,化简可得%,nwN*;再由等比数列的通项 2 公式,解方程可得公比,即可得到所求通项公式: 的单调性可得最小值和不等式恒成立思想,可得m的最大值. 【详解】 (1电= 当n>2时, n+277+1 a„h+1/、一即为j=-7(〃之2),3〃一1 上式对〃=1也成立, 则an=-,〃£N*: 2 可得4=6—4=2,b4=15+1=16,则/=8,即9=2, 勿=2〃, 〃・4_ %-1(n+l)(n+2)n+2〃+l' -——」>0, (72+2)(/7+3) 2 即勾“〉々,可得1递增,则,的最小值为工=], 可得2>/_,即〃[<1346, 32019 则m的最大值为1345. 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式的运用,数列的递推式和恒等式的运用,以及数列的单调性的运用: 求恒成立问题,考查化简运算能力,属于中档题. 22. (1)-1 (2)这 28 解: 因为抛物线C? : V=8.r的焦点为(2,0),所以8—〃=4,故〃=2. 22 所以椭圆Cj二+t=l. -84 x: +y;_1 «4 (1)设M(',X),N(4,8),则{,, v;工y;1 84 两式相减得(…)(…)+(…乂…)=°, 84 又MN的中点为(1』),所以石+超=2,凹+%=2. 所以“ 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN的斜率为-;. (2)椭圆右焦点石(2,0)2 11113x/2 当直线A3的斜率不存在或者为。 时,一+—=丁反+_==上. 当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=kQ-2), y=k(x-2), 设48,力),8(々,力),联立方程得{,个2。 r+2)厂=8, 消去了并化简得(1+2k2)x2-8k2x+8公_8=0, 因为△=(-8k2)2-4(1+2攵2)(8攵2-8)=32(k2+1)>0, 所以m=Jl+公y](x]+x2)2-4x}x2=40;: f) 1।乙K 同理可得〃=491+公). k2+2 111/+2攵2代+2、3" 所以一+一=丁点(-+刀=1」为定值. 〃? n4>/21+攵21+公g 【解析】 分析: (1)先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出8-从=4,进而确定椭圆的标准方程, 再利用点差法求直线的斜率; (2)设出直线的方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于刀的一元二次方程,利用根与系数的关系进行求解. 详解: 因为抛物线g: V=8x的焦点为(2,0),所以8-从=4,故b=2. 22 22L422X4 所以椭圆G: /+? =1• 至+O (1)设N(x),yj,贝叶、 8 两式相减得(…)(…)+()”当心一必)=0,84 又MN的中点为(1,1),所以内+勺=2,y+为=2. 所以 x2-x12 显然,点(1,1)在椭圆内部,所以直线MN的斜率为-1. (2)椭圆右焦点鸟(2,0). 当直线48的斜率不存在或者为。 时,-+-=+=—. mn4J22d28 当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-2), 消去并化简得(1+2二卜2-8工工+8二一8=0, 因为△=(-8尸)2-40+2攵2)(8父-8)=32(代+1)>0, 所以 I_r/24忘(1+⑹ 〃7=5/l+A-J(N+W)-4中2=]+〃二, 同理可得〃=4,1一X).k2+2 点端在处理直线与椭圆相交的中点弦问题,往往利用点差法进行求解,比联立方程的运算量小,另设直线方程时,要注意该直线的斜率不存在的特殊情况,以免漏解. 、79+(*1+22)2+4(1-2)214 17 解得几=2或舍),所以当D为44中点时满足要求. 【点睛】 本题考查的知识点是空间直线的垂直
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