九年级数学下册第3章圆38圆内接正多边形同步测试新版北师大版.docx
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九年级数学下册第3章圆38圆内接正多边形同步测试新版北师大版
2019-2020年九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形同步测试新版北师大版
◆基础题
1.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( )
A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3:
2:
1B.4:
3:
2C.4:
2:
1D.6:
4:
3
3.正六边形的边心距是,则它的边长是( )
A.1B.2C.2D.3
4.如图,⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC,且AB=2,则这个圆的内接正十二边形的面积为( )
A.6B.6C.12D.12
5.正八边形的中心角等于 度.
6.如图,要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为 .
7.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若四边形BCFG的面积是12cm2,则正八边形的面积为 cm2.
8.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AC、GC是两条对角线,则∠ACG= °.
9.如图,正三角形ABC内接于⊙O,若AB=2cm,求⊙O的半径.
10.如图,点G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点,且BG=CH,AG交BH于点P.
(1)求证:
△ABG≌△BCH;
(2)求∠APH的度数.
◆能力题
1.如图,由7个形状,大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是( )
A.B.2C.D.3
2.若一个正多边形的中心角等于其内角,则这个正多边形的边数为( )
A.3B.4C.5D.6
3.古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”(用圆内接正多边形的周长代替圆周长),来计算圆周率π的近似值.他从正六边形算起,一直算到正24576边形,将圆周率精确到小数后七位,在世界上领先一千多年.根据这个办法,由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是( )
A.2.9B.3C.3.1D.3.14
4.如果正n边形的中心角为2α,边长为5,那么它的边心距为 .(用锐角α的三角比表示)
5.如图,AB,AC分别为⊙O的内接正六边形,内接正方形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于 .
6.如图,P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点,BP=CQ,则∠POQ= .
7.如图,⊙O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t(s).
(1)求证:
四边形PEQB为平行四边形;
(2)填空:
①当t= s时,四边形PBQE为菱形;
②当t= s时,四边形PBQE为矩形.
8.
(1)如图1,在圆内接正六边形ABCDEF中,半径OC=4,求正六边形的边长.
(2)如图2,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.求证:
AB=AC.
◆提升题
1.如图,在正五边形ABCDE中,连接AC、AD、CE,CE交AD于点F,连接BF,下列说法不正确的是( )
A.△CDF的周长等于AD+CDB.FC平分∠BFD
C.AC2+BF2=4CD2D.DE2=EF•CE
2.如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为何( )
A.40B.50C.60D.80
【答案】A
3.小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形,然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案,他发现中间也出现了一个正六边形,则中间的正六边形的面积是 分米2.
4.阅读下面材料:
对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这个圆所覆盖.对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A被这些圆所覆盖.
例如:
图中①的三角形被一个圆覆盖,②中的四边形被两个圆所覆盖.
已知长宽分别为2cm,1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖,则r的最小值是 cm.
5.如图正方形ABCD内接于⊙O,E为CD任意一点,连接DE、AE.
(1)求∠AED的度数.
(2)如图2,过点B作BF∥DE交⊙O于点F,连接AF,AF=1,AE=4,求DE的长度.
6.教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形,小明同学按照如下步骤折叠:
请你根据小明同学的折叠方法,回答以下问题:
(1)如果设正三角形ABC的边长为a,那么CO= (用含a的式子表示);
(2)根据折叠性质可以知道△CDE的形状为 三角形;
(3)请同学们利用
(1)、
(2)的结论,证明六边形KHGFED是一个六边形.
答案和解析
◆基础题
1.【答案】B
解:
设正多边形的边数为n,则正多边形的中心角为,正多边形的一个外角等于,所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角,而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补,所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补.
2.【答案】A
解:
如图,△ABC是等边三角形,AD是高.点O是其外接圆的圆心,由等边三角形的三线合一得点O在AD上,并且点O还是它的内切圆的圆心.∵AD⊥BC,∠1=∠4=30°,∴BO=2OD,而OA=OB,∴AD=3OD,∴AD:
OA:
OD=3:
2:
1.
3.【答案】B
解:
∵正六边形的边心距为,∴OB=,AB=OA,∵OA2=AB2+OB2,∴OA2=(OA)2+()2,解得OA=2.
4.【答案】C
解:
如图,连接OA;取的中点D,连接AD、CD、OD;过点D作DE⊥OC于点E;∵OF=OA,且∠OFA=90°,∴∠OAF=30°,∠AOC=60°,∠AOD=∠COD=30°;∵圆的内接正十二边形的中心角==30°,∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边;∵OC⊥AB,且AB=2,∴AF=;在△AOF中,由勾股定理得:
;在△ODE中,∵∠EOD=30°,∴DE=OD=1,,∴这个圆的内接正十二边形的面积为12.
5.【答案】45
解:
正八边形的中心角等于360°÷8=45°.
6.【答案】6cm
解:
设正多边形的中心是O,其一边是AB,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∵AB=6cm,∠AOB=60°,∴cos∠BAC=,∴AM=6×=3(cm),∵OA=OC,且∠AOB=∠BOC,∴AM=MC=AC,∴AC=2AM=6(cm).
7.【答案】24
解:
连接HE,AD,在正八边形ABCDEFGH中,可得:
HE⊥BG于点M,AD⊥BG于点N,∵正八边形每个内角为:
=135°,∴∠HGM=45°,∴MH=MG,设MH=MG=x,则HG=AH=AB=GF=x,∴BG×GF=2(+1)x2=12,∴四边形ABGH面积=(AH+BG)×HM=(+1)x2=6,∴正八边形的面积为:
6×2+12=24(cm2).
8.【答案】45°
解:
设正八边形ABCDEFGH的外接圆为⊙O;∵正八边形ABCDEFGH的各边相等,∴圆周长,∴的度数为=90°,∴圆周角∠ACG=.
9.解:
过点O作OD⊥BC于点D,连接BO,∵正三角形ABC内接于⊙O,∴点O即是三角形内心也是外心,∴∠OBD=30°,BD=CD=BC=AB=,∴cos30°=,解得:
BO=2,即⊙O的半径为2cm.
10.
(1)证明:
∵在正六边形ABCDEF中,AB=BC,∠ABC=∠C=120°,
在△ABG与△BCH中
,∴△ABG≌△BCH;
(2)解:
由
(1)知:
△ABG≌△BCH,∴∠BAG=∠HBC,∴∠BPG=∠ABG=120°,∴∠APH=∠BPG=120°.
◆能力题
1.【答案】B
解:
延长AB,然后作出过点C与格点所在的直线,一定交于格点E.
正六边形的边长为1,则半径是1,则CE=4,中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是,则△BCE的边EC上的高是,△ACE边EC上的高是,则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×(﹣)=2.
2.【答案】B
解:
360°÷n=.故这个正多边形的边数为4.
3.【答案】B
解:
由题意n=6时,π≈=3.
4.【答案】
解:
如图所示:
∵正n边形的中心角为2α,边长为5,∵边心距OD=.
5.【答案】12
解:
连接AO,BO,CO.∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边,∴∠AOB==60°,∠AOC==90°,∴∠BOC=30°,∴n==12.
6.【答案】72°
解:
连接OA、OB、OC,∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,∴∠AOB=∠BOC=72°,∵OA=OB,OB=OC,∴∠OBA=∠OCB=54°,在△OBP和△OCQ中,
,∴△OBP≌△OCQ,∴∠BOP=∠COQ,∵∠AOB=∠AOP+∠BOP,∠BOC=∠BOQ+∠QOC,∴∠BOP=∠QOC,∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ,∠BOC=∠BOQ+∠QOC,∴∠POQ=∠BOC=72°.
7.
(1)证明:
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O,∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F,∵点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t,PF=QC=4﹣t,在△ABP和△DEQ中,
,∴△ABP≌△DEQ(SAS),∴BP=EQ,同理可证PE=QB,∴四边形PEQB是平行四边形.
(2)解:
①当PA=PF,QC=QD时,四边形PBEQ是菱形时,此时t=2s.
②当t=0时,∠EPF=∠PEF=30°,∴∠BPE=120°﹣30°=90°,∴此时四边形PBQE是矩形.当t=4时,同法可知∠BPE=90°,此时四边形PBQE是矩形.
综上所述,t=0s或4s时,四边形PBQE是矩形.
8.
(1)解:
连接OD,如图所示:
∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形,∴∠O==60°,∵OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴CD=OC=4,即正六边形的边长为4;
(2)证明:
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=BC=5,∵AB=13,AD=12,∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2,∴△ABD是直角三角形,AD⊥BC,又∵BD=CD,∴AB=AC.
◆提升题
1.【答案】B
解:
∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC=CD=DE=AE,BA∥CE,AD∥BC,AC∥DE,AC=AD=CE,∴四边形ABCF是菱形,∴CF=AF,∴△CDF的周长等于CF+DF+CD,即△CDF的周长等于AD+CD,故A选项正确;
∵四边形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,设AC与BF交于点O,由勾股定理得OB2+OC2=BC2,∴AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,∴AC2+BF2=4CD2.故C选项正确;
由正五边形的性质得,△ADE≌△CDE,∴∠DCE=∠EDF,∴△CDE∽△DFE,∴,∴DE2=EF•CE,故D选项正确.
2.【答案】A
解:
取AE中点I,则点I为圆的圆心,圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成.易得△IDE的面积为5,则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40.
3.【答案】2
解:
设O是原正六边形的中心,连接AO,FO,MO,设FO与AE交于点Q,AO与BE交于P,∵一个面积为6分米2的正六边形,连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案,∴∠AOF=×360°=60°,S△AOF=×6=1(分米2),
∴△OAF是等边三角形,∵AB=AF,∴OA⊥BF,∴AP=OP,∴AM=OM,同理:
OF⊥AE,OQ=FQ,∴OM=FM,∴点M是△AOF的外心,∴S△OAM=S△AOF=(分米2),∴S△OPM=S△OAM=(分米2),∴中间的正六边形的面积是:
12×S△OPM=2(分米2).
4.【答案】
解:
如图:
矩形ABCD中AB=1,BC=2,则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点,由对称性知E、F分别是AD和BC的中点,则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形,所以圆的半径r=,两圆心距=1.
5.解:
(1)如图1中,连接OA、OD.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOD=90°,∴∠AED=∠AOD=45°.
(2)如图2中,连接CF、CE、CA,作DH⊥AE于H.
∵BF∥DE,AB∥CD,∴∠ABF=∠CDE,∵∠CFA=∠AEC=90°,∴∠DEC=∠AFB=135°,∵CD=AB,∴△CDE≌△ABF,∴AF=CE=1,∴AC=,∴AD=AC=,∵∠DHE=90°,∴∠HDE=∠HED=45°,∴DH=HE,设DH=EH=x,在Rt△ADH中,∵AD2=AH2+DH2,∴=(4﹣x)2+x2,解得x=或,∴DE=DH=或.
6.解:
(1)∵正三角形ABC的边长为a,由折叠的性质可知,点O是三角形的重心,∴CO=a;
(2)△CDE为等边三角形;
(3)由
(2)知△CDE为等边三角形,∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a,
∠ADE=∠BED=120°,同理可得,AH=AK=KH=a,BG=BF=GF=a,∠CKH=∠BHK=120°,∵AB=BC=AC=a,∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a,∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°,∴六边形KHGFED是一个正六边形.
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