11-2复数的概念与运算.doc
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11-2复数的概念与运算
基础巩固强化
1.(2011·安徽皖南八校联考)复数z满足z=,则等于( )
A.1+3i B.3-i
C.-i D.+i
[答案] C
[解析] ∵z===,
∴=-i,故选C.
2.(2012·哈三中二模)已知复数z=,则复平面内表示复数z的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] B
[解析] z===,对应点为(-,).
3.(文)(2013·武汉市部分学校12月联考)投掷两颗骰子,其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)2为纯虚数的概率为( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] ∵(m+ni)2=m2-n2+2mni为纯虚数,
∴m2-n2=0,∴m=n,
(m,n)的所有可能取法有6×6=36种,其中满足m=n的取法有6种,
∴所求概率P==.
(理)(2012·陕西理,3)设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由ab=0知a=0或b=0,当a=0时,若b≠0,则复数a+为纯虚数,否则a+为实数,反之若a+为纯虚数,则b≠0且a=0,则ab=0,故“ab=0”是“a+为纯虚数”的必要不充分条件.
4.(2012·东北三校模拟)已知z=1-i(i是虚数单位),则+z2=( )
A.2 B.2i C.2+4i D.2-4i
[答案] A
[解析] ∵z=1-i,
∴+z2=+(1-i)2=-2i=2.
5.(2012·洛阳市示范高中联考)已知=2-i(是z的共轭复数),则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[答案] D
[解析] ∵=(1+2i)(2-i)=2+4i-i+2=4+3i,∴z=4-3i在复平面内对应点(4,-3)位于第四象限.
6.(2011·温州八校期末)若i为虚数单位,已知a+bi=(a,b∈R),则点(a,b)与圆x2+y2=2的关系为( )
A.在圆外 B.在圆上
C.在圆内 D.不能确定
[答案] A
[解析] ∵a+bi==
=+i(a,b∈R),
∴,
∵2+2=>2,
∴点P在圆x2+y2=2外,故选A.
7.(2011·无为中学月考)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为A、B、C.若=x+y,则x+y的值是________.
[答案] 5
[解析] ∵=x+y,
∴(3-2i)=x(-1+2i)+y(1-i),
∴,解得,故x+y=5.
8.设i为虚数单位,复数z=(3+4i)(cosθ+isinθ),若z∈R,θ≠kπ+,则tanθ的值为________.
[答案] -
[解析] ∵z=(3+4i)(cosθ+isinθ)=(3cosθ-4sinθ)+(4cosθ+3sinθ)i∈R,∴4cosθ+3sinθ=0,
∵θ≠kπ+,∴cosθ≠0,∴tanθ=-.
9.一个正四面体玩具,它的四个面上标有数字-1,0,1,2,连续抛掷两次,记第一次向下的面上数字为a,第二次向下的面上数字为b,设复数z=a+bi,则z的对应点在第二象限的概率为________.
[答案]
[解析] 若z=a+bi的对应点在第二象限,则a<0,b>0,这样的点有2个,即(-1,1),(-1,2),∴所求概率为P==.
10.已知复数z=+(a2-5a+6)i(a∈R).试求实数a分别为什么值时,z分别为:
(1)实数;
(2)虚数; (3)纯虚数.
[解析]
(1)当z为实数时,∴a=3,
∴当a=3时,z为实数.
(2)当z为虚数时,∴a≠2且a≠3,
故当a∈R,a≠2且a≠3时,z为虚数.
(3)当z为纯虚数时,
∴a=5,故a=5时,z为纯虚数.
能力拓展提升
11.(文)(2011·东北四市统考)已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2为( )
A.+i B.+i
C.-i D.-i
[答案] A
[解析] z1·z2=cos23°cos37°-sin23°sin37°+(sin37°cos23°+cos37°sin23°)i=cos60°+i·sin60°=+i,故选A.
(理)若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴.
∴2θ=2kπ+π (k∈Z),
∴θ=kπ+.令k=0知,D正确.
12.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )
A.1 B.-1
C. D.-
[答案] B
[解析] ∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,
∴由a+bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b=0,
得m3+1=0,即m=-1.
13.(2011·南通调研)若复数z满足z+i=,则|z|=________.
[答案]
[解析] ∵z=-i=-3i+1-i=1-4i,
∴|z|=.
14.在复平面内,z=cos10+isin10的对应点在第______象限.
[答案] 三
[解析] ∵3π<10<,∴cos10<0,sin10<0,
∴z的对应点在第三象限.
15.(文)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当实数m取何值时.
(1)z是纯虚数.
(2)z是实数.
(3)z对应的点位于复平面的第二象限.
[解析]
(1)由题意知
解得m=3.所以当m=3时,z是纯虚数.
(2)由m2+3m+2=0,得m=-1或m=-2,
又m=-1或m=-2时,m2-2m-2>0,
所以当m=-1或m=-2时,z是实数.
(3)由
解得:
-1 (理)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求z的实部的取值范围; (2)设u=,那么u是不是纯虚数? 并说明理由. [解析] (1)设z=a+bi(a、b∈R,b≠0), ω=a+bi+=+i, ∵ω是实数,∴b-=0. 又b≠0,∴a2+b2=1,ω=2a. ∵-1<ω<2,∴- 即z的实部的取值范围是. (2)u====-i,
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- 11 复数 概念 运算