高考数学课下练兵:导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc
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高考数学课下练兵:导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc
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第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
课下练兵场
命题报告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
函数的单调性与导数
1、3
4、6、10
函数的极值与导数
2、7
函数的最值与导数
5、8、9
11
生活中的优化问题
12
一、选择题
1.(2009·广东高考)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)
解析:
f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,
令f′(x)>0,解得x>2.
答案:
D
2.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且f(x)的图象过点(0,-5),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为( )
A.-1B.0C.1D.±1
解析:
可以求出f(x)=x4-2x2+c,其中c为常数
由于f(x)过(0,-5),所以c=-5,又由f′(x)=0,得极值点为x=0和x=±1.又x=0时,f(x)=-5,故x的值为0.
答案:
B
3.若函数f(x)=ax3-3x在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤1C.0<a<1D.0<a≤1
解析:
∵f′(x)=3ax2-3,由题意f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立.若a≤0,显然有f′(x)<0;若a>0,由f′(x)≤0得-≤x≤,于是≥1,∴0<a≤1,综上知a≤1.
答案:
B
4.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
解析:
依题意,f′(x)在[a,b]上是先增后减的函数,则在f(x)的图象上,各点的切线的斜率先随x的增大而增大,然后随x的增大而减小,观察四个选项中的图象,只有选项C满足要求.
答案:
C
5.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间[0,]上的值域为( )
A[]B()
C[]D()
解析:
f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx,
0≤x≤时,f′(x)≥0,
∴f(x)是[0,]上的增函数,
∴f(x)的最大值为f()=
f(x)的最小值为f(0)=,
∴f(x)在[0,]上的值域为[]
答案:
A
6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则( )
A.f
(1) (2) (2) (1)C.f(3) (2) (1)D.f(3) (1) (2) 解析: 由f(x)=f(π-x),得函数f(x)的图象关于直线x=对称,又当x∈(-,)时, f′(x)=1+cosx>0恒成立, 所以f(x)在(-,)上为增函数, f (2)=f(π-2),f(3)=f(π-3), 且0<π-3<1<π-2<, 所以f(π-3) (1) (1) (2). 答案: D 二、填空题 7.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为 . 解析: f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2, f′ (2)=0⇒c=2或c=6.若c=2,f′(x)=3x2-8x+4, 令f′(x)>0⇒x<或x>2,f′(x)<0⇒<x<2, 故函数在及(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,∴x=2是极小值点.故c=2不合题意,c=6. 答案: 6 8.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为 . 解析: f′(x)=当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当- 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,f(x)==,=<1,不合题意. ∴f(x)max=f (1)==,a=-1. 答案: -1 9.给出定义: 若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是 .(把你认为正确的序号都填上) ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)=lnx-2x; ③f(x)=-x3+2x-1; ④f(x)=xex. 解析: 对于①,f″(x)=-(sinx+cosx),x∈(0,)时, f″(x)<0恒成立; 对于②,f″(x)=-,在x∈(0,)时,f″(x)<0恒成立; 对于③,f″(x)=-6x,在x∈(0,)时,f″(x)<0恒成立; 对于④,f″(x)=(2+x)·ex在x∈(0,)时f″(x)>0恒成立, 所以f(x)=xex不是凸函数. 答案: ④ 三、解答题 10.(2009·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 解: (1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a) 由已知a>1,∴2a>2, ∴令f′(x)>0,解得x>2a或x<2, ∴当x∈(-∞,2)∪(2a,+∞)时,f(x)单调递增, 当x∈(2,2a)时,f(x)单调递减. 综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,在区间(2,2a)是减函数. (2)由 (1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值. f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a =-a3+4a2+24a=-a(a-6)(a+3),f(0)=24a.
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