二次函数及其图像和性质教师版.docx
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二次函数及其图像和性质教师版
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学科
数学
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课题名称
二次函数及其图像和性质
【知识梳理】
二次函数
1、二次函数的定义:
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数称为二次函数。
它的图像与性质是初中数学中的重要内容之一。
2、二次函数的对称轴及顶点坐标:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线,对称轴是直线x=—
,顶点坐标是(—
,
).
①a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大。
当x=—
时,y值最小,最小值为
。
②a<0时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小。
当x=—
时,y值最大,最大值为
。
3、二次函数的顶点式:
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)是一种重要的形式之一。
它的对称轴是直线x=h,顶点坐标为(h,k)。
4、二次函数中a,b,c的取值与函数图象的位置:
(1)a:
确定二次函数的开口方向;
(2)b:
在a确定的前提下,b的值确定—
的值大于、等于或小于0,从而确定函数图象的对称轴在y轴的右边、y轴还是y轴的左边;
(3)c:
二次函数的图像与y轴的交点坐标是(0,c),c的值确定函数图像与y轴的交点在x轴的上方、原点还是在x轴的下方。
5、二次函数解析式的确定:
①一般形式:
y=ax2+bx+c(a≠0)
②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0)
③交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
根据条件,灵活选用上述各种不同的形式会给计算带来方便。
6、抛物线的平移与对称变换:
(1)平移变换:
①上、下平移:
首先要化为顶点式y=a(x-h)2+k,不改变a的值,不改变h的值,然后向上为“+”,向下为“—”。
②左、右平移:
首先要化为顶点式y=a(x-h)2+k,不改变a的值及k的值,在括号内进行加减,向左为“+”,向右为“—”。
(2)对称变换:
①一般形式y=ax2+bx+c关于y轴对称时,对称点的纵坐标不变,横坐标互为相反数,故解析式为
y=a(-x)2+b(-x)+c,即y=ax2-bx+c,只需改变一次项的符号;
②一般形式y=ax2+bx+c关于x轴对称时,相同的x值,对应的y值正好相反,故-y=ax2+bx+c,即y=-ax2-bx-c,所有系数均变为相反数;
③一般形式y=ax2+bx+c关于原点对称,对称点的横纵坐标均变为其相反数,故解析式为
-y=a(-x)2+b(-x)+c,即y=-ax2+bx-c,一次项系数不变,二次项系数和常数项均变为相反数;
7、二次函数与一元二次方程:
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有一个交点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有交点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根;
【典型例题】
【考点1】二次函数定义的考查:
已知函数
是二次函数,求m的值
【变式练习】若函数y=(a﹣1)x(b+1)+x2+1是二次函数,试讨论a、b的取值范围
:
①b+1=2,解得b=1,a﹣1+1≠0,解得a≠0;
②b+1≠2,则b≠1,∴b=0或﹣1,a取全体实数
【考点2】二次函数图像问题:
直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx在同一平面直角坐标系中的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
【变式练习】二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=
在同一坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【变式练习】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=bx+c的图象在( )
A.
一,二,三象限
B.
一,三,四象限
C.
一,二,四象限
D.
二,三,四象限
【考点3】二次函数图像与x轴的相关问题:
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列判断中错误的是( )
A.
图象的对称轴是直线x=1
B.
当x>1时,y随x的增大而减小
C.
一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1,3
D.
当﹣1<x<3时,y<0
解:
∵二次函数的图象与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0),
∴抛物线的对称轴直线为:
x=
=1,故A正确;
∵抛物线开口向下,对称轴为x=1,
∴当x>1时,y随x的增大而减小,故B正确;
∵二次函数的图象与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0),
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1,3,故C正确;
∵当﹣1<x<3时,抛物线在x轴的上方,
∴当﹣1<x<3时,y>0,故D错误.
故选:
D.能利用数形结合求出抛物线的对称轴及当﹣1<x<3时y的取值范围是解答此题的关键.
【变式练习】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①a>0.②该函数的图象关于直线x=1对称.
③方程ax2+bx+c=0的两根是﹣1和3.④x<1时,y随x的增大而增大.
其中正确结论的个数是( )
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
解:
∵二次函数开口向下,
∴a<0,故①错误;
∵抛物线的对称轴是x=1,
∴该函数的图象关于直线x=1对称,故②正确;
∵抛物线与x轴的交点分别为(﹣1,0)、(3,0),
∴方程ax2+bx+c=0的两根是﹣1和3,故③正确;
∵当x<1时,函数图象在对称轴的左侧,
∴x<1时,y随x的增大而增大,故④正确.故选A.
【考点】二次函数图像与系数的关系:
已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),且满足4a+2b+c>0,以下结论:
①a+b>0;②a+c>0;③﹣a+b+c>0;④b2﹣2ac>5a2,其中正确的个数有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
分析:
(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),把点(﹣1,0)代入解析式,结合4a+2b+c>0,即可整理出a+b>0;
(2)②+①×2得,6a+3c>0,结合a<0,故可求出a+c>0;
(3)画草图可知c>0,结合a﹣b+c=0,可整理得﹣a+b+c=2c>0,从而求得﹣a+b+c>0;
(4)把(﹣1,0)代入解析式得a﹣b+c=0,可得出2a+c>0,再由a<0,可知c>0则c﹣2a>0,故可得出(c+2a)(c﹣2a)>0,即b2﹣2ac﹣5a2>0,进而可得出结论.
解答:
解:
(1)因为抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(﹣1,0),所以原式可化为a﹣b+c=0﹣﹣﹣﹣①,又因为4a+2b+c>0﹣﹣﹣﹣②,所以②﹣①得:
3a+3b>0,即a+b>0;
(2)②+①×2得,6a+3c>0,即2a+c>0,∴a+c>﹣a,∵a<0,∴﹣a>0,故a+c>0;
(3)因为4a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)当x=2时的值大于0,草图为:
可见c>0,∵a﹣b+c=0,
∴﹣a+b﹣c=0,两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c=2c整理得﹣a+b+c=2c>0,即﹣a+b+c>0;
(4)∵过(﹣1,0),代入得a﹣b+c=0,∴b2﹣2ac﹣5a2=(a+c)2﹣2ac﹣5a2=c2﹣4a2=(c+2a)(c﹣2a)
又∵4a+2b+c>04a+2(a+c)+c>0即2a+c>0①∵a<0,∴c>0则c﹣2a>0②由①②知(c+2a)(c﹣2a)>0,
所以b2﹣2ac﹣5a2>0,即b2﹣2ac>5a2综上可知正确的个数有4个.
故选D.
【变式练习】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论:
4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<﹣1,其中结论正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
解:
由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上,得c>0,对称轴为x=
<1,
∵a<0,∴2a+b<0,而抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,当x=2时,y=4a+2b+c<0,当x=1时,a+b+c=2.
∵
>2,∴b2+8a<4ac,∵①a+b+c=2,则2a+2b+2c=4,②4a+2b+c<0,③a﹣b+c<0.由①,③得到2a+2c<2,由①,②得到2a﹣c<﹣4,4a﹣2c<﹣8,上面两个相加得到6a<﹣6,∴a<﹣1.故选D.
【变式练习】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若M=a+b﹣c,N=4a﹣2b+c,P=2a﹣b.则M,N,P中,值小于0的数有( )
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
分析:
根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0,得到N=4a﹣2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=﹣1右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到a小于0,变形即可对于P作出判断,根据a,b,c的符号判断得出a+b﹣c的符号.
解答:
解:
∵图象开口向下,∴a<0,
∵对称轴在y轴左侧,
∴a,b同号,
∴a<0,b<0,
∵图象经过y轴正半轴,
∴c>0,
∴M=a+b﹣c<0
当x=﹣2时,y=4a﹣2b+c<0,
∴N=4a﹣2b+c<0,
∵﹣
>﹣1,
∴
<1,
∵a<0,
∴b>2a,
∴2a﹣b<0,
∴P=2a﹣b<0,
则M,N,P中,值小于0的数有M,N,P.
故选:
A.
【变式练习】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|,则( )
A.
M>0
B.
M<0
C.
M=0
D.
M的符号不能确定
解答:
解:
因为开口向下,故a<0;
当x=﹣2时,y>0,则4a﹣2b+c>0;
当x=1时,y<0,则a+b+c<0;
因为对称轴为x=
<0,又a<0,则b<0,故2a+b<0;
又因为对称轴x=﹣
>﹣1,则b>2a
∴2a﹣b<0;
∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b,
因为2a﹣b<0,a<0,
∴3a﹣b<0,即M<0,
故选B.
【考点】二次函数图像的性质
如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则ax2+bx+c>0的解集为( )
A.
x<﹣3
B.
﹣3<x<1
C.
x>2
D.
x>1
分析:
由题中二次函数的图象与x的交点为(﹣3,0)、(1,0)求出函数的对称轴,再由函数的增减性求出ax2+bx+c>0的解集.
解答:
解:
由题意二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点为:
(﹣3,0)、(1,0),
∴由图象可知:
当﹣3<x<1时,y>0,
因此ax2+bx+c>0的解集为:
﹣3<x<1.
故选B.
点评:
主要考查利用函数的图象求不等式组解集、函数与方程的关系,涉及的知识点多,但不难.
【变式练习】如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是 ﹣2<k<
.
分析:
根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式,然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值,即为一个交点时的最大值,再求出抛物线经过点B时的k的值,即为一个交点时的最小值,然后写出k的取值范围即可.
解答:
解:
由图可知,∠AOB=45°,
∴直线OA的解析式为y=x,
联立
消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k=
时,抛物线与OA有一个交点,
此交点的横坐标为1,
∵点B的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点A的坐标为(
,
),
∴交点在线段AO上;
当抛物线经过点B(2,0)时,
×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使抛物线y=
x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,实数k的取值范围是﹣2<k<
.
故答案为:
﹣2<k<
.
【变式练习】在平面直角坐标系中,点A是抛物线y=a(x﹣3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 18 .
分析:
根据抛物线解析式求出对称轴为x=3,再根据抛物线的对称性求出AB的长度,然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可.
解答:
解:
∵抛物线y=a(x﹣3)2+k的对称轴为x=3,且AB∥x轴,
∴AB=2×3=6,
∴等边△ABC的周长=3×6=18.
故答案为:
18.
点评:
本题考查了二次函数的性质,等边三角形的周长计算,熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键.
【变式练习】下列四个函数:
①y=kx(k为常数,k>0)②y=kx+b(k,b为常数,k>0)
③y=
(k为常数,k>0,x>0)④y=ax2(a为常数,a>0)
其中,函数y的值随着x值得增大而减少的是( )
A.
①
B.
②
C.
③
D.
④
分析
充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性,结合自变量的取值范围,逐一判断.
解答:
解:
①y=kx(k为常数,k>0),正比例函数,故y随着x增大而增大,错误;
②y=kx+b(k,b为常数,k>0),一次函数,故y随着x增大而增大,错误;
③y=
(k为常数,k>0),反比例函数,在每个象限里,y随x的增大而减小,正确;
④y=ax2(a为常数,a>0)当图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;而在对称轴左侧,y随着x的增大而减小,错误.
故选C.
点评:
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性(单调性),是一道难度中等的题目.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征:
已知点A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线y=ax2+2ax+4(0<a<3)上,若x1<x2,x1+x2=1﹣a,则( )
A.
y1>y2
B.
y1<y2
C.
y1=y2
D.
y1与y2大小不能确定
分析:
将点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①;y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②;利用作差法求出y2﹣y1>0,即可得到y1>y2.
解答:
解:
将点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中,得:
y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①,
y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②,
②﹣①得:
y2﹣y1=(x2﹣x1)[a(3﹣a)],
因为x1<x2,3﹣a>0,
则y2﹣y1>0,
即y1<y2.
故选B.
【变式练习】抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,Q(2,k)是该抛物线上一点,且AQ⊥BQ,则ak的值等于( )
A.
﹣1
B.
﹣2
C.
2
D.
3
分析:
设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,A点坐标为(x1,0),(x2,0),且x2>x1,
根据射影定理得k2=2(x1+x2)﹣4﹣x1x2,再由根与系数的关系得x1+x2=﹣
,x1x2=
,通过整理可得到关于k,a,b的方程,利用整体思想求ak的值即可.
解答:
解:
设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,A、B点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x2>x1,
∵k2=(x1﹣2)(2﹣x2)=2(x1+x2)﹣4﹣x1x2
∴x1+x2=﹣
,x1x2=
∴﹣
﹣4﹣
=k2•
=k2又∵4a+2b+c=k
∴﹣ak2=4a+2b+c
∴k=﹣ak2
∴ak=﹣1.
故选A.
点评:
根据AQ⊥BQ和Q点的坐标特点,利用射影定理和根与系数的关系结合整体思想解答.
【变式练习】已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,3)与(﹣1,5),则a+c的值是 4 .
分析:
把两点的坐标代入二次函数的解析式,通过变形,即可求得a+c的值.
解答:
解:
将点(1,3)与(﹣1,5)代入y=ax2+bx+c得:
∴两式相加得2a+2c=8
∴a+c=4.
【考点】二次函数平移
如图是某二次函数的图象,将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则下列结论中正确的有( )
(1)a>0;
(2)c<0;(3)2a﹣b=0;(4)a+b+c>0.
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
分析:
如图是y=ax2+bx+c的图象,根据开口方向向上知道a>0,又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c<0,由对称轴x=
=﹣1,可以得到2a﹣b=0,又当x=1时,可以判断a+b+c的值.由此可以判定所有结论正确与否.
解答:
解:
(1)∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)(如虚线部分),
∴y=ax2+bx+c的对称轴为:
直线x=﹣1;
∵开口方向向上,
∴a>0,故①正确;
(2)∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上
∴c<0,故②正确;
(3)∵对称轴x=
=﹣1,
∴2a﹣b=0,故③正确;
(4)当x=1时,y=a+b+c>0,故④正确.
故选D.
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